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类型19.导数大题的常用找点技巧和常见模型.docx

  • 上传人(卖家):四川天地人教育
  • 文档编号:1679445
  • 上传时间:2021-08-23
  • 格式:DOCX
  • 页数:7
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    1、公众号:渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群:608396916 欢迎大家关注公众号,获取最新消息!欢迎大家关注公众号,获取最新消息!WordWord 文档进文档进 QQQQ 群:群:608396916608396916 下载!下载! 1 导数大题的常用找点技巧和常见模型 引子: (2017 年全国新课标 1理21)已知 2 2 xx f xaeaex. (1)讨论 fx的单调性; (2)若 fx有两个零点,求a的取值范围. 解析: (1) 2 221211 xxxx fxaeaeeae 若0a ,则 0fx 恒成立,所以 fx在 R 上递减; 若0a ,令 0fx ,

    2、得 11 ,ln x ex aa . 当 1 lnx a 时, 0fx ,所以 fx在 1 ,ln a 上递减; 当 1 lnx a 时, 0fx ,所以 fx在 1 ln, a 上递增. 综上,当0a 时, fx在 R 上递减;当0a 时, fx在 1 ,ln a 上递减,在 1 ln, a 上递增. (2) fx有两个零点,必须满足 min0f x,即0a ,且 min 111 ln1ln0f xf aaa . 构造函数 1lng xxx ,0 x . 易得 1 10gx x ,所以 1lng xxx 单调递减. 又因为 10g,所以 1111 1ln01101gga aaaa . 下面只

    3、要证明当01a时, fx有两个零点即可,为此我们先证明当0 x 时,lnxx. 事实上,构造函数 lnh xxx,易得 1 1hx x , min 11h xh,所以 0h x ,即lnxx. 当01a时, 2 22 2 2 110 aeae aa f eee , 2 333333 ln121ln11 ln10 a faa aaaaaa , 公众号:渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群:608396916 欢迎大家关注公众号,获取最新消息!欢迎大家关注公众号,获取最新消息!WordWord 文档进文档进 QQQQ 群:群:608396916608396916 下载!下载

    4、! 2 其中 1 1ln a , 31 lnln a aa ,所以 fx在 1 1,ln a 和 13 ln,ln a aa 上各有一个零点. 故a的取值范围是0,1. 注意:取点过程用到了常用放缩技巧。 一方面: 22 33 202030ln1 xxxxxxx a aeaexaeaeeaeaex aa ; 另一方面:0 x 时, 2 20201 xxx aeaexaexx (目测的) 常用的放缩公式(考试时需给出证明过程) 第一组:对数放缩 (放缩成一次函数)ln1xx,ln xx,ln 1xx (放缩成双撇函数) 11 ln1 2 xxx x , 11 ln01 2 xxx x , 1 l

    5、n1xxx x , 1 ln01xxx x , (放缩成二次函数) 2 ln xxx, 2 1 ln 110 2 xxxx , 2 1 ln 10 2 xxxx (放缩成类反比例函数) 1 ln1x x , 21 ln1 1 x xx x , 21 ln01 1 x xx x , ln 1 1 x x x , 2 ln 10 1 x xx x , 2 ln 10 1 x xx x 第二组:指数放缩 (放缩成一次函数)1 x ex, x ex, x eex, (放缩成类反比例函数) 1 0 1 x ex x , 1 0 x ex x , (放缩成二次函数) 2 1 10 2 x exxx , 2

    6、3 11 1 26 x exxx , 第三组:指对放缩 ln112 x exxx 第四组:三角函数放缩 公众号:渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群:608396916 欢迎大家关注公众号,获取最新消息!欢迎大家关注公众号,获取最新消息!WordWord 文档进文档进 QQQQ 群:群:608396916608396916 下载!下载! 3 sintan0 xxx x , 2 1 sin 2 xxx, 22 11 1cos1sin 22 xxx . 第五组:以直线1yx为切线的函数 lnyx, 1 1 x ye , 2 yxx, 1 1y x ,lnyxx. 几个经典函

    7、数模型 经典模型一:经典模型一: ln x y x 或或 ln x y x . 【例 1】讨论函数 lnf xxax的零点个数. (1) 1 a e 时,无零点. 1 fxa x , max 11 ln10f xf aa . (2) 1 a e 时,1 个零点. 11 fx xe , max ln10f xf ee . (3)当 1 0a e 时,2 个零点. 10fa (目测) , 111 ln10 11111 aa f aaaaa ,其中 1 1 1 e a .(放缩) 10f eea . 22 11111 ln0faa aaaaa ,其中 2 2 1 ee a .(用到了 1 ln1xx

