14.导数存在恒成立.doc

1、公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 1 1 问题问题三三：函数中存在与恒成立问题函数中存在与恒成立问题 一、考情分析 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素 质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角 函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式

2、等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程 等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试 题的首选. 二、经验分享 (1) 设)0()( 2 acbxaxxf,（1）Rxxf 在0)(上恒成立00且a； （2）Rxxf 在0)( 上恒成立00且a. (2) 对于一次函数,)(nmxbkxxf有： 0)( 0)( 0)(, 0)( 0)( 0)( nf mf xf nf mf xf恒成立恒成立 (3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域 (4) 利用分离参数法来确定不等式,0f x,（Dx,为实参

3、数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤: 将参数与变量分离,即化为 gf x（或 gf x）恒成立的形式； 求 f x在xD上的最大（或最小）值； 解不等式 max ( )gf x(或 mingf x) ,得的取值范围. (5) 对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符 合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围. (6) 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值 却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其

4、它知识,往往会取得出奇制胜的效果. 三、知识拓展 (1)恒成立问题 . xD,均有 f(x)A 恒成立,则 f(x)minA； . xD,均有 f(x)A 恒成立,则 f(x)maxg(x)恒成立,则 F(x)= f(x)- g(x) 0, F(x)min0； . xD,均有 f(x)g(x)恒成立,则 F(x)= f(x)- g(x) 0, F(x)maxg(x2)恒成立,则 f(x)min g(x)max； . x1D, x2E,均有 f(x1) g(x2)恒成立,则 f(x)maxA 成立,则 f(x)maxA； . x0D,使得 f(x0)A 成立,则 f(x)ming(x0)成立,设

5、 F(x)= f(x)- g(x), F(x)max0； . x0D,使得 f(x0) g(x0)成立,设 F(x)= f(x)- g(x), F(x)ming(x2)成立,则 f(x)max g(x)min； . x1D, x2E,均使得 f(x1) g(x2)成立,则 f(x)ming(x2)成立,则 f(x)min g(x)min； x1D, x2E, 使得 f(x1) g(x2)成立,则 f(x)max g(x)max. 四、题型分析四、题型分析 解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：函数性质法；分离参数法；主参换位法； 数形结合法等. (一一) 函数性质法函数性质法

6、【例 1】已知函数 f(x)x3ax210,若在区间1,2内至少存在一个实数 x,使得 f(x)0 成立,求实数 a 的取值范围 【分析】本题实质是存在性问题 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 3 3 当 2 3a2,即 a3 时,f(x)0,f(x)在1,2上为减函数,所以 f(x) minf(2)184a,所以 184a9 2,这符合 a3. 综上所述,a 的取值范围

7、为 a9 2. 解法二：由已知得：ax 310 x2 x10 x2 , 设 g(x)x10 x2 (1x2),g(x)120 x3 , 1x2,g(x)9 2. 【点评】 解法一在处理时,需要用分类讨论的方法,讨论的关键是极值点与区间1,2的关系；解法二是用的参数分 离,由于 ax2x310 中 x21,4,所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论 【牛刀小试】设函数 21 x f xexaxa,其中1a ,若存在唯一的整数t,使得 0f t ,则a的取值范围 是. 【答案】 3 ,1 2 m e 【解析】令 21 , x g xexh xaxa.由题意知存在唯一整数t,使得 g t在直线 h

8、x的下 方. 21 x gxex,当 1 2 x 时,函数单调递减,当 1 2 x ,函数单调递增,当 1 2 x 时,函数取得最小值为 1 2 2e .当0 x 时,(0)1g ,当1x 时,(1)0ge,直线 h xaxa过定点1,0,斜率为a,故 0ag 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 4 4 且 1 13geaa ,解得 3 ,1 2 m e . (二二)分离参

9、数法分离参数法 【例 2】已知函数( )lnf xaxxx的图象在点ex （e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3 (1)求实数a的值； (2)若 2 ( )f xkx对任意0 x 成立,求实数k的取值范围. 【分析】 （1）由( )ln1fxax结合条件函数( )lnf xaxxx的图象在点ex 处的切线的斜率为3,可知 (e)3f,可建立关于a的方程：lne13a ,从而解得1a ； （2）要使 2 ( )f xkx对任意0 x 恒成立,只需 max 2 ( ) f x k x 即可,而由（1）可知( )lnf xxxx,问题即等价于求函数 1ln ( ) x g x x 的最大值,可以通

