关于一道集合计数问题的推广发散.pdf

1、已知集合A=1,2,3,4,5,6的所有三个元素的子集记为B1,B2,B3,Bk,kN *.记b i为集合Bi(i =1,2,3,k)中最大的元素， 则b1+b2+bk= () A. 45B. 105C. 150D. 210 B 集合A=1,2,3,4,5,6共6个元素 三个元素的子集， 从6个中抽取3个元素 k=C63=20 对于题设bi为集合Bi(i=1,2,3,k)中最大的元素 联想到以最大元素分类 确定了最大元素， 其余两个元素自然就是从前面的数取 最大元素个数 3C22=1 4C32=3 5C42=6 6C52=10 这里担心有遗漏！也可以验证一下是不是20个 C22+C32+C42

2、+C52=20=C63这里藏着一个恒等式！咱们下文见分晓！ b1+b2+bk=3C22+4C32+5C42+6C52=105 本题看点： 这道题是个简单的集合类计数问题， 元素个数为6个， 我们把问题推广一下元素个数为n(n3)个， 集合A= 1,2,3,n的所有三元子集记为B1,B2,B3,Bk,kN *. bi为集合Bi(i=1,2,3,k)中最大的元素， b1+b2+bk=? k=C3 n 最大元素个数 3C22 4C32 nC2 n-1 b1+b2+bk=3C22+4C32+nC2 n-1=3C 4 n+1 我猜看到这里你一定是 满脸问号？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？这TM怎么

3、求出来的？什么鬼？ 3C4 n+1? 咱们先介绍两个组合恒等式 C m n+C m+1 n =C m+1 n+1杨辉三角 kC k n=nC k-1 n-1(自己证明！ ！ ！ ） 3C22+4C32+nC2 n-1 =3C3 3+3C 3 4+3C 3 n （用式） =3(C4 4+C 3 4+C 3 n)利用C 4 4=C 3 3 =3(C4 5+C 3 n) （利用式） = =3C4 n+1 还记得我们前面提到的藏得一个恒等式吗？ 也就是： C3 3+C 3 4+C 3 n =C4 4+C 3 4+C 3 n =C4 n+1 是不是气的想骂M！ ！没事自己算两遍就好了！ ！ ！ ！ 还没

4、完！ 咱们再推广一下由3个元素的子集变成为m个元素的子集！ 集合A= 1,2,3,n的所有m元子集记为B1,B2,B3,Bk,kN *.(mn,m,nN*) bi为集合Bi(i=1,2,3,k)中最大的元素， b1+b2+bk=? k=Cm n 最大元素个数 mCm-1 m-1 m+1Cm-1 m nCm-1 n-1 b1+b2+bk=mCm-1 m-1+(m+1)C m-1 m +nCm-1 n-1=mC m+1 n+1 证明过程与上面的过程一模一样！ ！ ！ 你肯定心里很无语一个破选择题搞成这玩意！有意思吗！ ！就是为了装逼！ 达咩！达咩！ 我 的 本 意 是为了强调这两个组合恒等式！ 因为在2021八省联考就遇到了！也可以用这个恒等式！ ！ ！ ！ ！ ！ 6(1+x) 2+(1+x)3+(1+x)9的展开式中x2的系数是( ) A60 B80 C84 D120 x 2的系数为C2 2+C 2 3+C 2 9=C 3 3+C 2 3+C 2 9=C 3 10=120 硬算也可以 好了就到这了！