    8、x x ) (4)当0a 时,1 个零点. 1 0fxa x ,单调递增. 10fa , 11 22 1111 10 aa aa a feaaeaa aaeea . 【变式】 (经过换元和等价变形之后均可以转化到例 1: lnf xxax) : 1. 讨论 lnfxxmx的零点个数(令xt, 2 m a) ; 公众号:渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群:608396916 欢迎大家关注公众号,获取最新消息!欢迎大家关注公众号,获取最新消息!WordWord 文档进文档进 QQQQ 群:群:608396916608396916 下载!下载! 4 2. 讨论 lnfxxm

    9、x的零点个数(令 1 a m ) ; 3. 讨论 lnfxxxmx的零点个数(考虑 fx g x x ) ; 4. 讨论 ln x fxmx x 的零点个数(考虑 g xx fx,令 3 2 tx, 3 2 ma) ; 5. 讨论 2 lnf xxmx的零点个数(令 2 tx,2ma) ; 6. 讨论 x f xaxe的零点个数(令 x et). 经典模型二:经典模型二: x e y x 或或 x e y x 【例 2】讨论函数 x f xeax的零点个数. (1)0a 时,1 个零点. 0 x fxea, x f xeax单调递增. 且 010fa , 1 1 10 a fe a ,所以在

    10、1 ,0 a 上有一个零点; (2)0a 时,无零点. 0 x fxe恒成立; (3)0ae时,无零点. min ln1 ln0f xfaaa; (4)ae时,2 个零点. 1 1 10 a fe a , 10fea,2ln2ln20faa aaa e. 【变式】 (经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 2: x f xeax) : 1. 讨论 2x f xemx的零点个数(令2xt, 2 m a) ; 2. 讨论 x x em fx xe 的零点个数(去分母后与 1 等价) ; 3. 讨论 x fxemx的零点个数(移项平方后与 1 等价) ; 公众号:渝城高中数学会 608396916高

    11、中数学资料分享 QQ 群:608396916 欢迎大家关注公众号,获取最新消息!欢迎大家关注公众号,获取最新消息!WordWord 文档进文档进 QQQQ 群:群:608396916608396916 下载!下载! 5 4. 讨论 2x f xemx的零点个数(移项开方后换元与 1 等价) ; 5. 讨论 1x f xemx 的零点个数(乘以系数 e,令ema) ; 6. 讨论 ln x fxmx x 的零点个数(令 t xe,转化成 2) 7. 讨论 1x f xemxm 的零点个数(令1xt , 2 m a e ) ; 经典模型三:经典模型三:lnyxx或或 x yxe 【例】讨论函数 l

    12、n a f xx x 的零点个数. (1)0a 时,1 个零点. 2 0 xa fx x , ln a fxx x 单调递增. 10fa , 1 1ln 110 111 aa faa aaa . (2)0a 时,1 个零点( 0 1x ). (3) 1 a e 时,无零点. 2 xa fx x , min ln10f xfaa (4) 1 a e 时,1 个零点. 0 1 x e . min 11 ln10f xf ee (5) 1 0a e 时,2 个零点. 22 111 ln0f aaaa aaa , 1 10fea e , 10fa , 【变式】 (经过换元和等价变形之后均可以转化到例题

    13、 3: ln a f xx x ) : 公众号:渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群:608396916 欢迎大家关注公众号,获取最新消息!欢迎大家关注公众号,获取最新消息!WordWord 文档进文档进 QQQQ 群:群:608396916608396916 下载!下载! 6 1.讨论 1 lnfxax x 的零点个数; 2. 讨论 lnfxmxx的零点个数(考虑 f x g x x ,令xt) ; 3. 讨论 x a fxx e 的零点个数(令 x et) ; 4. 讨论 x a fxe x 的零点个数; 练习题练习题 1. 已知函数 2 21 x f xxea x有两个零点,求a的取值范围. 2. 设函数 2 ln x fxeax,讨论 fx的导函数 fx的零点的个数. 3. 已知函数 2 1 x f xxeax有两个零点,求a的取值范围. 公众号:渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群:608396916 欢迎大家关注公众号,获取最新消息!欢迎大家关注公众号,获取最新消息!WordWord 文档进文档进 QQQQ 群:群:608396916608396916 下载!下载! 7 4.已知函数 2 1 2 x m f xexmx. 当0m 时,试讨论 yfx的零点的个数.

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