材料力学全册配套完整精品课件2.ppt

1、材料力学全册配套完整材料力学全册配套完整 精品课件精品课件2 屋架如图所示屋架如图所示。A处为处为 固定铰链支座，固定铰链支座，B处为活动处为活动 支座搁在光滑的水平面上。支座搁在光滑的水平面上。 已知屋架自重已知屋架自重G，在屋架的，在屋架的 AC边上承受了垂直于它的边上承受了垂直于它的 均匀分布的风力，单位长均匀分布的风力，单位长 度上承受的力为度上承受的力为q。试画出。试画出 屋架的受力图。屋架的受力图。 如图所示，水平梁如图所示，水平梁AB用斜用斜 杠支撑，杠支撑，A ，C ，D三处均为光三处均为光 滑铰链连接。匀质梁重滑铰链连接。匀质梁重G1 ，其，其 上放一重为上放一重为G2 的电

2、动机。如不的电动机。如不 计杆计杆CD的自重，试分别画出杆的自重，试分别画出杆 CD和梁和梁AB（包括电机）的受力（包括电机）的受力 图。图。 如图所示，梯子的两部分如图所示，梯子的两部分AB和和 AC在在A点铰接，又在点铰接，又在D ，E两点用两点用 水平绳连接。梯子放在光滑水平面水平绳连接。梯子放在光滑水平面 上，若其自重不计，但在上，若其自重不计，但在AB的中点的中点 处作用一铅直载荷处作用一铅直载荷F。试分别画出梯。试分别画出梯 子的子的AB，AC部分以及整个系统的部分以及整个系统的 受力图。受力图。 F F FAy F FAx FB F F 30 60 30 60 30 60 30

3、60 45 30 60 40 45 F F 45 45 45 kN 3.28 kN 4.22 C A F F 45 45 30 60 30 60 40 45 45 =， = 9m 3m 1.5m 3.9m 5.7m 3m 90 q 45 30 60 组合梁组合梁AC和和CE用铰链用铰链C相连，相连，A端为固定端，端为固定端，E端端 为活动铰链支座。受力如图所示。已知：为活动铰链支座。受力如图所示。已知： l =8 m，F=5 kN，均布载荷集度，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小，力偶矩的大小M= 5 kNm，试求固端，试求固端A，铰链，铰链C和支座和支座E的约束力。的约束力。 l

4、 q 60 G =， = 9m 3m 1.5m 3.9m 5.7m 3m 90 3m 9m 1.5m 3.9m 5.7m 3m 90 84.70 84.70 84.70 84.70 84.70 q 45 q 45 q 45 30 60 30 60 30 60 30 60 组合梁组合梁AC和和CE用铰链用铰链C相连，相连，A端为固定端，端为固定端，E端端 为活动铰链支座。受力如图所示。已知：为活动铰链支座。受力如图所示。已知： l =8 m，F=5 kN，均布载荷集度，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小，力偶矩的大小M= 5 kNm，试求固端，试求固端A，铰链，铰链C和支座和支座E的

5、约束力。的约束力。 4 1 l qF 4 2 l qF l q 60 G B 60 q 60 G B 60 计算简图 杆件受力特点：外力或其合力的作用线沿杆件轴线 杆件变形特点：轴向伸长或缩短 轴向拉伸或 压缩 拉压杆：以轴向拉压为主要变形的杆件 轴向拉伸 轴向载荷 轴向压缩 拉（压）杆横截面上的应力分析 观察拉压杆受力时的变形特点： FF 观察结果：1. 纵线与横线仍为直线，横线仍垂直于纵线； 2. 横线沿轴线方向平移。 假设： 横截面仍保持为平面，且仍垂直于杆件轴线； 平面假设 正应变沿横截面均匀分布 横截面上没有切应变 符号规定：拉应力为正，压应力为负 平面假设 0const0const

