高考数学培优专题库教师版第47讲 坐标系与参数方程.doc

1、高考数学培优专题库教师版 第四十七讲第四十七讲 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 A A 组组 一、选择题一、选择题 1.已知圆C的参数方程为 1 1 xcos ysin (为参数)，当圆心C到直线 4 0kxy 的距离最大时，k的值为() A. 1 3 B. 1 5 C 1 - 3 D 1 - 5 解析O的直角坐标方程为 22 ()(11)1xy ，圆心1,1C ，又直线4 0kxy 过定点04A，故当CA与直线4 0kxy 垂直时，圆心C到直线距离最大， 11 5. 55 CA kkk ， ， 2 2.极坐标方程cos和参数方程 1 2 xt yt (t为参数)所表示的图形分别是() A直

2、线、直线B直线、圆 C圆、圆D圆、直线 解析由cos得 2 cos， 22 0.xyx 此方程所表示的图形是圆 消去方程 1 2 xt yt 中的参数t可得，1 0 xy ，此方程所表示的图形是直线 3 3.下列参数方程(t为参数)中，与方程 2 yx表示同一曲线的是() A 2 xt yt B. 2 xtan t ytant C. =t y=t D. 2 xtant ytan t 解析将tx代入 2 yt得， 2 yx，故 A 错，将tanty代入 2 xtan t中得， 2 xy， tantR，故 B 正确，C、D 容易判断都是错的 4 4.直线 1 2 1 2 xt yt (t为参数)被

3、圆 3 3 xcos ysin (为参数)截得的弦长为() A2 7B.7C4 7D2 解析将直线 1 2 1 2 xt yt 化为普通方程得2xy ，将圆 3 3 xcos ysin 化为普通方程得 22 9.xy 高考数学培优专题库教师版 圆心O到直线的距离22 0+0-2 d=2 11 所以弦长 22 22 7lRd 二、填空题二、填空题 5.5.极坐标方程分别为4cos和8sin 的两个圆的圆心距为52 解析 2=4 cos 2 4x 22 4xyx 2 2 24 xy同理： 2 2 416xy 6.6.在极坐标系中，圆2上的点到直线6sin3cos的距离的最小值是 1 . 解析： 圆

4、2可化为 22 4xy，直线6sin3cos化为360 xy，圆 心到直线的距离 006 32 1 3 d ，最短距离为321 三、解答题三、解答题 7 7.O1和O2的极坐标方程分别为cos4，sin4 (I)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程 解： (I)cosx，siny，由cos4得cos4 2 所以xyx4 22 即04 22 xyx为O1的直角坐标方程同理04 22 yyx为O2的直角坐标方程 (II)解:由 04 04 22 22 yyx xyx ,两式相减得440 xy,即过交点的直线的直角坐标方程为 yx 8 8.以直

5、角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长 度. 已知直线 的方程为，曲线的参数方程为 ，点是曲线上的一动点. （） 求线段的中点的轨迹方程；() 求曲线上的点到直线 的距离的最小值. 解析（）设中点的坐标为，依据中点公式有（为参数） ， 这是点轨迹的参数方程，消参得点的直角坐标方程为. 高考数学培优专题库教师版 （）直线 的普通方程为，曲线的普通方程为， 表示以为圆心，以 2 为半径的圆，故所求最小值为圆心到直线的距离减去 半径，设所求最小距离为 d，则.因此曲线上的点到直线 的 距离的最小值为. 9.在极坐标系下，已知圆sincos:O和直线: l 2 2 ) 4

6、 sin( 。 (1)求圆O和直线l的直角坐标方程； (2)当), 0(时，求直线l于圆O公共点的极坐标。 解： （1）圆sincos:O，即sincos 2 圆O的直角坐标方程为：yxyx 22 ，即0 22 yxyx 直线: l 2 2 ) 4 sin( ，即1cossin则直线的直角坐标方程为：1 xy，即 01 yx。 （2）由 01 0 22 yx yxyx 得 1 0 y x 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为) 2 , 1 ( 。 1010.在直角坐标系xOy中。直线 1 C:2x ，圆 2 C： 22 121xy,以坐标原点为 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （I）求

