试读版 第四章技巧套路篇圆锥曲线统一的极坐标方程.pdf

1、9.1 圆锥曲线统一的极坐标方程 圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义与一个定点（焦点）的距离和一条定直线（准线）的距离的比等 于常数 e（离心率）的点的轨迹 圆锥曲线圆锥曲线的统一极坐标方程的统一极坐标方程如图所示，以椭圆的左焦点（双曲线的右焦点、抛物线的 焦点）为极点，过点 F 作相应准线 l 的垂线，垂足为 H，设HFp，并以 FH 的反向延长 线为极轴建立极坐标系 设圆锥曲线的点为(, )P ，点 P 在准线 l 上的投影为点 P ，则cosPPHFPF ， 故 coscos PFPF e PPHFPFp ， 可得 1cos ep e ， 此即为圆锥曲线的统一 极坐标方程 l F P

2、P H 相关说明相关说明(1) p 的几何意义的几何意义焦点到对应准线的距离，即焦准距，对于椭圆和双曲线， 2 b p c ，抛物线相同！ (2) e 是是离心率离心率当01e时， 方程表示椭圆； 当1e 时， 方程表示双曲线； 当1e 时， 方程表示抛物线 (3) 统 一 极 坐 标 方 程 对 应 的 极 点 和 极 轴 方 向统 一 极 坐 标 方 程 对 应 的 极 点 和 极 轴 方 向 焦 点 都 在 x 轴 上 ， 椭圆是以左焦点为极点 抛物线是以焦点为极点 双曲线是以右焦点为极点 ，极轴方向与 x 轴正方向同向；焦点在 y 轴上类似 注注从图像上看，统一开口朝着 x 轴或 y

3、轴的正方向！是焦半径到 x 轴或 y 轴的正方 向的角 (4) 当然，对于椭圆和双曲线，也可以选择另一个焦点作为极点，但是，此时的极坐标 方程会有变化！譬如，以椭圆为例，以右焦点为极点，极轴方向与 x 轴正方向同向，此时极 坐标方程： 1cos ep e x l F P P H 分析分析如图，如果极轴方向与 x 轴反方向同向，则极坐标方程和上面的类似，应该是 1cos ep e ， 但是， 此时的极轴方向与 x 轴正方向同向， 故 1cos()1cos epep ee 因此，一定要注意把握极坐标的实质，不要被选取的焦点所迷惑，注意极角方向始终和 圆锥曲线的开口方向一致，不要被 x、y 轴的正方

4、向所干扰 (5) 圆锥曲线的极坐标方程，也可以理解为焦半径的倾斜角公式焦半径的倾斜角公式！ (5) 请思考请思考如果焦点在 y 轴，以焦点为极点，x 轴的正方向为极轴的正方向，此时圆 锥曲线的极坐标方程又是如何？ 分析分析和上面的分析类似，把角度进行相应的替换即可，譬如，以椭圆为例，若焦点 在 y 轴的负半轴，则 1cos1sin 1cos 2 epepep ee e ；若焦点在 y 轴的正半轴， 则 1sin ep e (5) 焦点在 x 轴上的圆锥曲线的焦半径形式汇总 椭圆的椭圆的极坐标极坐标 22 22 , 1cos 10 , 1cos ep P xy e ab epab P e 到左焦

5、点的距离 即曲线开口朝正方向 到右焦点的距离 即曲线开口朝负方向 双曲线的双曲线的极坐标极坐标相对复杂一点，但是， “右右”和“左左”和上面的规律是一致的 22 22 , 1cos 1cos , 1cos 10,0 , 1cos 1cos , 1cos ep ep P e e ep P xye ab abep ep P e e ep P e 右右 即 在右支 到右焦点的距离 右左 即 在右支 到左焦点的距离曲线开口朝正方向 左左 即 在左支 到左焦点的距离 左右 即 在左支 到右焦点的距离曲线开口朝负方向 抛物线的抛物线的极坐标极坐标 2 2(0) 1cos p ypx p 例例写出下列圆锥曲

6、线统一的极坐标方程： (1) 22 1 43 xy ；(2) 2 4yx 解解(1) 由于 1 2 e ， 2 3 a pc c ， 因此， 以左焦点为极点的极坐标方程为 3 2cos ； (2) 由于1e ，2p ，因此，以焦点为极点的极坐标方程为 2 1cos 例例对于椭圆 3 2cos ，写出左右顶点的直角坐标 解解左顶点为(1, )，右顶点为(3, 0)；右顶点对应点的极角为 0，因此只需令0， 得3便右顶点的极径，即右顶点的极坐标为(3,0)，同理可得左顶点的极坐标为(1, ) 例例(2016 上海理)下列极坐标方程中，对应的曲线为下图的是() O x A65cosB65sinC65

7、cos D65sin 解解从答案入手，依次取0、 2 、 3 2 ，结合图形，显然选 D心形线！ ！ 例例(2014 天津理)在以 O 为极点的极坐标系中， 圆4sin和直线sina相交于 A、 B 两点.若AOB 是等边三角形，则 a 的值为_. 例例(1)(2007 重庆理压轴)过双曲线 22 4xy的右焦点 F 作倾斜角为105的直线，交 双曲线于 P、Q 两点，则FPFQ的值为_ (2) 将(1)中的“105”改为“150” ，则FPFQ的值为_ 解解(1)由于105135，故点 P、Q 均在右支上，又2e ， 2 2 b p c ，105， 故 22 222 4448 3 1cos1