6、 N FA A FN 1、横截面上的内力 思考：取左段轴力向右，右段轴力向左，不是 相反吗？ 轴力的符号规定：拉力为正， 压力为负。 内力：相互作用力，作用线与 杆件轴线重合，称轴力 由截面法得： FF N 2-32-3材料在拉伸与压缩时的力学性能材料在拉伸与压缩时的力学性能 实验标准：国家标准金属拉力试验法 (GB 22887)；实验条件：常温 （室温）、 静载（加载的速度要平稳缓慢）； 实验设备：对试件施加载荷的万能材料试验机； 测量试样变形的引伸仪。 实验记录：拉伸图：横坐标l，纵坐标P； 应力应变图：横坐标 ，纵坐标 。 材料的力学性能材料在外力作用下表现出来的变 形、破坏等方面的特性

7、。 实验试件：(a)圆截面标准试件： 或 dl10dl5 (b)矩形截面标准试件(截面积为A）： 或 Al3 .11Al65. 5 实验原理： 1、低碳钢的拉伸实验 低炭钢含炭量在0.25%以下的碳素钢。 b a c f d e b s e p a o 1 o 2 o 3 o 4 o 实验表象 参考值四个阶段 屈服阶段 1、同时存在塑性和弹性变形； 2、应力小幅波动，应变快速增加； 3、试样表面出现与轴线成45度角滑移线 屈服极限：s或或0.2 1、只有弹性变形； 2、有符合虎克定理=EE的线性阶段； 3、试样无明显表象。 比例极限：p p 弹性极限： e e 弹性阶段 （ 段）oa （ 段）

8、ac 1、同时存在塑性和弹性变形； 2、应力随应变非线性减少； 3、变形多集中在横截面积迅速收缩的某一小 段范围内，直至试样最后断裂。 强化阶段 颈缩阶段 强度极限：b b 1、同时存在塑性和弹性变形； 2、应力随应变非线性增长； 3、试样被明显强化。 （ 段）ce （ 段）ef 滑移线 颈缩 四个阶段试件的变化： 两个塑性指标 1、延伸率： 式中： 试样拉断后标距的长度； 试样原标距的长度； 塑性材料与脆性材料的量化标准： 的材料称为塑性材料。如低碳钢和青铜等； 的材料称为脆性材料。如铸铁、混凝土等。 2、截面收缩率： 式中： 试样原横截面面积； 试样断裂处的横截面面积 。 %100 1 l

9、 ll 1 l l %5 %5 %100 1 A AA 1 A A 一个概念 冷作硬化：应力超过屈服极限后卸载，再次加载，材料的比例极限提高， 而塑性降低的现象。 利： 提高了材料在弹性阶段内的 承载能力。 利之用： 用冷加工的方法来提高 材料的强度 。 弊： 降低了材料的塑性。 卸载定律：在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。 O O 2、其它塑性材料拉伸时的力学性能 o a a b 2 . 0 e p b %2 . 0 e f 这些材料与低碳钢相同之处是断裂前要 经历大量塑性变形，不同之处是没有明 显的 屈服阶段。 。 名义屈服极限：对于没有。明显屈 服阶段的塑性材料，通常以产生 塑性应

10、变。时的应力作为屈服极 限。用 表示。 。%2 . 0 2 . 0 3、塑性材料在压缩时的力学性能 实验标准 、实验条件 、实验设备、实验记录同拉伸试验。 实验试样：高度约为直径的 倍的圆柱体或立方体。 35 . 1 b a c f d e b s e p a 低碳钢压缩时的应力-应变曲线 铸铁拉伸应力应变图 实验表象 1、以弹性变形为主，且很小； 2、应力-应变曲线近似符合虎克定律，并以 割线的斜率作为弹性模量； 3、断裂时，断口处的横截面积几乎没有变化。 参考值 强度极限： o b b 5、脆性材料在压缩时的力学性能 c o b 实验表象 1、同时存在弹性和塑性变形，塑性 变形较大； 2、

