试读版 第四章技巧套路篇非对称韦达问题.pdf

1、1.9 非对称韦达问题 非 对 称非 对 称 问 题问 题我 们 知 道 ， 利 用 韦 达 定 理 解 题 ， 一 般 是 将 已 知 条 件 转 化 为 “ 1212 ()0m xxnx xp”的式子但是，并不是所有的题都可以走这个套路，比如，有 的 题 目 将 已 知 条 件 转 化 为 方 程 后 ， 会 出 现 “ 12 xx” 、 “ 12 0mxnxp” 、 “ 1212 0mxnxpx xq”或“ 11211121 21221222 rx xm xn xp r x xm xn xp ”的形式，此种情况，是无法直接 利用韦达定理的，而这类题一般也称作非对称问题！ 类型一类型一“

2、12 xx”型 处理方法处理方法 2 1212 2112 1() 22 xxxx xxx x 例例已知椭圆 22 22 10 xy Cab ab ：的离心率为 2 2 ，过点(1,0)M的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，MAMB，且当直线 l 垂直于 x 轴时，2AB (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若 1 , 2 2 ，求弦长AB的取值范围 答案答案(1) 2 2 1 2 x y；(2) 9 2 2 , 8 解解(2)当直线 l 的斜率为 0 时，易得32 2或 11 , 2 232 2 ，故舍去 因此，设直线 l 的方程为1xmy，与椭圆方程联立： 22 (2)210mymy

3、，由于 点 M 在椭圆内部， 故必有0 ， 同时， 设 11 (,)A xy， 22 (,)B xy，AMMB ， 则 12 yy ， 故 22 12 2 12 ()14 2 (2) yym y ym ， 由于 1 , 2 2 ，故 2 2 41 , 0 (2)2 m m ，易得 2 117 , 2216m 因此， 22 12 2 19 2 112 2 12 , 28 ABmyym am 类型二类型二“ 12 0mxnxp”型 处理方法处理方法先凑出关于 12 xx的形式： 12122 12112 ()()0 ()()0 mxnxpm xxnm xp mxnxpmn xn xxp ，即 212

4、 112 ()() ()() mn xm xxp nm xn xxp ， 两个式子相乘： 2 121212 () () ()mnx xm xxp n xxp，此时，就可以利用韦 达定理了 说明说明实际上，在实际解题时，此种情况的题型极少！ 此外，个人认为没有必要按照这个套路走，实际上，直接解方程组往往更快捷，可以 参考如下的例题！ 例例如图， 在平面直角坐标系xOy中， 焦点在x轴上的椭圆 22 2 1 8 xy C b ：经过点( , 2 )be， 其中 e 为椭圆 C 的离心率过点(1, 0)T作斜率为(0)k k 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点(A 在 x 轴下方) (1) 求

5、椭圆 C 的标准方程； (2) 过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆 C 于点 M、N，求 2 ATBT MN 的值； (3) 记直线 l 与 y 轴的交点为 P若 2 5 APTB ，求直线 l 的斜率 k M B T P N A O y x 答案答案(1) 22 1 84 xy ；(2) 7 32 ；(3)2k 略解略解(1) 2 2 1 8 b e，又 22 2 4 1 8 be b ，故 2 2 2 4 11 e e b ，解得 2 4b (2) 设 11 (,)A xy， 22 (,)B xy， 直 线l为(1)yk x， 与 椭 圆 联 立 ： 2222 (21)4280kxk x

6、k 直线 MN 为ykx，与椭圆联立，解得 2 2 8 21 M x k 故 222 121212 22222 1(1)1(1)()17217 (1)()4213232 MNM kxkxx xxxATBTk MNkxxxk 【草稿上，也可以利用点乘双根算法： 222 12 22 (21) 14128 7 (1)(1) 2121 kkk xx kk 】 (3) 法一法一消元消元法法 12 2 522 5 APTBxx ，由(2)可知： 2 12 2 4 21 k xx k ， 2 12 2 28 21 k x x k ， 三个未知数，三个方程，刚好可以解出 k，由可得： 2 1 2 2 2 2

7、42 3(21) 162 3(21) k x k k x k ，代入整理得： 42 5083340kk，解得 2 2k 或 2 17 50 k (舍去)，又0k ，故2k 法二法二利用非对称利用非对称问题的处理套路问题的处理套路 12122 12 12112 5225()320 522 52232()20 xxxxx xx xxxxx ，即 122 121 5()23 2()23 xxx xxx ， 即 121212 95()2 2()2x xxxxx，然后代入 2 12 2 2 12 2 4 21 28 21 k xx k k x x k 即可，具体过程略 注注对于第(3)问，也可以利用定比

8、点差法：设 1 2 297 7 29 x ATTB x ，代入 12 522xx，整理可得： 2 3559140，解得 7 5 或 2 7 ，则 1 2 5 x 或 7 2 (舍)，故 1 7 2 5 y ， 1 1 2 1 y k x 对于第(3)问，两种方法对比而言，在计算量上，没有多大出入！ 例例如图，( 2 , 2)M在椭圆 22 1 8 xy C m ：上，经过点( 2 ,1)P的直线 l 交椭圆于 E、F （E 在 F 上方） ，直线 MP 交椭圆于点 N (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若 PFMPEN SS ，求直线 l 的方程 M N E P F l y xO 解解(1)