7、1 C， 2 C的极坐标方程； （II）若直线 3 C的极坐标方程为 4 R ，设 2 C与 3 C的交点为 M,N,求 2 C MN的面积 解： （）因为cos ,sinxy，所以 1 C的极坐标方程为cos2 ， 2 C的极坐标 方程为 2 2 cos4 sin40 （）将 4 代入 2 2 cos4 sin40，得 2 3 240，解得 12 2 2,2，故 12 2，即|2MN 由于 2 C的半径为 1，所以 2 C MN的面积为 1 2 11.11.在直角坐标系xOy中，曲线C1： cos sin xt yt （t为参数，t 0） ，其中 0 ， 高考数学培优专题库教师版 在以O为极

8、点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：2 3cos。 （1）求C2与C3交点的直角坐标； （2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB的最大值。 解： （）曲线 2 C的直角坐标方程为 22 20 xyy，曲线 3 C的直角坐标方程为 22 2 30 xyx. 联立 22 22 20, 2 30 xyy xyx 解得 0, 0, x y 或 3 , 2 3 . 2 x y 所以 2 C与 3 C交点的直角坐标为(0,0)和 3 3 (, ) 22 （）曲线 1 C的极坐标方程为(,0)R ，其中0 因此A的极坐标为(2sin, ) ，B的极坐标为(2 3c

9、os , ) 所以| |2sin2 3cos| 4|sin()| 3 AB 当 5 6 时，|AB取得最大值，最大值为 4 12在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3cos , sin , x y （为参数），直线 l 的参数方程为 4 , 1, xat yt （t为参数）. （1）若 a=-1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为17，求 a. 【解析】 （1）曲线C的普通方程为 2 2 1 9 x y. 当1a 时，直线l的普通方程为430 xy. 由 2 2 430 1 9 xy x y 解得 3 0 x y 或 21 25 24 25

10、 x y . 从而C与l的交点坐标为(3,0)， 21 24 (,) 25 25 . 高考数学培优专题库教师版 （2）直线l的普通方程为440 xya，故C上的点(3cos ,sin )到l的距离为 |3cos4sin4| 17 a d . 当4a 时，d的最大值为 9 17 a .由题设得 9 17 17 a ，所以8a ； 当4a 时，d的最大值为 1 17 a .由题设得 1 17 17 a ，所以16a . 综上，8a 或16a . B B 组组 一、选择题 1 1.在极坐标系中，圆2sin的圆心的极坐标是() A A(1) 2 ，B B(1) 2 ，C C1,0D D1， 解析由2s

11、in得： 2 2 sin， 22 2xyy ，即 22 () 11xy ， 圆心直角坐标为01，极坐标为(1 2 ) ，选 B. 2 2.极坐标方程cos和参数方程 1 23 xt yt (t为参数)所表示的图形分别是() A A圆、直线B B直线、圆C C 圆、圆D D直线、直线 解析将题中两个方程分别化为直角坐标方程为 22 xyx ,31 0 xy ，它们分别表示 圆和直线 3 3.极坐标方程为()(1)0(0)表示的图形是() A A两个圆B B两条直线C C一个圆和一条射线D D一条直线和一条射线 解析由()10)(得1或者，又0，故该方程表示的图形是一个圆 和一条射线 4 4.曲线

12、 22 4xy 与曲线 22 22 xcos ysin (2)0,关于直线l对称，则l的方程为 () A A2yx B ByxC C2yx D D2yx 解析圆 22 4xy 的圆心0,0C， 高考数学培优专题库教师版 圆 22 22 xcos ysin ，2)0,的圆心2,2O ， O与C关于直线l对称，l为线段OC的中垂线， kOC1，kl1， l方程为：11yx ，即2yx . 二、填空题二、填空题 5 5.曲线 2 sin ( sin x y 为参数)与直线ya有两个公共点， 则实数a的取值范围是(0,1 解析：由参数方程得标准方程为 2 11yxxsinx 6 6.已知两曲线参数方程

13、分别为 5cos (0) sin x y 和 2 5 ()4 xt tR yt ，它们的交点坐标 为. 2 2 2422 2 5cos (0):1(01,5), 5sin 5542 5 ,10,(0), 41655 55 42 5 1,(1,). 44 55 xx yyx y xtytttttyt xt 解析:将 化为普通方程得 将代入得:解得 交点坐标为 三、解答题三、解答题 7 7.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数） ，以原点为极 点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求