11、应力随应变非线性增长。非线性 不可由线性虎克定理近似代替； 3、破坏形式为出现与轴线成45度角 的裂纹。 参考值 强度极限： 实验结论 不可用拉伸实验代替压缩实验来测出所需的参考值，因为 c bc 52 2-5 2-5 拉伸或压缩时的变形拉伸或压缩时的变形 1、纵向变形 F 纵向的相对变形 纵向的绝对变形 lll 1 l l 纵向线应变，拉应变为正，压应变为负。 b 1 b l 1 l F 2、虎克定律 式中： 表示材料弹性性质的一个常数，称为 E 拉压弹性模量，亦称杨氏模量。 EA lF l N 实验证明： EA 反映杆件抵抗拉伸（或压缩）变形的 能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。 虎克定律的

12、适用条件： （1）材料在线弹性范围内工作，即 。 P （2）在计算杆件的伸长 时，长度内其 均应为常数，否则应分段计算或进行积分。 ll AEFN， 3、横向变形 横向的绝对变形： 横向的相对变形（横向线变形）： b 1 b 1 bbb b b 横向变形系数或称泊松比，其值随材料而异。 实验证明： 或 屋架如图所示屋架如图所示。A处为处为 固定铰链支座，固定铰链支座，B处为活动处为活动 支座搁在光滑的水平面上。支座搁在光滑的水平面上。 已知屋架自重已知屋架自重G，在屋架的，在屋架的 AC边上承受了垂直于它的边上承受了垂直于它的 均匀分布的风力，单位长均匀分布的风力，单位长 度上承受的力为度上承

13、受的力为q。试画出。试画出 屋架的受力图。屋架的受力图。 如图所示，水平梁如图所示，水平梁AB用斜用斜 杠支撑，杠支撑，A ，C ，D三处均为光三处均为光 滑铰链连接。匀质梁重滑铰链连接。匀质梁重G1 ，其，其 上放一重为上放一重为G2 的电动机。如不的电动机。如不 计杆计杆CD的自重，试分别画出杆的自重，试分别画出杆 CD和梁和梁AB（包括电机）的受力（包括电机）的受力 图。图。 如图所示，梯子的两部分如图所示，梯子的两部分AB和和 AC在在A点铰接，又在点铰接，又在D ，E两点用两点用 水平绳连接。梯子放在光滑水平面水平绳连接。梯子放在光滑水平面 上，若其自重不计，但在上，若其自重不计，但

14、在AB的中点的中点 处作用一铅直载荷处作用一铅直载荷F。试分别画出梯。试分别画出梯 子的子的AB，AC部分以及整个系统的部分以及整个系统的 受力图。受力图。 F F FAy F FAx FB F F 30 60 30 60 30 60 30 60 45 30 60 40 45 F F 45 45 45 kN 3.28 kN 4.22 C A F F 45 45 30 60 30 60 40 45 45 =， = 9m 3m 1.5m 3.9m 5.7m 3m 90 q 45 30 60 组合梁组合梁AC和和CE用铰链用铰链C相连，相连，A端为固定端，端为固定端，E端端 为活动铰链支座。受力如图

15、所示。已知：为活动铰链支座。受力如图所示。已知： l =8 m，F=5 kN，均布载荷集度，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小，力偶矩的大小M= 5 kNm，试求固端，试求固端A，铰链，铰链C和支座和支座E的约束力。的约束力。 l q 60 G =， = 9m 3m 1.5m 3.9m 5.7m 3m 90 3m 9m 1.5m 3.9m 5.7m 3m 90 84.70 84.70 84.70 84.70 84.70 q 45 q 45 q 45 30 60 30 60 30 60 30 60 组合梁组合梁AC和和CE用铰链用铰链C相连，相连，A端为固定端，端为固定端，E端端 为