10、过导 数研究函数( )g x的单调性,从而求得其最值： 22 1 (1 ln ) ln ( ) xx x x g x xx ,令( )0g x ,解得1x ,当 01x时,( )0g x ,( )g x在(0,1)上是增函数；当1x 时,( )0g x ,( )g x在(1,)上是减函数,因此 ( )g x在1x 处取得最大值(1)1g,1k 即为所求. 【解析】(1)( )lnf xaxxx,( )ln1fxax, 又( )f x的图象在点ex 处的切线的斜率为3,(e)3f, 即lne13a ,1a ； 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：60839691

11、6 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 5 5 【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变 量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题 可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题. 利用分离参数法来确定不等式,0fx,（,xD为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤: (1)将参数与变量

12、分离,即化为 gfx（或 gfx）恒成立的形式； (2)求 fx在xD上的最大（或最小）值； (3)解不等式 maxgfx(或 mingfx) ,得的取值范围. 【牛刀小试】已知函数( )logaf xx,( )2log (22) a g xxt ,其中0a 且1a ,tR (1)若4t ,且 1 ,2 4 x时,( )( )( )F xg xf x的最小值是2,求实数a的值； (2)若01a,且 1 ,2 4 x时,有( )( )f xg x恒成立,求实数t的取值范围. 【答案】(1) 1 5 ；(2)2,). 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：60839

13、6916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 6 6 (2)( )( )f xg x恒成立,即log2log (22) aa xxt 恒成立, 1 loglog (22) 2 aa xxt . 又01a, 1 ,2 4 x,22xxt , 22txx 恒成立, max ( 22)txx . 令 2 1171 222()( ,2) 484 yxxxx , max 2y.故实数t的取值范围为2,). (三三)主参换位法主参换位法 【例 3】已知函数 ( )ln()(

14、 x f xea a为常数） 是实数集R上的奇函数,函数 ( )sing xf xx 是区间 1,1 上的减函数,(1) 求a的值；(2)若 2 ( )11,1g xttx 在 上恒成立,求t的取值范围. 【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：及t,那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一 个变量,另一个作为常数.而根据本题中的条件特征显然可将视作自变量,则上述问题即可转化为在 , 1 内关于 的一次函数大于等于 0 恒成立的问题,问题即可求解. 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关

15、注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 7 7 【解析】(1) 1a (2)由(1)知： ( )f xx , ( )sing xxx , ( )g x 在 11 ，上单调递减, ( )cos0g xx cosx 在 1 1 ， 上恒成立, 1 ， max( )( 1)sin1g xg , 只需 2 sin11tt , 2 (1)sin1 10tt （其中 1 ）恒成立, 由上述结论：可令 2 (1)sin1 10(1ftt ） , 则 2 t10 1sin1 10tt , 2 1 sin10 t tt ,而

16、2 sin10tt 恒成立, 1t . 【点评】某些函数存在性与恒成立问题中,当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函 数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的 效果.此类问题的难点常常因为学生的思维定势,易把它看成关于的不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭 折； 若转换一下思路,把待求的 x 为参数,以为变量,构造新的关于参数的函数,再来求解参数应满足的条件这样 问题就轻而易举的得到解决了. 【牛刀小试】若不等式 2 211xm x 对任意1,1m 恒成立,求实数 x 的取值范围. 【答案】312x (四

17、)数形结合法 【例 4】已知函数 2 22f xxkx ,在 1x 恒有 f xk ,求实数k的取值范围. 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 8 8 【分析】 为了使题中的条件 f xk 在 1,x 恒成立,应能想到构造出一个新的函数 F xf xk,则可把原题 转化成所构造新的函数在区间 1, 时恒大于等于0的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,即可使问 题得到

18、圆满解决. 【解析】令 2 22F xf xkxkxk , 则 0F x 对 1,x 恒成立,而 F x是开口向上的抛物线. 当图象与 x 轴无交点满足0 ,即 2 42 20kk , 解得21k . 当图象与 x 轴有交点,且在 1,x 时 0F x , 则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得： 0 10 2 1 2 F k 解得32k , 故由知31k . 【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时,往往可通过图象、图形的位置关系建立不等式从而 求得参数范围. 解决此类问题经常要结合函数的图象,选择适当的两个函数,利用函数图像的上、 下位置关系来确定 参数的范围.利用数形结合