14、此时点的坐标. 解析（1）由曲线：得两式两边平方相加得：即 高考数学培优专题库教师版 曲线的普通方程为：由曲线：得： 所以即曲线的直角坐标方程为: (2) 由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线 的距离为 所以当时，的最小值为，此时点的坐标为 8 8.、已知曲线C的极坐标方程是 sin2 ，设直线L的参数方程是 , 5 4 2 5 3 ty tx （t为参数） （）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程； （）设直线L与x轴的交点是M，N曲线C上一动点，求MN的最大值. 解： （1）曲线C的极坐标方程可化为： sin2 2 又 sin,cos, 222 yxyx. 所以，曲线C的直角坐

15、标方程为： 02 22 yyx. （2）将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：)2( 3 4 xy 令0 y得2 x即M点的坐标为)0 , 2( 又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为)1 , 0(，半径1 r， 则5 MC 15 rMCMN 9.在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆 22 1 412 xy 上在第一象限的点， 高考数学培优专题库教师版 20 )02(AB， ，是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值 解：设()22 3Mcossin， 2 (0) ，由题知22OAOB ， ， 四边形OAMB面积 11 2 32 22 SOAsinOBcos 2 322 6 4 ()sinco

16、ssin 所以当 4 时，四边形OAMB的面积的最大值为2 6 1010.在平面直角坐标系xOy中， 已知直线l的参数方程是 2 2 2 4 2 2 xt yt ， （t为参数） ； 以O为 极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为2cos() 4 （）写出直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程； （）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值. 【解析】: （）:4 20l xy,曲线 C:022 22 yxyx （）因为圆C极坐标方程sin2cos2，所以sin2cos2 2 ， 所以圆C的直角坐标方程为022 22 yxyx， 圆心为 2 2 , 2 2 ,半径为 1, 因

17、为直线l的参数方程为 2 , 2 2 4 2 2 xt yt （t为参数） ， 所以直线l上的点 22 ,4 2 22 tt P 向 圆 C 引切线长是 22 2 22 2222 4 214242 6 2222 tt PCRt 所以直线l上的点向圆 C 引的切线长的最小值是62 1111.在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 sin2 cos6 y x (为参数)， 直线l的参数方 高考数学培优专题库教师版 程为 ty tx 2 1 2 2 3 (t为参数)，T为直线l与曲线C的公共点，以原点O为极点，x轴的正半轴 为极轴建立极坐标系.（I）求点T的极坐标； （II）将曲线C上所有点的纵

18、坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)后得到曲线W，过 点T作直线m，若直线m被曲线W截得的线段长为32，求直线m的极坐标方程. 解： （I）C的普通方程为1 26 22 yx 。将 ty tx 2 1 2 2 3 代入上式整理得044 2 tt，解得2t 故点T的坐标为) 1 , 3(，其极坐标为) 6 , 2( . （II）坐标变换式为 yy xx 3 故W的方程为1 2 ) 3 ( 6 2 2 y x ，即6 22 yx 当直线m的斜率存在时,设其方程为)3(1xky，即013kykx， 由圆心)0 , 0(到直线m距离3得3 1 13 2 k k ， 3 3 k，直线m为2 3 3 xy，

19、 当直线m的斜率不存在时，其方程为3x，显然成立. 故直线m的极坐标方程为3cos或2cos 3 3 sin. C C 组组 一、选择题一、选择题 1.1.方程 22 22 tt tt x t y （ 为参数）表示的曲线是（） A. 双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆 解析：注意到2t t与 2 t 互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即 可 消 去 含t的 项 ， 22 22 22224 tttt xy ，即 有 22 4yx， 又 注 意 到 20 222 2 222 ttttt y ，即， 可 见 与 以 上 参 数 方 程 等 价 的 普 通 方 程 为 高

20、考数学培优专题库教师版 22 42yxy（）.显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选 B 2.2.下列在曲线 sin2 () cossin x y 为参数上的点是（） A 1 ( ,2) 2 B 3 1 (, ) 4 2 C(2, 3)D(1, 3) 解析：转化为普通方程： 2 1yx ，当 3 4 x 时， 1 2 y 3 3.极坐标方程 2 4sin5 2 表示的曲线是（） A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线 分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断. 解 析 ： 由 2 1 cos 4sin422 cos5 22 ， 化 为 直 角 坐 标 系