8、cos()1cos12cos 105cos210cos303 epepe p FPFQ eee (2) 此时点 P、Q 在左、右两支上，假设点 P 在左支，Q 在右支，FQ是“右右” ，则 1cos ep FQ e ，FP是“左右” ，则 1cos1cos epep FP ee 【记不住就利用第二 定义现推，也不难！ 】 故 22 222 444 8 1cos1coscos12cos 1501cos300cos60 epepe p FPFQ eee 9.2 统一极坐标方程的伪装法 实际考试之中，尤其是在解析几何大题中，极坐标方程是不能直接使用的，再加之形式 较多，比如左右焦点、x 或 y 坐标

9、轴、双曲线的单双支，对应的极坐标方程都是不一样的， 显然，非常不容易记忆 同时，如果利用第二定义现推（抛物线除外） ，在解答题中，又会显得格格不入，因此， 有必要利用其它的套路去变相推导和使用极坐标方程 对于椭圆和双曲线也可以利用“第一定义焦点三角形第一定义焦点三角形的余弦定理的余弦定理”进行推导！ 注注和焦半径的使用套路串联理解熟悉 例例(2013 大纲卷文压轴、理)已知双曲线 22 22 10,0 xy Cab ab ：的左、右焦点分 别为 12 FF、，离心率为 3，直线2y 与 C 的两个交点间的距离为6 (1) 求 a、b (2) 设过 2 F的直线 l 与 C 的左、 右两支分别相

10、交于 A、 B 两点， 且 11 AFBF， 证明： 2 AF、 AB、 2 BF成等比数列 x y O 2 F 1 F A B 解解(1) 易知点 6 , 2 2 在双曲线上，即 22 34 1 2ab ，又 2 2 2 18 b e a ，解得1a ， 2 2b (2) 法一法一通法先行通法先行，设斜率法设斜率法韦达定理韦达定理 易知直线 l 的斜率存在且不为 0，设 11 (,)A xy， 22 (,)B xy，直线 l 为：3xmy，其中 1 2 2 m ，与双曲线 2 2 1 8 y x 联立： 22 (81)48640mymy，则 12 2 48 81 m yy m ， 12 2

11、64 81 y y m 由 于 11 AFBF， 故 22 22AFaaBF， 即 22 4AFBFABa， 即 2 12 14myya，即 22 2 2 (48 )4(81)64 14 81 mm m m ，解得 2 5 4 m 故 2 2 2 2212 2 64(1) (1)16 81 m AFBFmy yAB m 注注其 中 的 1 2 2 m 不 能 遗 漏 ， 它 也 可 以 利 用 联 立 后 的 方 程 确 定 ， 即 2 12 2 810 0 64 0 81 m y y m ，显然繁琐一些此外，此题和上海 16 文科基本一样的！ 法二法二利用极坐标，借助第二定义余弦定理伪装书写

12、利用极坐标，借助第二定义余弦定理伪装书写 设 21 AF F，在 12 AF F中，利用余弦定理可得： 2 222 12122122 22cosAFAFaFFAFFFAF 整理可得： 2 8 3cos1 AF ，同理可得： 2 8 3cos1 BF 由 于 11 AFBF， 故 22 22AFaaBF， 即 22 4AFBFABa， 即 88 4 3cos13cos1 ，解得： 2 9cos164 故 2 22 2 8864 16 3cos13cos19cos16 AFBFAB 练习练习(2008 全国卷文压轴、理)双曲线的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，两条渐近线 分别为 12 ll、，经

13、过右焦点 F 垂直于 1 l的直线分别交 12 ll、于 A、B 两点已知OA 、AB 、 OB 成等差数列，且BF 与FA 同向 (1) 求双曲线的离心率；(2) 设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程 F O A B y x 解解(1) 5 2 e ；有两种方法，具体解答参见双曲线基础知识篇之渐近线； (2) 设直线 AB 和双曲线交于 M、N 两点，则4MN ；设MFx，则由(1)知 1 cos 5 （假设 M 在 x 轴上方） ，设双曲线的左焦点为 F ，在MFF中，利用余弦定 理得： 222 2 (2 )2cos()MFMFaMFFFMF FF， 解得： 2 cos

14、 b MF ac ；同理可得： 2 cos b NF ac ，故 222 222 2 4 coscoscos bbab MNMFNF acacac ， 由于 5 2 e ， 故2ab，5cb， 代入上式， 解得3b ， 故双曲线的方程为 22 1 369 xy 例例(2012 安徽文)如图， 12 FF、分别是椭圆 22 22 10 xy Cab ab ：的左、右焦点，A 是椭圆 C 的顶点，B 是直线 2 AF与椭圆 C 的另一个交点， 12 60F AF 1 F 2 F y O x A B (1) 求椭圆 C 的离心率；(2) 已知 1 AFB面积为40 3，求 a、b 的值 解解(1)

15、由 12 60F AF，可得2ac，故椭圆 C 的离心率为 1 2 (2) 法一法一易得 22 4ac， 22 3bc，故椭圆为 22 22 1 43 xy cc ，直线 AB 为3()yxc ， 与椭圆联立，可解得点 83 3 , 55 Bcc ，故 1 12 113 3 23 25 40 2 3 AF BAB SFFyyccc ，解得5c ，10a ，5 3b 法二法二易知 12 AFAFa，设 2 BFm，则 1 2BFam，在 12 BFF中，利用余弦 定理： 222 121212 2 2cos120BFBFFFBFFF， 解得 3 5 ma故 1 1 1133 sin6040 3 2252 AF B SAF ABaaa ，解得10a ， 5c ，5 3b 注注利用极坐标方程可知： 2 2 3 1coscos(120180 )5 epb BFa eac