大学文科数学复习资料.doc

1、第 1页（共页） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分） 1.1.下列函数为初等函数的是(B) (A).sin2x(B).2cosyx (C). 10 1 1 1 2 x x x x y(D). 0 01 xx xx y 2.2.当x0 时，与sin x等价的无穷小是(A) (A) 2 xx(B)xxsin(C) 3 tan x(D)x2 3 3.设)0( f 存在，则 0 (0)() lim x ffx x (D) (A)0( f (B)0( 2 f (C)0( 2f (D)0( f 4.4. 物体在某时刻的瞬时速度，等于物体运动在该时刻的（D） (A

2、)函数值(B)极限(C) 积分(D)导数 5.5.若)(xf的导函数是xsin，则)(xf有一个原函数为（C） (A) xcos1 (B)sinxx(C)sinxx(D) xcos1 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分） 1.1. 设函数 cos , 0 ( ) ,0 xx f x xax 在0 x 点连续，则a_1_. 2.2. 设 2 )(xxf, 则 ( )ff x_ 2 2x_ . 3 3 sin lim x x x 0 4 4. 曲线 1 y x 在点（1,1)处的法线方程为yx 5.5.(1 cos ) x dx =sinxxc. 三、计算

3、题（每小题三、计算题（每小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分） 1.1. 求函数 2 1 ( )ln(21) 9 f xx x 的定义域. 解： 2 90 x且210 x ,所以函数 2 1 ( )ln(21) 9 f xx x 的定义域： 1 3 2 x 2.2. 设ln(2)yx，求其反函数 第 2页（共页） 解 ： 由2 y ex得2 y xe所 以 函 数ln(2)yx的 反 函 数 是 ： x ey 2， (,)x 3.3.求极限 2 0 (1) lim sin x x x e x 解： 2 0 (1) lim sin x x x e x = 00 1 limlim sin

4、x xx xe xx = 0 1 lim1 1 x x e 4 4.求极限 3 0 tan lim x xx x 解： 3 0 tan lim x xx x = 2 2 0 sec1 lim 3 x x x = 22 222 00 1 cossin1 limlim 3cos33 xx xx xxx 5.5. 已知 2 ln(1)lnyxx，求dy 解：因为 y = 2 21 1 x xx 所以dy= 2 2 1 d (1) x x x x 6 6.求 2 cos x yex的微分 y 解： y = 22 2cossin xx exex= 2 (2cossin ) x exx 7.7. 求不定积

5、分 2 1xdx x 解： 2 1xdx x = 2 11 dx xx 2 11 ddxx xx = 1 ln xC x 8.8. 求定积分 2 1 ln e xxdx 解： 2 1 ln e xxdx = 3 3 1 1 ln 39 e x xx = 3 1 (21) 9 e 四、综合应用题（每小题四、综合应用题（每小题 1010 分，共分，共 3030 分）分） 1.1. 证明方程012 x x至少有一个小于 1 的正实数根. 解：令 21 x f xx， 010f , 110f , f x闭区间0,1上连续， 由根的存在性定理，有0,1，使得 0f,即012 x x至少有一个小于 1 的

6、正 实数根 2.2. 欲做一个体积为 72 立方厘米的带盖箱子，其底面长方形的两边成一比二的关系，怎样做 法所用的材料最省？ 第 3页（共页） 解：设底面长方形的两边的边长为x厘米，x2厘米，则高为 2 36 2 . 72 xxx 厘米 表面积 x x x x x xxxS 216 42). 36 .2(2). 36 .(2).2 .( 2 22 求导0 216 8 2 , x xS 所以在区间), 0( 上只有唯一的驻点3x 又因为在实际问题中存在最值，所以驻点3x就是所求的最值点。即当底面边长为 3 厘米， 6 厘米，高为 4 厘米时所用的材料最省。 3.3. 求由曲线 x y 1 与直线24xxy及所围成的平面图形的面积. 解：由曲线 x y 1 与直线xy4得到交点)2 , 2 1 ( 所以所围成的平面图形的面积.S=dx x x) 1 4( 2 2 1 即.S=dx x x) 1 4( 2 2 1 = 22 2 1 )ln2(xx =4ln 2 15