21、方 程 为 22 225xyx，化简得 2 25 5 4 yx.显然该方程表示抛物线，故选 D. 4.4.直线 12 () 2 xt t yt 为参数被圆 22 9xy截得的弦长为（） A 12 5 B125 5 C 9 5 5 D 9 10 5 解析： 2 15 12 5 21 15 5 xt xt yt yt ，把直线 12 2 xt yt 代入 22 9xy得 222 (12 )(2)9,5840tttt 22 12121 2 81612 ()4() 555 ttttt t，弦长为 12 12 55 5 tt 二、填空题二、填空题 5.5.若直线 1 2 1 xt yt (t为参数)被曲

22、线 1 3 1 3 xcos ysin (为参数)所截， 则截得的弦的长度 是_ 解析直线化 1 2 1 xt yt 为23 0 xy ； 圆 1 3 1 3 xcos ysin 化为 22 11)9(xy ，圆心C(1,1)到直线23 0 xy 距离 6 5 5 d半径 r3， 高考数学培优专题库教师版 弦长为 22 6 5 2 5 rd 6 6.在极坐标系中， 过圆6cos的圆心， 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为_ 答案3cos 解析解法一：圆6cos的圆心极坐标(3,0)， 直线l方程为3.cos 解法二：由 2 6 cos得 22 6xyx ，圆心C(3,0)， 过圆心垂直于极轴(即

23、x轴)的直线方程为3x，其极坐标方程为3.cos 三、解答题三、解答题 7 7.已知直线 的参数方程为：，以坐标原点为极点， 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （）求曲线的参数方程； （）当时，求直线 与曲线交点的极坐标. 解析 （）由，可得 所以曲线的直角坐标方程为，标准方程为， 曲线的极坐标方程化为参数方程为 （）当时，直线 的方程为，化成普通方程为， 高考数学培优专题库教师版 由，解得或，所以直线 与曲线交点的极坐标分别为 ，；,. 8. 已知在直角坐标系中，直线 的参数方程为， （ 为参数） ，以坐标原点 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （

24、）求直线 的普通方程和曲线的直角坐标方程； （）设点是曲线上的一个动点，求它到直线 的距离的取值范围. 解析（）直线 的普通方程为，C 直角坐标方程为. （）设点，则， 所以的取值范围是. 9 9.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（ 为参数） （）将的方 程化为普通方程； （）以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线的极坐标 方程是， 求曲线与交点的极坐标. 解析 （） 依题意， 的普通方程为， （） 由题意， 的普通方程为， 代入圆的普通方程后得， 解得， 点 、 的直角坐标为， 从而，. 10.已知曲线(t 为参数) ，( 为参数) 高考数学培优专题库教师版 （）化，的方程

25、为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线; （）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线 交曲绒于 A，B 两点，求. 解析 解（）曲线为圆心是，半径是 1 的圆. 曲线为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长轴长是 8，短轴长是 6 的椭圆. （）曲线的左顶点为，则直线 的参数方程为（ 为参数） 将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为， 则所以. 1111.在极坐标系中，已知圆 C 的圆心( 2,) 4 C ，半径 r=3（ I）求圆 C 的极 坐标方程； （）若0, 4 ，直线l的参数方程为 2cos 2sin xt yt （t 为参数） ，直线l交圆 C 于 A、 B 两点，求弦长|AB|的取值范围 解：（）C直角坐标(1,1)，所以圆C的直角坐标方程为 22 (1)(1)3xy 由 cos sin x y 得，圆 C 的直角坐标方程为 2 2 cos2 sin10 （）将 2cos 2sin xt yt ，代入C的直角坐标方程 22 (1)(1)3xy， 得 2 2(cossin)10tt ，则0 ，设，对应参数分别为 1 t， 2 t，则 12 2(cossin)tt ， 1 2 1t t ， 2 12121 2 | |()48 4sin2ABtttttt 因为0, ) 4 ，所以sin20,1)所以8 4sin28,12)，所以|AB的取值范围为2 2,2 3)