16、活动铰链支座。受力如图所示。已知：为活动铰链支座。受力如图所示。已知： l =8 m，F=5 kN，均布载荷集度，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小，力偶矩的大小M= 5 kNm，试求固端，试求固端A，铰链，铰链C和支座和支座E的约束力。的约束力。 4 1 l qF 4 2 l qF l q 60 G B 60 q 60 G B 60 材材 料料 力力 学学 中国地质大学力学教学部中国地质大学力学教学部 弹塑性力学基础弹塑性力学基础 李李 同同 林林 中国地质大学中国地质大学 力学教研室力学教研室 第一章第一章 绪绪 论论 一、一、 学科分类学科分类 弹塑性力学弹塑性力学 二、二、

17、 弹塑性力学的研究对象弹塑性力学的研究对象 三、三、 弹塑性力学的基本思路与研究方法弹塑性力学的基本思路与研究方法 四、四、 弹塑性力学的基本任务弹塑性力学的基本任务 五、五、 弹塑性力学基本假设弹塑性力学基本假设 六、六、 弹塑性力学发展概况弹塑性力学发展概况 七、张量概念及其基本运算七、张量概念及其基本运算 一、学科分类一、学科分类 弹塑性力学弹塑性力学 按运动与否分按运动与否分： 静力学静力学：研究力系或物体的平衡问题，不涉及 物体运动状态的改变；如飞机停在地 面或巡航。 运动学运动学：研究物体如何运动，不讨论运动与受 力的关系； 如飞行轨迹、速度、 加速度。 动力学：动力学：研究力与运

18、动的关系。 如何提供加速度？ 1 1、学科分类、学科分类 按研究对象分按研究对象分： 一般力学一般力学： 研究对象是刚体研究对象是刚体。研究力及其与 运动的关系。分支学科有理论力学理论力学，分析力学分析力学等。 流体力学流体力学：研究对象是气体或液体。涉及到： 水力学、空气动力学水力学、空气动力学等学科。 固体力学固体力学：研究对象是可变形固体。研究材料 变形、流动和断裂时的力学响应。其分支学科有： 材料力学、结构力学、材料力学、结构力学、弹性力学、学、 塑性力学、塑性力学、 弹塑性力学、断裂力学、流变学、疲劳等。弹塑性力学、断裂力学、流变学、疲劳等。 按研究手段分按研究手段分：（理论分析、实

19、验和数值计算） 有实验力学、计算力学实验力学、计算力学二个方面的分支。 按应用领域分按应用领域分： 有飞行力学飞行力学、船舶结构力学船舶结构力学、岩土力学、量岩土力学、量 子力学子力学等。 2 2、弹塑性力学、弹塑性力学 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支弹塑性力学是固体力学的一个重要分支 学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度 变化等因素的影响而发生的应力、应变和位变化等因素的影响而发生的应力、应变和位 移及其分布规律的一门科学，是研究固体在移及其分布规律的一门科学，是研究固体在 受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶

20、段 这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门 科学。科学。 二、二、 弹塑性力学的研究对象弹塑性力学的研究对象 在研究对象上，材料力学的研究对象是固 体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。 造成两者间这种差异的根本原因是什么呢？ 弹塑性力学研究对象也是固体，是不受弹塑性力学研究对象也是固体，是不受 几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术 问题需求的物体。问题需求的物体。 三、弹塑性力学的基本思路与研究方法三、弹塑性力学的基本思路与研究方法 1 1、弹塑性力学分析问题的基本思路、弹塑性力学分析问题的基本思路 弹塑性力学与

21、材料力学同属固体力学的 分支学科，它们在分析问题解决问题的基本 思路上都是一致的，但在研究问题的基本方 法上各不相同。其基本思路如下： (1) (1) 受力分析及静力平衡条件受力分析及静力平衡条件 ( (力的分析力的分析) ) 物体受力作用处于平衡状态，应当满足的条件 是什么？（静力平衡条件） (2) (2) 变形的几何相容条件变形的几何相容条件 ( (几何分析几何分析) ) 材料是均匀连续的，在受力变形后仍应是连续 的。固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重叠 ”， 此时材料变形应满足的条件是什么？（几何相 容条件） (3) (3) 力与变形间的本构关系力与变形间的本构关系 ( (物理分析物理