19、解决不等式问题关键是构造函数,准确做出函数的图象.常见的有两类函数：若二次函数 2 0yaxbxc a 大于0恒成立,则有 0 0 a ,同理,若二次函数 2 0yaxbxc a 小于0恒成立,则有 0 0 a .若是二 次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解. 【牛刀小试】 【2017 河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在R上的奇函数 f x满足:当0 x 时, 3 f xx,若不等式 2 42ftfmmt对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是. 【答案】 ,2 【解析】当0 x 时, 33 ()( )()( )f xfxxf xxxRf x 在

20、R上是增函数 2 42tmmt 对任意实数t恒成立 2 442tmttm 对任意实数t恒成立,结合二次函数图象可得 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 9 9 2 0 1680 m m m ,2 ,故选 A. (五五)存在性之常用模型及方法存在性之常用模型及方法 【例 5】设函数 2 1 ln 2 a fxaxxbx ,aR且1a .曲线 yf x在点 1,1f处的切线的斜

21、率为0. （1）求b的值； （2）若存在1,x,使得 1 a fx a ,求a的取值范围. 【分析】 （1） 根据条件曲线 yf x在点 1,1f处的切线的斜率为0,可以将其转化为关于a,b的方程,进而求 得b的值： 1 a fxa xb x , 10 f 101aabb； （2）根据题意分析可得若存在 1,)x,使得不等式 1 a fx a 成立,只需 min ( ) 1 a f x a 即可,因此可通过探求( )f x的单调性进而求得 ( )f x的 最 小 值 , 进 而 得 到 关 于a的 不 等 式 即 可 , 而 由 （ 1 ） 可 知 2 1 ln 2 a fxaxxx , 则

22、11xa xa fx x ,因此需对a的取值范围进行分类讨论并判断( )f x的单调性,从而可以解得a的取 值范围是 21,211,. 【解析】 （1） 1 a fxa xb x , 由曲线 yf x在点 1,1f处的切线的斜率为0,得 10 f , 即10aab,1b ； 4 分（2）由（1）可得, 2 1 ln 2 a fxaxxx , 2 111 11 xa xaa xxa a fxa x xxx , 令 0fx,得 1 1x , 2 1 a x a ,而 21 1 11 aa aa , 当 1 2 a 时,1 1 a a , 在1,上, 0fx, f x为增函数, min 11 11

23、22 aa fxf , 令 1 21 aa a ,即 2 210aa ,解得2121a . 当 1 1 2 a时,1 1 a a , 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 10 10 x1, 1 a a 1a a , 1 a a fx 0 f x极小值 2 min ln 112 111 aaaaa fxfa aaaaa , 不合题意,无解,10 分 当1a 时,显然有( )0

24、f x ,0 1 a a ,不等式( ) 1 a f x a 恒成立,符合题意, 综上,a的取值范围是21,211,. 【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法,先求其否定（恒成 立）,再求其否定补集即可解决.它的逻辑背景：原命题为,( )xM P x 的否定为,( )xMP x ；原命题为 ,( )xM P x 的否定为“,( )xMP x .处理的原则就是：不熟系问题转化为熟悉问题. 【牛刀小试】已知)(xfxx 2 2 1 ,)(xgax ) 1ln(, (1)若存在2 , 0, 21 xx,使得)()( 21 xgxf,求实数a的取值范围； (

25、2)若存在2 , 0, 21 xx,使得)()( 21 xgxf,求实数a的取值范围. 【解析】 ,f xg x在0,2上都是增函数,所以 f x的值域，40A g x的值域3ln,aaB. (1) 若存在2 , 0, 21 xx,使得)()( 21 xgxf,则 minmax )()(xgxf,即 4a,所以4a. (2)若存在 21,x x使得)()( 21 xgxf,则AB ,4a 且ln30a,实数a的取值围是4,ln3. 五、迁移运用五、迁移运用 1【淮安市淮海中学 2018 届高三上第一次调研】 已知定义在R上的偶函数 f x,当0 x 时, 2 log1f xx, 则使得21fx

26、f x成立的x的取值范围为_ 【答案】 1 1 3 x 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 11 11 2 【南通中学 2018 届高三 10 月月考】已知函数,若对任意实数 都有,则实 数 的取值范围是_. 【答案】 【解析】构造函数,函数为奇函数且在上递减, 即,即,即 ,所以即恒成立,所以,所以 ,故实数 的取值范围是 3 【泰州中学 2018 届高三 10 月月考】

