试读版 第四章技巧套路篇对称点点法差法vs点的斗转星移.pdf
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1、6.1 对称点点法差法 vs 点的斗转星移 例例(1) 椭圆 22 22 10 xy ab ab 的两个顶点为 1( , 0)Aa, 2( , 0) A a,与 y 轴平行的直 线交椭圆于 1 P、 2 P时,求证: 11 A P与 22 A P交点的轨迹方程是: 22 22 1 xy xa ab (2) 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两个顶点为 1( , 0)Aa, 2( , 0) A a,与 y 轴平行的直 线交双曲线于 1 P、 2 P时,求证: 11 A P与 22 A P交点的轨迹方程是: 22 22 10 xy xa ab 、 1 A 2 Ax y 1 P
2、2 P Q 证明证明如图,以椭圆为例进行证明,设 11 A P与 22 A P交点为( , )Q x y,由于 1222 PAP A kk , 利用对称点点差法可得: 1 1121 12212 2 2 P AP AP AP AQAQA byy kkkkkk axaxa 即 22 22 1 xy ab 注注这两个小题经常在解析几何大题中出现,轨迹方程的求解很简单,但是,范围的范围的限限 制制不能遗漏,尤其对于双曲线,多了0 x 的限制可参考例题之 2010 广东理 例例已知双曲线 2 2 1 2 x y的左、右顶点分别为 12 AA、,点 11 (,)P xy、 11 (,)Q xy是双 曲线上
3、不同的两个动点 (1) 求直线 1 AP与 2 A Q交点的轨迹 E 的方程; (2) 若过点(0, )(1)Hh h 的两条直线 1 l和 2 l与轨迹 E 都只有一个交点,且 12 ll,求 h 的值 分析分析此题有坑,有两个坑,第一个坑是第一问的轨迹的范围限制不能遗漏,第二个坑 就是第一个坑的基础上继续挖的坑整体来说,此题想得满分很难! ! 解解(1) 法一法一交轨法交轨法求轨迹求轨迹,实质还是实质还是消参法消参法 直线 1 AP的方程为 1 1 (2) 2 y yx x ,直线 2 A Q的方程为 1 1 (2) 2 y yx x 由得: 2 1 2 22221 22 11 1 1 2
4、 (2)(2)(2) 222 x y yxxx xx ,即为 2 2 1 2 x y 因为点 P、Q 是双曲线上的不同两点,所以它们与点 1 A、 2 A均不重合故点 1 A和 2 A均 不在轨迹 E 上,即2x 过点(0,1)及 2( 2 ,0) A的直线 l 的方程为220 xy,联立 2 2 1 2 220 x y xy ,解 得 2 0 x y ,所以直线 l 与双曲线只有唯一交点 2 A,故轨迹 E 不经过点(0,1),同理,轨迹 E 也不经过点(0,1) 【由于直线220 xy和 2 2 1 2 x y的渐近线是平行的,故只有一个交点! ! 】 综上分析,轨迹 E 的方程为 2 2
5、 1 2 x y,0 x 且2x (2) 情形一情形一 1 l和 2 l均与轨迹 E 相切,此时,恰好就是蒙日圆,显然有213h 设 过 点(0, )Hh的 直 线 为(1)ykxh h, 与 2 2 1 2 x y联 立 : 222 (12)4220kxkhxh 令0 得: 22 120hk ,设此方程的两个根分别为 1 k、 2 k,由于 12 ll,故 2 12 1 1 2 h k k ,解得3h 情形二情形二 1 l和 2 l中的一条过 1 A或 2 A,另一条与轨迹 E 相切 设 过 点(0, )Hh的 直 线 为(1)ykxh h, 与 2 2 1 2 x y联 立 : 222 (
6、12)4220kxkhxh 令0 得: 22 120hk 当 1 l过点 1 A和 H,则直线 1 l的斜率为 1 2 h k ,由于 12 ll,则 1 1k k ,即2hk 由解得: 117 2 h 同理,当 2 l过点 2 A和 H,而 1 l与轨迹 E 相切时,亦有 117 2 h 情形三情形三 1 l和 2 l分别过 1 A或 2 A,均不与轨迹 E 相切 过点 1 A、 2 A分别引直线 1 l、2l通过 y 轴上的点(0, )Hh, 且使 12 ll, 因此, 12 A HA H, 由1 22 hh ,得2h 此时, 1 l、 2 l的方程分别为2yx与2yx ,它 们与轨迹 E
7、 分别仅有一个交点 22 2 , 33 与 22 2 , 33 . 综上所述,符合条件的 h 的值为3,2或 117 2 注注对于上述的情形一、二也可采用如下方法进行求解: 情形一情形一若 1 l、 2 l与椭圆相切时,由于椭圆关于 y 轴对称,且 12 ll,则 1 l与 2 l的斜率 分别为 1 和1 又 1 l过点(0, )Hh,则直线 1 l的方程为 1 lyxh:与 2 2 1 2 x y联立: 22 3 210 2 xhxh ,由于直线与椭圆相切,故 22 3 44(1)0 2 hh ,即 2 30h, 解得3h ,3h (舍去) 情形二情形二当 1 l过点 1 A, 2 l与轨迹