22、分析) ) 固体材料受力作用必然产生相应的变形。 不同的材料，不同的变形，就有相应不同的 物理关系。 弹塑性力学研究问题的基本方法弹塑性力学研究问题的基本方法 以受力物以受力物 体内某一体内某一 点（单元点（单元 体）为研体）为研 究对象究对象 单元体的受力单元体的受力 应力理论；应力理论； 单元体的变形单元体的变形 变形几何理论；变形几何理论； 单元体受力与变形单元体受力与变形 间的关系间的关系本构理本构理 论；论； 建立起普建立起普 遍适用的理遍适用的理 论与解法。论与解法。 1 1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解 法的严密性和普遍适用性为特点；法的

23、严密性和普遍适用性为特点； 2 2、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；、弹塑性的工程解答一般认为是精确的； 3 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠、可对初等力学理论解答的精确度和可靠 进行度量。进行度量。 四、四、 弹塑性力学的基本任务弹塑性力学的基本任务 可归纳为以下几点：可归纳为以下几点： 1 1建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论；基本方程和理论； 2 2给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量；以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3 3确定和充分

24、发挥一般工程结构物的承载能力，确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益；提高经济效益； 4 4为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。 五、五、 弹塑性力学的基本假设弹塑性力学的基本假设 （1 1）连续性假设：假定物质充满了物体所）连续性假设：假定物质充满了物体所 占有的全部空间，不留下任何空隙。占有的全部空间，不留下任何空隙。 （2 2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内）均匀性与各向同性的假设：假定物体内 部各点处，以及每一点处各个方向上的部各点处，以及每

25、一点处各个方向上的 物理性质相同。物理性质相同。 （3 3）力学模型的简化假设：）力学模型的简化假设： （A A）完全弹性假设）完全弹性假设 ； （B B）弹塑性假设。）弹塑性假设。 几何假设几何假设小变形条件小变形条件 （A A）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变； 从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。 （B B）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；次以上的高阶

26、微量； 假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变且应变( ( 包括线应变与角应变包括线应变与角应变 ) )均远远小于均远远小于1 1。根据。根据 这一假定：这一假定： 六、六、弹塑性力学发展概况弹塑性力学发展概况 1678 1678年年英国科学家虎克英国科学家虎克(R.Hooke)(R.Hooke)提出提出 了固体材了固体材 料的弹性变形与所受外力成正比料的弹性变形与所受外力成正比虎克定律。虎克定律。 1919世纪世纪2020年代，法国科学家纳维叶年

27、代，法国科学家纳维叶 ( C.L.M.H.Navier )( C.L.M.H.Navier )、柯西、柯西 ( A.L.Cauchy )( A.L.Cauchy )和和 圣文南圣文南 ( A.J.C.B.Saint Venant ) ( A.J.C.B.Saint Venant ) 等建立了等建立了 弹性力学的理论基础。弹性力学的理论基础。 法国科学家库伦(C.A.Corlomb1773年）、 屈雷斯卡(H.Tresca1864年）、 圣文南和莱 ( M.Levy ) 波兰力学家胡勃(M.T.Houber 1904年）、 米塞斯(R.von Mises1913年）、 普朗特(L.Prandtl

28、 1924) 罗伊斯(A.Reuss 1930)、享奇 （H.Hencky)、 纳戴(A.L.Nadai) 、伊留申(A.A.) 阐明了应力、应变的概念和理论；阐明了应力、应变的概念和理论； 弹性力学和弹塑性力学的基本理论框弹性力学和弹塑性力学的基本理论框 架得以确立架得以确立。 七、张量概念及其基本运算七、张量概念及其基本运算（附录一）附录一） 1、张量概念、张量概念 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具质力学的重要数学工具 。 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。 任一物理现象都是按照