27、已知函数 3 1f xxx,若对任意的x,都有 2 2f xaf ax, 则实数a的取值范围是_ 【答案】0,4 【解析】构造函数 1g xf x,则 g x是奇函数,是 R 上的增函数,所以原不等式变为 2 0g xag ax,所以 2 g xagax,即 2 0 xaxa恒成立, 所以 2 40aa ,解得：04a,故填0,4. 4 【徐州市第三中学 20172018 学年度高三第一学期月考】已知函数 2 2,0 313,0 xx f x xx ,若存在唯一 的整数x,使得 0 f xa x 成立,则实数a的取值范围为_ 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群

28、：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 12 12 【答案】0,23,8 5 【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】若存在 xR,使得 34x a 2 2x x （a0 且 a1）成立,则实数 a 的取值范围是_ 【答案】2a 或 9 02a且1.a . 【解析】 2 342 21 2 2 xxx log alogxx , （3x4） 2 2 log axx, 当 3x4=0 即 4 x 3 时, 2 444 0 339 故舍去 当

29、3x40 即 4 x 3 时, 2 2 34 xx log a x ,令 t=3x40, 14 y5 9 t t ,所以 2 log a1所以 a2 当 3x40 即 4 x 3 时,令 t=3x40, 2 1 9 log a ，所以 a 9 2 综上,a2 或 0 a 9 2且 a1 6. 【2016-2016-20172017 学年度江苏苏州市高三期中调研考试】学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数 2 xa fx xa ,若对于定义域内的任意 1 x, 总存在 2 x使得 21 f xf x,则满足条件的实数a的取值范围是_ 【答案】0a 公众号：渝城高中数学会 608396916高

30、中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 13 13 7. 若关于 x 的不等式 x 21 2 x 1 2 n 0 对任意 nN *在 x（,上恒成立,则实常数的取值范围是 _ 【答案】 （,1 【解析】 试题分析： 不等式可化为 x 21 2 x 1 2 n ,由 nN *,得 1 2 n 的最大值为 1 2 ,则 x 21 2 x 1 2 ,解得 x 1 2 或 x1, 又 x（,故实常数的取值范围是（,1 【名师点晴

31、】不等式恒成立问题是历年高考的热点问题,经久不衰,问题常常在知识网络交汇处设置,它可以与主 干知识如函数、导数、数列、三角函数、解析几何等整合在一起,里面又可以涉及到不等式证明问题和参数取值 范围问题,渗透着转化与化归、数形结合等重要数学思想,本题采用分离参数法, 1 ( ) (*) 2 n nN的最大值为 1 2 ,原 不等式转化为 2 11 22 xx,解此不等式分析可得结论 8已知 f x是定义在R上的偶函数,且当0 x 时, 2 1 x fx x ,若对任意实数 1 ,2 2 t ,都有 10f taf t恒成立,则实数a的取值范围是 【答案】 , 30, 【解析】 试题分析： 23

32、( )1 11 x f x xx ,所以( )f x在( 1,) 上,也即在0,)上单调递增,由 ()(1)0f taf t得()(1)f taf t,又( )f x是偶函数,所以()(1)f taf t,所以 1tat, 22 ()(1)tat, 2 (22)10ata ,此不等式在 1 ,2 2 t时恒成立,则 2 2 2(22)10 1 (22)10 2 aa aa ,解得30aa 或 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：

33、群：608396916608396916 下载！下载！ 14 14 【名师点晴】函数不等式 12 ()()f xf x的解法是根据函数的单调性去函数符号“f”,化为一般的不等式 12 xx （或 12 xx） ,这就要求 1 x与 2 x在同一个单调区间内,对偶函数( )f x,由于在关于原点的对称区间上单调性相反, 因此都是把不等式 12 ()()f xf x化为 12 ()()f xf x 9 【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】函数 2 1 2logf xx的定义域为_ 【答案】0,e 【解析】由已知可得 2 12log0 02 0 x x x ,故答案为0,2

34、 . 10 【2018 届江苏南通市高三第二次阶段测试】若不等式2150 x enx在实数集 R 上恒成立,则正整数n的最 大值是_ 参考数据： 2 15 7 2 e 【答案】14n 【解析】 不等式2150 x enx在实数集 R 上恒成立,等价于y2 x e的图象恒在y15nx 上方,y15nx与y2 x e的图象相切时斜率n最大,设y15nx与y2 x e的图象相切时切点坐标为 0 x,则 n 0 2 x e, 切 线 方 程 为 00 0 22 xx yeexx, 将 点0, 15代 入 切 线 方 程 可 得 0 00 21150 x g xex, g x在1,上 递 增 , 20,

