高考数学培优专题库教师版第35讲直线与圆.doc
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1、高考数学培优专题库教师版 第三十五讲直线与圆第三十五讲直线与圆 A 组 一、选择题一、选择题 1若直线 mx+ny+2=0(m0,n0)截得圆 22 311xy的弦长为 2,则 13 mn 的最 小值为() A.4B.6C.12D.16 【答案】B 【解析】 圆心坐标为3, 1, 半径为 1, 又直线截圆得弦长为 2, 所以直线过圆心, 即320mn, 32mn,所以 13113 3 2 mn mnmn 19 6 2 nm mn 19 62 2 nm mn 6,当且 仅当 9nm mn 时取等号,因此最小值为 6,故选 B 2已知直线20axy与圆 22 14xya相交于两点,且线段AB是圆C
2、的所 有弦中最长的一条弦,则实数a () A. 2B.1 C.1或 2D. 1 【答案】D 【解析】由题设可知直线20axy经过圆心1,Ca,所以2201aa,应选答案 D。 3 设点P是 22 :118Cxy上的点,若点P到直线:40l xy的距离为2,则这样 的点P共有() A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 【答案】C 【解析】 22 :118Cxy的圆心坐标为(1,1),半径为2 2. 圆心 C(1,1)到直线 l:x+y4=0 的距离 1 1 1 1 4 2 2 d . 如图,则满足条件的点 P 有三个,分别是 P 在 A,B,D 的位置上。 本题选择 C 选项. 4若
3、圆C:x 2y22x4y200 上有四个不同的点到直线 l:4x3yc0 的距离为 2,则c的取 值范围是() A. (12,8)B. (8,12)C. (13,17)D. (17,13) 【答案】C 【解析】圆C的方程化为(x1) 2(y2)225, 则圆心C为(1,2),半径r5. 据题意,圆心C到直线l的距离d3,即3,则13c17,选 C. 5若实数x,y满足 2 1xy,则 +2y x 的取值范围为() A.3, 3 B. 33 33 ,C. 3 + 3 ,D. 3 + , 【答案】D 【解析】解答: 由题意可得, +2y x 表示右半个圆x 2+y2=1 上的点(x,y)与原点(0
4、,2)连线的斜率, 设k= +2y x ,故此圆的切线方程为y=kx2, 再根据圆心(0,0)到切线的距离等于半径,可得r= 2 2 1k =1, 平方得k 2=3 求得k=3,故 +2y x 的取值范围是 3 + , 故选:D. 6设 f x是定义在上的增函数,且对于任意的x都有 0fxf x恒成立.如果实数满 足不等式 22 617840f aaf bb,那么 22 ab的取值范围是() A. (9,49)B. (13,49)C. (9,25)D. (3,7) 【答案】A 【解析】由 f x是, 的增函数和奇函数可得 222222 61784 ,61784 ,617840f aaf bbf
5、 aafbbaabb , 22 344ab,所以 22 ab 22 52, 529,49 选 A. 二、填空题二、填空题 7已知圆 1 C: 22 4xy和圆 2 C: 22 224xy,若点,P a b(0a ,0b )在 两圆的公共弦上,则 19 ab 的最小值为_ 【答案】8 高考数学培优专题库教师版 【解析】由题意得,圆 1 C: 22 4xy和圆 2 C: 22 224xy两个方程相减即可得到两 圆的公共弦,即2xy,又点,P a b(0a ,0b )在两圆的公共弦上,即2ab,则 19 ab 119191919 105528 2222 bababa ab abababab (当且仅
6、当 3 ,ba即 13 , 22 ab,等号成立) ,即 19 ab 的最小值为8. 8在平面直角坐标系xOy中,圆 22 :23Cxym若圆C存在以G为中点的弦AB,且 2ABGO,则实数m的取值范围是_ 【答案】2,2 (或22m) 【解析】 由于圆C存在以G为中点的弦AB, 且2ABGO, 所以OAOB,如图, 过点O作圆C的 两条切线,切点分别为BD、,圆上要存在满足题意的点A,只需 0 90BOD,即 0 45COB,连 接CB,CBOB,由于2,Cm, 2 4COm3CB , 0 2 32 sinsin45 2 4 CB COB CO m ,解得22m. 三、解答题三、解答题 9已
7、知在平面直角坐标系xoy中,点0,3A,直线l:24yx.设圆 C 的半径为 1,圆心在直线 l上 (1)若圆心 C 也在直线1yx上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点M,使2MAMO,求圆心 C 的横坐标a的取值范围 【解析】 (1)由题设,圆心 C 是直线 y2x4 和 yx1 的交点,解得点 C(3,2),于是切线的斜率 必存在 设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 ykx3, 由题意, 2 31 1 k k 1,解得 k0 或 3 4 , 故所求切线方程为 y3 或 3x4y120. (2)因为圆心在直线 y2x4 上,所以圆 C 的方程为 (x