29、一定的客观规律进行的，任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的， 它们是不以人们的意志为转移的。它们是不以人们的意志为转移的。 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们 当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题 的求解与表述。的求解与表述。 所有与坐标系选取无关的量，统称为所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量物理恒量。 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 的物理量，统称为的物理量，统称为标量标量。例如温度、质量、功等。例如温度、质量、功等。 在一定单位制下，除指

30、明其大小还应指出其方向在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向 的物理量，称为的物理量，称为矢量矢量。例如速度、加速度等。例如速度、加速度等。 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。三个分量来确定。 若我们以若我们以r r表示维度，以表示维度，以n n表示幂次，则关于三维表示幂次，则关于三维 空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表 示成：示成： n rM （1 1） 现令现令n n为这些物理量的阶次，并统一称这些物为这些物理量的阶次，并统一称这些物 理量为张量。理量为张量。 二阶以上

31、的张量已不可能在三维空间有明显直二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直 观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间 可由坐标变换关系式来解决定义。可由坐标变换关系式来解决定义。 当当n=0n=0时，零阶张量，时，零阶张量，M=1M=1，标量；，标量； 当当n=1n=1时，一阶张量，时，一阶张量，M=3M=3，矢量；，矢量； 、 、 、 当取当取n n时，时，n n阶张量，阶张量，M=3M=3n n。 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表 示和区别该张量的所有分量。示和区别该张量的所有分量。 不重复出现的下标符号

32、称为自由标号。自由标不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标 号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数 量确定张量的阶次。量确定张量的阶次。 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称 为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再不求和。再不求和。 2.2.下标记号法下标记号法 本教程张量下标符号的变程，仅限于三维空间，本教程张量下标符号的变程，仅限于三维空间， 即变程为即变程为3 3。 3.3.求和约定求和约定 关于哑标号应理解为取其变程关于哑标号应理解为取其变程N N内

33、所有数值，内所有数值， 然后再求和，这就叫做求和约定。然后再求和，这就叫做求和约定。 例如：例如： 3 1 332211 i iiii bababababa （I-2I-2） 3 1 332211 j iiijijjij bababababa （I-4I-4） 3 1 3 1ij jiijjiij cbacba 311321121111 cbacbacba 323322221221 cbacbacba 333323321331 cbacbacba（I-5I-5） 关于求和标号，即哑标有：关于求和标号，即哑标有： 求和标号可任意变换字母求和标号可任意变换字母表示。表示。 求和约定只适用于字母标号

34、，不适用于数字标号。求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前 优先求和。例：优先求和。例： 2 33 2 22 2 11 2 aaaaii （I-12I-12） 2 332211 2 )()(aaaaii（I-13I-13） 关于自由标号：关于自由标号： 在同一方程式中，各张量的自由标号相同，在同一方程式中，各张量的自由标号相同， 即同阶且标号字母相同。即同阶且标号字母相同。 自由标号的数量确定了张量的阶次。自由标号的数量确定了张量的阶次。 关于关于Kronecker deltaKronecker d

35、elta（ ）符号：）符号： ij 是张量分析中的一个基本符号称为是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号柯氏符号 （或（或柯罗尼克尔符号柯罗尼克尔符号），亦称），亦称单位张量单位张量。其定义为：。其定义为： ij 100 010 001 , 0 , 1 ijij ji ji 或： 时；当 时；当 （I-17I-17） 4.4.张量的基本运算张量的基本运算 A A、张量的加减：张量的加减： 张量可以用矩阵表示，称为张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵张量矩阵，如：，如： 凡是同阶的两个或几个张量可以相加凡是同阶的两个或几个张量可以相加( (或相减或相减) )， 并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量

36、中标号并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号 相同的诸分量之代数和。相同的诸分量之代数和。 即：即： 其中各分量（元素）为：其中各分量（元素）为： ijijij cba 333231 232221 131211 aaa aaa aaa aij（I-19I-19） ijijij cba（I-20I-20） B B、张量的乘积张量的乘积 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的 每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量， 它们所组成的集合仍然