35、30gg, 0 2,3x ,n 0 23 22,2 x eee,y2 x e的图象恒在y15nx上方,所以n 0 2 22 x ee,而 2 214,15e ,所以正整数n 的最大值是14,故答案为14n . 11已知 2 1 2 b f xxc x （b,c为常数）和 11 4 g xx x 是定义在=|14Mxx上的函数,对于任 意的xM,存在 0 xM使得 0 f xf x, 0 g xg x,且 00 =f xg x,则 f x在M上的最大值为 _. 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注

36、公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 15 15 【答案】5 【解析】 1111 21 44 g xxx xx ,(当且仅当 x=2 时,等号成立), 2221 2 b fcg,1 2 b c , 22 11 1 222 bbb f xxcx xx , 3 22 bxb fxx xx ,f(x)在 x=2 处有最小值, 20f,即 b=8,故 c=5, 故 3 2 2 188 5, 2 x f xxfx xx ,故 f(x)在1,2上是减函数,在2,4上是增函数, 而 17 185,48255 22 ff ,

37、故 f(x)的最大值为 5. 12.设函数 f(x)axsinxcosx若函数 f(x)的图象上存在不同的两点 A,B,使得曲线 yf(x)在点 A,B 处的切线互相 垂直,则实数 a 的取值范围为 【答案】 1 , 1 13.13.【2016-20172016-2017 学年度江苏苏州市高三期中调研考试学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数 33 xx f xR （1）若 f x为奇 函数,求的值和此时不等式 1f x 的解集； （2）若不等式 6f x 对0,2x恒成立,求实数的取值范围 【答案】 （1）1 ,解集为 3 15 | xlog 2 x ； （2）27 【解析】 试题分析：

38、 （1） 函数为奇函数,根据奇函数的定义()( )0fxf x恒成立可求得参数的值,也可由(0)0f求 出,然后再检验即可（本题中(0)f存在）,解不等式( )1f x 只要把3x作为整体（可用换元法）,利用一元二次 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 16 16 不等式的解法求得,注意30 x ； （2）不等式 6f x 即为336 xx ,也即 2 6 3(3 ) xx

39、 ,因此只要求得 2 6 3(3 ) xx 在0,2x的最小值即可 试题解析：解： （1）函数 33 xx f x 的定义域为R, f x为奇函数, 0fxf x对xR 恒成立, 即 33331 330 xxxxxx 对xR 恒成立, 1 此时 331 xx f x ,即 2 3310 xx , 解得 15 3 2 x 或 15 3 2 x （舍去） 解集为 3 15 | xlog 2 x , （2）由 6f x 得336 xx ,即36 3 x x , 令31,9 x t ,原问题等价于6t t 对1,9t恒成立, 亦即 2 6tt 对1,9t恒成立, 令 2 6 ,1,9g ttt t ,

40、 g t在1,3上单调递增,在3,9上单调递减 当9t 时, g t有最小值 927g ,27 . 14 【20162016 届山东师大附中高三上学期二模届山东师大附中高三上学期二模】已知函数 ,lnln x f xeg xxa（a 为常数,e=2718）, 且函数 0yf xx在处的切线和 yg xxa在处的切线互相平行 （1）求常数 a 的值； （2）若存在 x 使不等式 xmx f x成立,求实数 m 的取值范围 【答案】 （1）1a ； （2）(,0) 【解析】 试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的 公众号：渝城高中数学会

41、608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 17 17 极值和最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问,先利用导数求出函 数( )yf x在0 x 处的切线的斜率 0 1 1ke,再求出函数函数( )yg x在xa处的切线的斜率 2 1 k a , 根 据题意列出等式,解出 a 的值； 第二问,先将 xmx f x转化为 x mxxe, 构造函数( ) x h xxxe,

42、 利用导数判断函数的单调性,求出函数的最值,从而得到 m 的取值范围 试题解析： （1）因为( ) x fxe, 所以函数( )yf x在0 x 处的切线的斜率 0 1 1ke, 又因为 1 ( )g x x , 所以函数( )yg x在xa处的切线的斜率 2 1 k a , 所以,由 1 1 a ,得1a ； （2）( )xmx f x可化为 x mxxe, 令( ) x h xxxe,则 1 ( )1 () 2 x h xx e x , 因为0 x ,所以 1 2 2 x x , 1 1()1 2 xx ex e x , 故( )0h x, 所以( )h x在(0,)上是减函数,因此( )