9、 22 1 48 xy ；(2)( 2 ,2)N，1PM ，3PN ，由 PFMPEN SS 得： 11 sinsin 22 PF PMFPMPE PNEPN， 故3PFPE 法一法一常规韦达定理法常规韦达定理法 设直线 l 的方程为：1(2)yk x ，与椭圆 22 1 48 xy 联立： 222 (2)2 (12 )22 280kxkk xkk， 设 11 (,)E xy， 22 (,)F xy，则 12 2 2 12 2 2 (12 ) 2 22 28 2 kk xx k kk x x k 由3FPPE 得： 21 3 2 13 xx ，即 12 34 2xx 方向方向 1 1直接利用消

10、元，先求出 12 xx、，再代入 12 x x即可 方向方向 2 2凑出韦达定理的对称结构，由变形： 121 122 ()24 2 3()24 2 xxx xxx ，即 121212 44 2()4 23()x xxxxx ， 即 2 121212 4323()16 2()x xxxxx，再代入即可， 方向方向 3 3换元转化， 令2tx， 则变形为： 12 3(2)(2)0 xx， 即 12 30tt， 此时，重新联立 22 1 1 48 ykt xy ，再利用套路： 212 21 2 tt bac tt 即可 显然，前两个方向的计算量都是巨大的，皆不可取；对于第 3 个方向，变形确实巧妙，

11、 不过，此法的本质就是下面的参数方程 法二法二线段比的问题，优先使用参数方程法线段比的问题，优先使用参数方程法 设过点 P 的直线 l 的参数方程为： 2 1 xt ykt (t 为常数)，与椭圆联立： 22 (2)2(2 2)30ktkt 设点 E、 F 对应的参数分别为 12 tt、， 则 12 2 1 2 2 2(2 2) 2 3 2 k tt k t t k ， 由3PFPE得：2 1 3tt ， 故 2 1212 211 2 () 2 tttt ttt t ，即 2 2 44(2 2) 33(2) k k ， 解得 3 2 4 k （不要被题目配图所骗） ，故直线 l 的方程为： 3

12、 25 42 yx 类型三类型三“ 11211121 21221222 rx xm xn xp r x xm xn xp ”型 处理方法处理方法一般有两种常用方法，具体参考如下例题 例例已知椭圆 C 的离心率 3 2 e ，长轴的左右端点分别为 1( 2,0) A 、 2(2,0) A (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 过直线1xmy与椭圆 C 交于 P、Q 两点，直线 1 AP与 2 A Q交于点 S，试问：当 m 变化时，点 S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不 是，请说明理由 1 A 2 A P Q S Ox y M 解解(1) 2 2 1 4 x

13、 y； (2) 分析分析此题的背景是极点极线，所求直线是极点(1,0)M所对应的极线4x ！ 法一法一韦达定理韦达定理法法典型典型的非对称问题的非对称问题 联立 2 2 1 1 4 xmy x y 可得： 22 (4)230mymy， 12 2 2 4 m yy m ， 12 2 3 4 y y m ， 直线 1 A P的方程： 1 1 (2) 2 y yx x ，直线 2 A Q的方程： 2 2 (2) 2 y yx x ， 联立消去 y 可得： 2121122 1212121 (2)(3)32 2(2)(1) yxy mymy yyx xy xy mymy yy ，到这一步，有两 个常用方

14、向： 方向方向 1 1凑韦达凑韦达消消同一单同一单元元 2 1 12212121 2 1211211 3 (4)3 233() 3 2(4)3 mym xmy yymy yyyy xmy yymy yymym ， 解得4x 方向方向 2 2和积转化（强烈推荐和积转化（强烈推荐熟练此法熟练此法！ ！ ） 由 12 2 12 2 2 4 3 4 m yy m y y m 得到： 1212 3 () 2 my yyy，故 122 12212 12112 121 3 ()3 2339 2 3 3 23 () 2 yyy xmy yyyy xmy yyyy yyy ， 解得4x 法二法二定比点差法定比点

15、差法 易知直线1xmy过定点(1, 0)M，设PMMQ ， 11 (,)P xy， 22 (,)Q xy，则 1 2 12 253 3 25 x x yy ， 直线 1 AP的方程： 1 1 (2) 2 y yx x ，直线 2 A Q的方程： 2 2 (2) 2 y yx x ，联 立消去 y 可得： 2121 1222 (2)24219393 3 3 2(2)243 1 yxyxx xy xyx ， 解得4x 法三法三截距点差法截距点差法 设 11 (,)P xy， 22 (,)Q xy，易知直线1xmy过定点(1, 0)M， 由于 P、M、Q 三点共线，故 12 12 11 yy xx

16、，即 122121 x yx yyy 又 22 22212 122 12211221 2121 22 22221 121 ()() 4 ()() 4 4 x y y yy x yx yx yx y yyyy x y y yy ，可得： 122121 4()x yx yyy 直线 1 A P的方程： 1 1 (2) 2 y yx x ，直线 2 A Q的方程： 2 2 (2) 2 y yx x ， 到这一步，可以有两个常用方向可走： 方向方向1 1联立直接解出x，可得： 1221212121 1221212121 22()2 4()2() 4 2()()2() x yx yyyyyyy x x

17、yx yyyyyyy 方 向方 向 2 2联 立 消 去 y 可 得 ： 21122 12211 (2)22 2(2)2 y xx yyx xy xx yy ， 由 可 得 ： 1221 2112 253 253 x yyy x yyy ，因此， 122212 211121 24(53)42 3 224(53)4 x yyyyyx xx yyyyy ，解得4x 练习练习(2020 北京)已知椭圆 22 22 1 xy C ab ：过点( 2 ,1)A ，且2ab (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点( 4,0)B 的直线 l 交椭圆 C 于点 M， N， 直线 MA， NA 分别交直线4x 于点 P， Q，求 PB BQ 的值 答案答案(1) 22 1 82 xy ；(2)1 B y xO A M Nl P Q