8、 E 相切时,设切点为 00 (,)xy,则有: 2 20 0 1 2 x y, 00 00 2 yhx xy , 0 0 1 22 xh y , 联立解得: 117 2 h 同理,当 2 l过点 2 A和 H,而 1 l与轨迹 E 相切时,亦有 117 2 h 炫 技炫 技 法法设 直 线 1 AP与 2 A Q的 交 点 为( , )M x y, 由 于 11 A PAQ kk , 故 121212 A MA MA PA QAQA Q kkkkkk ,即为 2 111 2 1 11 1 222222 yyyyy xxxxx ,即为 2 2 1 2 x y 例例已知点( 3, 0)A 和圆
9、22 9O xy:,AB 是圆 O 的直径,M、N 分别是 AB 的三等 分点,P(异于 A、B)是圆 O 上的动点,PDAB 于 D,(0)PEED ,直线 PA 与 BE 交于 C,当时,CMCN为定值 解解 1 8 ;根据题意可知,点 C 的轨迹是以 M、N 为焦点,A、B 为顶点的椭圆,其方程 为 22 1 98 xy 设 00 (,)P xy,则 22 00 9xy, 0 0, 1 y E x ,利用对称点点差法可知: 0 0 00 8 1 339 CACBPAEB y y kkkk xx , 易解得 1 8 例例已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A,左焦点
10、为 1( 3, 0) F , 点 16 3, 5 B 在椭圆上,直线(0)ykx k与椭圆交于 E、F 两点,直线 AE、AF 分别与 y 轴 交于 M、N 两点 (1) 求椭圆的方程; (2) 以 MN 为直径的圆是否过定点?若经过,写出定点的坐标,若不存在,请说明理由 略解略解 22 1 2516 xy , 易知 16 25 AEAFAMAN kkkk , 即 16 5525 NM yy , 即16 MN y y , 利用相交弦定理,显然,过定点( 4,0) 例例(2009 江西理)已知点 100 (,)P xy为双曲线 22 22 1 8 xy bb (b 为正常数)上任一点, 2 F
11、为双曲线的右焦点,过 1 P作右准线的垂线,垂足为 A,连接 2 F A并延长交 y 轴于 2 P (1) 求线段 12 PP的中点 P 的轨迹 E 的方程; (2) 设轨迹 E 与 x 轴交于 B、D 两点,在 E 上任取一点 111 ,(0)Q xyy (),直线 QB、QD 分别交 y 轴于 M、N 两点求证:以 MN 为直径的圆过两定点 x y O P 1 P 2 P 1 F 2 F A 解解(1) 2(3 , 0) Fb, 0 8 , 3 b Ay , 直线 2 F A为: 0 3 (3 ) y yxb b , 令0 x , 可得 20 (0,9)Py, 设( , )P x y,则
12、0 00 2 29 xx yyy ,即 0 0 2 5 xx y y ,代入 22 00 22 1 8 xy bb ,可得 22 22 1 225 xy bb , 此即为线段 12 PP的中点 P 的轨迹 E 的方程 (2)利用双曲线的第三定义,亦即对称点点差法: 2 22 25 22 NMNM QBQDMBMD BD yy yyb kkkk xxbb ,即 2 25 MN y yb , 【至此可知,定点显然 是( 5 , 0)b】 设以 MN 为直径的圆与 x 轴的交点为( , 0)T t, 根据相交弦定理可得: 2 OMONOT, 即 2 MN y yt,即5tb ,因此,以 MN 为直径
13、的圆所过的两个定点是(5 , 0)b和( 5 ,0)b 拓展拓展关于此类圆过定点的题型,以下是两种常见的模式: (1) 左图是以第三定义为背景,此时有: 2 2 NM APBPAMBN yyb kkkk tataa ,即 222 2 () MN b ta y y a 设HSHTd,则根据圆幂定理得: 2 MN y yd,即 222 2 ()b ta d a ,因此,以 MN 为直径的圆恒过定点(, 0)S td和(, 0)T td,其中 222 2 ()b ta d a (2) 右图是以弦 PQ 过定点(, 0)R m,则直线 AP、AQ 的斜率积为定值为背景,此时有: 2 2 () () N
14、M APAQAMAN yybma kkkk tataama , 即 2 2 2 () () () MN bma y yta ama ,后续分析同上,相关证明方法,参见接下来的章节即可 y x A P B M N S H T xt O y x A P M N S H T xt Q OR 例例设椭圆 22 22 10 xy ab ab :的左顶点( 2,0)A ,离心率 3 2 e ,过点(1,0)G的 直线交椭圆于 B、C 两点,直线 AB、AC 分别交直线3x 于 M、N 两点 (1) 求椭圆的标准方程; (2) 以线段 MN 为直径的圆是否过定点,若是,求出所有定点的坐标;若不是,请说明 理
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