8、a)2y2(a2)21. 设点 M(x,y),因为 MA2MO, 所以2 22 xy, 化简得 x2y22y30,即 x2(y1)24, 所以点 M 在以 D(0,1)为圆心,2 为半径的圆上由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则|21|CD21, 即 1 2 2 23aa3. 由 5a212a80,得 aR; 由 5a212a0,得 0a12 5 . 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为0, 12 5 10 已知2,0A, 直线4310 xy 被圆 22 :313(3)Cxymm所截得的弦长为4 3, 且P为圆C上任意一点. (1)求PA的最大值与最小值;
9、 (2)圆C与坐标轴相交于三点,求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 【解析】 (1)直线4310 xy 被圆 22 :313(3)Cxymm所截得的弦长为4 3, 3,Cm到直线4310 xy 的距离为 2 12314 3 131 52 m , 解得2m或 16 3 m ,又3m,2m. 29AC , min 2913PA, max 2913PA. (2)由(1)知圆C的方程为 22 3213xy, 令0 x ,得0y 或4y ;令0y ,得0 x ,或6x . 这三个点的坐标为0,4M,0,0O,6,0N . 易知,MON为直角三角形,且斜边2 13MN , 则MON内切圆的半径为
10、462 13 513 2 . 11过直线上一动点(A A不在y轴上)作焦点为 2,0F的抛物线 2 2ypx的两条切 线,M N为切点,直线,AM AN分别与y轴交于点,B C. ()求证:BFAM,并求ABC的外接圆面积的最小值; ()求证:直线MN恒过一定点。 高考数学培优专题库教师版 【解析】 ( I ) 2 4,8pyx 设0,Bb,则直线AM为 1 yk xb,与 2 8yx联立,得: 222 11 2-80k xk bxb 因为相切,所以 2 22 111 2-8-40k bk b ,得: 1 2 k b ,又 b-0 - 0-22 BF b k,所以 1 -1 BF k k即 B
11、FAM,同理:CFAN,所以AF为ABC的外接圆,又因为: min 7 5 AF,所以ABC的 外接圆面积最小值为: 49 20 . ()设点 001122 ,A xyM x yN xy, 易知:直线AM方程为: 11 4 -40 x y yx, 代入点A坐标得: 0101 4-40 x y yx,同理: 0202 4-40 x y yx, 所以直线MN方程为: 00 4 -40 x y yx,又点 00 ,A xy满足: 00 250 xy 所以直线MN恒过定点5,-8 12已知动点M到点1,0N和直线l:1x 的距离相等. ()求动点M的轨迹E的方程; () 已知不与l垂直的直线 l与曲线
12、E有唯一公共点A, 且与直线l的交点为P, 以AP为直径作圆C. 判断点N和圆C的位置关系,并证明你的结论 【解析】 ()设动点,M x y, 由抛物线定义可知点M的轨迹E是以1,0N为焦点,直线l:1x 为准线的抛物线, 所以轨迹E的方程为 2 4yx. ()法 1:由题意可设直线:lxmyn, 由 2 , 4 xmyn yx 可得 2 440ymyn(*) , 因为直线 l与曲线E有唯一公共点A, 所以 2 16160mn ,即 2 nm . 所以(*)可化简为 22 440ymym, 所以 2,2 A mm, 令1x 得 1 1, n P m , 因为 2 nm , 所以 22 1 1,
13、22,22220 n NA NPmmmn m 所以NANP, 所以点N在以PA为直径的圆C上. 法 2:依题意可设直线:,0lykxb k, 由 2 , 4 ykxb yx 可得 222 220k xbkxb(*) , 因为直线 l与曲线E有唯一公共点A,且与直线l的交点为P, 所以 0, 0, k 即 0, 1, k bk 所以(*)可化简为 22 2 1 40k xx k , 所以 2 12 ,A kk . 令1x 得 1 1,Pk k , 因为 222 12122 1,2,220NA NPk kkkkk , 所以NANP, 所以点N在以PA为直径的圆C上. B B 组组 一、选择题 1已
14、知2,0A,直线4310 xy 被圆 22 :313(3)Cxymm所截得的弦长为4 3, 且P为圆C上任意一点,则PA的最大值为() 高考数学培优专题库教师版 A.2913B.513C.2 713D.2913 【答案】D 【解析】 根据弦心距、半径、 半弦长的关系得: 2 2 311 (2 3 =13 5 m ), 解得:2m或 16 3 m (舍去),当2m时,PA的最大值2913PCr,故选 D. 2 过直线y=2x上一点 P 作圆M: 224 32 5 xy的两条切线l1,l2,A,B为切点, 当直线l1, l2关于直线y=2x对称时,则APB等于 A. 30B. 45C. 60D.