37、是一个张量，称为第一它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积 张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如： 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配 律和结合律。例如：律和结合律。例如： ijkjki cba （I-21I-21） )()( )( mkijmkijkijkijkijij cbacbacbcacba或； （I-22I-22） C C、张量函数的求导：张量函数的求导： 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都一个张量是坐标函数，则

38、该张量的每个分量都 是坐标参数是坐标参数 x xi i 的函数。 的函数。 对张量求导，就是把张量的每个分量都对坐标参数对张量求导，就是把张量的每个分量都对坐标参数 求导数。求导数。 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加符号前上方加“ ”的方式来表示。的方式来表示。 例如：例如： ， 就表示对一阶张量就表示对一阶张量 的每一个分量对坐标参数的每一个分量对坐标参数 x xi i 求导。 求导。 ji A i A ji A i A 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加符号前上方加“

39、”的方式来表示。的方式来表示。 例如：例如： ， 就表示对一阶张量就表示对一阶张量 的每一个分量对坐标参数的每一个分量对坐标参数 x xi i 求导。 求导。 ji A i A 如果在微商中下标符号如果在微商中下标符号 i i 是一个自由下标，则是一个自由下标，则 算子算子 作用的结果，将产生一个新的升高一阶作用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量；的张量； 如果在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子如果在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子 作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：例如： i 321 , , xxxxi i （I-23I-23

40、） 3 3 2 2 1 1 x u x u x u x u u i i ii （I-24I-24） kj z kj y kj x ki i jki xx u xx u xx u xx u u 2 2 22 , , （I-25I-25） kj z kj y kj x ki i jki xx u xx u xx u xx u u 2 2 22 , , （I-25I-25） i i i 如果在微商中下标符号如果在微商中下标符号 i i 是一个自由下标，则是一个自由下标，则 算子算子 作用的结果，将产生一个新的升高一阶作用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量；的张量； 如果在微商中，下标符号是一个哑

41、标号，则算子如果在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子 作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：例如： i i 4.4.张量的分解张量的分解 张量一般是非对称的。若张量张量一般是非对称的。若张量 的分量满足的分量满足 ij a 则称为则称为反对称张量反对称张量。显然反对称张量中标号重复的。显然反对称张量中标号重复的 分量分量( (也即主对角元素也即主对角元素) )为零，即为零，即 。 0 332211 aaa 则则 称为称为对称张量对称张量。 如果如果 的分量满足的分量满足 ij a ij a jiij aa （I-27I-27） jiij aa

42、 （I-28I-28） 第二章第二章 应力理论应力理论 一、应力的概念一、应力的概念应力状态的概念应力状态的概念 二、应力分量转换方程二、应力分量转换方程 三、主应力三、主应力应力主方向应力主方向应力张量不变量应力张量不变量 四、最大四、最大( (最小最小) )剪应力剪应力 五、空间应力圆五、空间应力圆. .应力椭球应力椭球 六、应力张量的分解六、应力张量的分解 七、偏斜应力张量七、偏斜应力张量 . .主偏应力主偏应力. .应力偏量不变量应力偏量不变量 八、八面体应力八、八面体应力等效应力等效应力 九、平衡（或运动）微分方程九、平衡（或运动）微分方程 一、应力的概念一、应力的概念 应力状态的概

43、念应力状态的概念 d d lim d d lim 0 0 nt nn A n nn A A F A F A F A F 应力：应力：受力物体受力物体 内某点某截面上内内某点某截面上内 力的分布集度。力的分布集度。 1 1、应力的概念、应力的概念 2 2、应力状态的概念：、应力状态的概念：受力物体内某点处所取受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态明了该点的应力状态 应力应力 正应力正应力 剪应力剪应力 必须指明两点：必须指明两点： 1.1.是哪一点的应力；是哪一点的应力； 2.2.是该点哪个微截面的应力。是该点哪