43、(0)0h xh, 所以,实数m的取值范围是(,0)； 15已知函数 2 lnf xxxx （1）求函数 f x的单调递减区间； （2）若对于任意的0 x ,不等式 2 11 2 a f xxax 的恒成立,求整数 a 的最小值 【答案】 （1）(1, ) ； （2）2 【解析】 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 18 18 试题解析： （）解： （） 2 121 ( )

44、21(0) xx fxxx xx , 由( )0fx ,得 2 210 xx , 又0 x ,所以1x 所以( )f x的( )f x的单调减区间为(1,) （）令 22 1 ( )( )(1)1ln(1)1 22 a g xf xxaxxaxa x, 所以 2 1(1)1 ( )(1) axa x g xaxa xx 当0a时,因为0 x ,所以( )0g x 所以( )g x在(0,)上是递增函数, 又因为 2 13 (1)ln11(1) 120 22 gaaa , 所以关于x的不等式 ( )f x 2 (1)1 2 a xax不能恒成立 当0a 时, 2 1 ()(1) (1)1 ( )

45、 a xx axa x a g x xx , 令( )0g x ,得 1 x a 所以当 1 (0, )x a 时,( )0g x ；当 1 ( ,)x a 时,( )0g x , 因此函数( )g x在 1 (0, )x a 是增函数,在 1 ( ,)x a 是减函数 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 19 19 故函数( )g x的最大值为 2 111111 ( )l

46、n( )(1)1ln 22 gaaa aaaaa 令 1 ( )ln 2 h aa a , 因为 1 (1)0 2 h, 1 (2)ln20 4 h,又因为( )h a在(0,)a是减函数 所以当2a时,( )0h a 所以整数a的最小值为 2 解法二： 2 0,11 2 a xf xxax 恒成立 所以 3 4 2 2 3 1a a f 又2,aZa（必要性）, 下面证明充分性,当 2a 时, 设 22 11ln11 22 aa g xf xxaxxxa x 1 1 1 1 a xx a gxaxa xx 1 0,0,xgxg x a 递增； 1 ,0,xgxg x a 递减 0ln 2 1

47、 1 1 2 11 ln 1 max a aa a aaa gxgxg 所以不等式成立 16.设函数 2 ( )lnf xaxax, 1 ( ) x e g x xe ,其中aR,e2.718为自然对数的底数. （1）讨论( )f x的单调性； （2）证明：当1x 时,( )0g x ； （3）确定a的所有可能取值,使得( )( )f xg x在(1,)区间内恒成立. 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：6083969166

48、08396916 下载！下载！ 20 20 （2）证明：要证( )0(1)g xx,即 1 0 x e xe ,即证 1 x e xe ,也就是证 x e e x . 令( ) x e h x x ,则 2 (1) ( ) x ex h x x ,( )h x在(1,)上单调递增,则 min ( )(1)h xhe, 即当1x 时,( )h xe,当1x 时,( )0g x ； （3）由( )( )f xg x,得 21 1 ln0 x axaxe x . 设 21 1 ( )ln0 x t xaxaxe x ,由题意知,( )0t x 在(1,)内恒成立. (1)0t,有 11 22 111

49、 ( )220 xx x t xaxeaxe xxx 在(1,)内恒成立. 令 1 2 1 ( )2 x x xaxe x ,则 11 233 122 ( )22 xx x xaeae xxx , 当2x 时,( )0 x, 令 3 2 ( ) x h x x , 4 26 ( ) x h x x ,函数在1,2)上单调递增. min ( )(1)1h xh . 又21a , 1 0 x e ,12x,( )0 x. 综上所述,1x ,( )0 x,( ) x在区间(1,)单调递增, ( )(1)0t xt,即( )t x在区间(1,)单调递增, 1 2 a . 17.已知函数( )()ln

50、b f xa xbx x (其中abR，). 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 21 21 () 当4b 时,若( )f x在其定义域内为单调函数,求a的取值范围； () 当1a 时,是否存在实数b,使得当 2 ee x，时,不等式( )0f x 恒成立,如果存在,求b的取值范围,如果 不存在,说明理由（其中e是自然对数的底数,e2.71828）. 【解析】() 由题0