15、90 【答案】C 【解析】 连接PM、AM,可得当切线l1,l2关于直线l对称时, 直线lPM,且射线PM恰好是APB的平分线, 圆M的方程为 224 32 5 xy, 点M坐标为(3,2),半径r= 2 5 5 , 点M到直线l:2xy=0 的距离为PM= 2 32 4 1 = 4 5 5 , 由PA切圆M于A,得RtPAM中,sinAPM= AM PM = 1 2 , 得APM=30, APB=2APM=60. 故选:C. 3已知直线,PA PB分别于半径为1的圆O相切于点 , ,2,21.A B POPMPAPB ,若点 M在圆O的内部(不包括边界) ,则实数的取值范围是() A.1,1
16、B. 2 0, 3 C. 1 ,1 3 D.0,1 【答案】B 【解析】因为2PO ,由切线长定理知3PAPB,又 21OMOPPMOPPAPB ,因此 2 2 961 1OM ,解得 2 0 3 4已知动点, AA A xy在直线:6l yx上,动点B在圆 22 :2220C xyxy上,若 30CAB,则 A x的最大值为() A. 2B. 4C. 5D. 6 【答案】C 【解析】 如图所示,设点 00 ,6A xx, 圆心M到直线AC的距离为d,则 0 1 sin30 2 dAMAM, 因为直线AC与圆C有交点,所以 1 22 2 dAM, 所以 22 00 1516xx,解得 0 15
17、x,所以 A x的最大值为5,故选 C. 5若在圆 2 2 39xmym上,总存在相异两点到原点的距离等于 1,则实数m的取值范 围是() A.2, 1B.2,1C.2, 11,2D.1,11,2 【答案】C 【解析】圆心 , 3mm与原点之间的距离为 22 32dmmm,当原点在圆外时,则 324m;当原点在圆外时,则223m;当点在圆上,2=3m显然符合,综上 3 种情况有 224m,解得21m 或12m,选 C. 6已知圆C: 2 2 311xy和两点0At ,0 (0)B tt ,若圆C上存在点P, 使得0PAPB ,则t的最小值为() A.3B.2C.3D.1 【答案】D 高考数学培
18、优专题库教师版 【解析】由题意可得点 P 的轨迹方程是以AB位直径的圆,当两圆外切时有: 2 2 minmin 3111tt , 即t的最小值为 1. 本题选择 D 选项. 二、填空题 7已知函数 f xMPxMNxR ,其中MN是半径为 4 的圆O的一条弦,O为原点,P 为单位圆上的点,设函数 f x的最小值为t,当点P在单位圆上运动时,t的最大值为 3,则线段MN的 长度为_ 【答案】4 3 【解析】设xMNMA , 则函数 f xMPxMNMPMAAP ,其中 P 为单位圆 O 上的点, xMNMA , 点 A 在直线 MN 上; 函数 f(x)的最小值 t 为点 P 到直线 MN 的距
19、离, 当 tmax=3 时,如图所示; 线段 MN 的长度为 2 2 2 43 14 3MN . 8在平面直角坐标系xOy中,以点0,1为圆心且与直线210mxymxR 相切的所有圆 中,半径最大的圆的标准方程为_ 【答案】 2 2 18xy 【解析】 2 2 2 2 21212 ,44 1 1 1 1 mmm rr m m m m 2 4 18 1 2 m m ,当1m时, 半径最大为2 2,圆方程为 2 2 18xy,故答案为 2 2 18xy. 9已知直线:1l xy与圆 22 :220M xyxy相交于A C,两点,点B D,分别在圆M上运 动,且位于直线AC两侧,则四边形ABCD面积
20、的最大值为_ 【答案】30 【解析】把圆 M:x2+y22x+2y1=0 化为标准方程:(x1)2+(y+1)2=3,圆心(1,1),半径3r . 直线与圆相交,由点到直线的距离公式的弦心距 2 2 1 1 111 2 = 2 11 d , 由勾股定理的半弦长= 2 210 3-= 22 ,所以弦长 10 2= 10 2 AB . 又 B,D 两点在圆上,并且位于直线 l 的两侧,四边形 ABCD 的面积可以看成是两个三角形ABC 和 ACD 的面积之和, 如图所示, 当 B,D 为如图所示位置,即 BD 为弦 AC 的垂直平分线时(即为直径时),两三角形的面积之和最大,即 四边形 ABCD
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