44、个微截面的应力。 表示表示应力的及符号规则：应力的及符号规则： 正应力：正应力： 剪应力：剪应力： xy x xx 第一个字母表明该应力作第一个字母表明该应力作 用截面的外法线方向同哪一用截面的外法线方向同哪一 个坐标轴相平行。个坐标轴相平行。 第二个字母表明该应力的第二个字母表明该应力的 指向同哪个坐标轴相平行。指向同哪个坐标轴相平行。 应力的正负号规则：应力的正负号规则： 3.3.应力张量应力张量 数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力

45、状态可用二阶张量的形式义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为一个对称的二阶张量，简称为应力张量应力张量。 zzyzx yzyyx xzxyx ij zyzxz zyyxy zxyxx j i 或或 （2 23 3） 据剪应力互等定理据剪应力互等定理 , ,应力张量应是应力张量应是 一个对称的二阶张量。一个对称的二阶张量。 )(ji jiij 二二. .应力分量转换方程应力分量转换方程

46、 1、任意斜截面上的应力、任意斜截面上的应力 已知已知 ： 求：求：P PP Px x 、P Py y 、 、 P Pz z zyx 、 n n zxyzxy 、 斜截面外法线为斜截面外法线为 n n， 方向余弦分别为方向余弦分别为 L L1 1 、L L2 2 、 L L3 3； 面积：面积： S SABC ABC=1 =1；S SOBC OBC= = L L1 1，S SOAC OAC= = L L2 2， S SOAB OAB= = L L3 3。 则由单元体力系平衡条件：则由单元体力系平衡条件： 、 、 得：得： 0 x F0 y F0 z F 321 321 321 lllP lll

47、P lllP zzyzxz yzyyxy xzxyxx ) , , ,( zyxjinP jiji lPlPlP zyxxn 21 2 1 222/12222 )()( nnzyxn PPPP 2222 zyx PPPP （2 24 4） （2 25 5） （26） （2 27 7） （2 28 8） 2 2、应力分量转换方程、应力分量转换方程 ),cos( 11 xxl),cos( 12 yxl),cos( 13 zxl),cos( 21 xyl),cos( 22 yyl),cos( 23 zyl),cos( 31 xzl),cos( 32 yzl),cos( 33 zzl 标坐轴标坐轴 x

48、y z x y z ),cos( 11 xxl ),cos( 21 xyl ),cos( 31 xzl ),cos( 12 yxl ),cos( 22 yyl ),cos( 32 yzl ),cos( 13 zxl ),cos( 23 zyl ),cos( 33 zzl 表表2 21 1 )()( )( )()( )( )()( )( 222 222 222 1331113312331332 11321231133312321131 3321312332233322 31223221332332223121 2311211322132312 21122211231322122111 31333

49、3323231 2 33 2 32 2 31 212323222221 2 23 2 22 2 21 111313121211 2 13 2 12 2 11 llllllll llllllllll llllllll llllllllll llllllll llllllllll lllllllll lllllllll lllllllll zxyz xyzyxxz zxyz xyzyxzy zxyz xyzyxyx zxyzxyzyxz zxyzxyzyxy zxyzxyzyxx j ji iijj i ll （2 21010） 3 3、平面应力状态、平面应力状态 注意：材力与弹塑性力学中关于应力

50、符号的差异。注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的差异。 2 2 min max 22 xy yxyx （2 22222） yx xy 2 2tg 0（2 22121） 0 2cos2sin 2 cossin)()sin(cos 2sin2cos 22 cossin2sincos 22 22 zx xy yx xyxyyx xy yxyx xyyxx （2 21111） 三三. . 主应力主应力 应力主方向应力主方向 应力张量不变量应力张量不变量 主平面：一点应力状态剪应力等于零的截面称为主平面；主平面：一点应力状态剪应力等于零的截面称为主平面； 主应力主应力 ：主平面上的正应力称为该点的主应