概率论与统计全册配套完整精品课件1.ppt
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1、概率论与统计全册配套完整概率论与统计全册配套完整 精品课件精品课件1 第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 自然界和社会生活中的现象大体上可分为两类:一类自然界和社会生活中的现象大体上可分为两类:一类可可 事前预知事前预知,如:,如:“ 太阳从东方升起太阳从东方升起”、 “在一个大气压下,在一个大气压下, 水水 在在100时沸腾时沸腾”等一定会发生;等一定会发生;“同性电荷相吸引同性电荷相吸引”、 “ 太阳太阳 从西方升起从西方升起”等一定不会发生。这类现象是等一定不会发生。这类现象是确定性现象确定性现象,也,也 叫叫 必然现象必然现象。 另一类另一类事前不可预知事前不可预知,如:,
2、如:“抛一枚硬币的结果抛一枚硬币的结果”、 “某地某地 区年降雨量的多少区年降雨量的多少”、“打靶时,弹着点与靶心的距离打靶时,弹着点与靶心的距离”等。等。 这类现象是这类现象是偶然性现象偶然性现象,也叫,也叫随机现象随机现象。 随机现象的特点:随机现象的特点:在一定条件下,可能出现这样的结在一定条件下,可能出现这样的结 果,也可能出现那样的结果,而在试验之前不能预知确切果,也可能出现那样的结果,而在试验之前不能预知确切 的结果人们经过长期实践并深入研究之后,发现这类现的结果人们经过长期实践并深入研究之后,发现这类现 象在大量重复试验下,它的结果又呈现出某种规律性象在大量重复试验下,它的结果又
3、呈现出某种规律性 统计规律性统计规律性例如,在相同条件下抛同一枚硬币,其结果例如,在相同条件下抛同一枚硬币,其结果 可能是正面朝上,也可能是反面朝上,并且在每次抛掷之可能是正面朝上,也可能是反面朝上,并且在每次抛掷之 前无法肯定抛掷的结果是什么。但是,如多次重复抛一枚前无法肯定抛掷的结果是什么。但是,如多次重复抛一枚 硬币得到正面朝上大致有一半。概率论与数理统计是研究硬币得到正面朝上大致有一半。概率论与数理统计是研究 随机现象规律性的数学学科,是科技工作者所必须具备的随机现象规律性的数学学科,是科技工作者所必须具备的 一种工具,也是现代经济理论的应用与研究的重要工具。一种工具,也是现代经济理论
4、的应用与研究的重要工具。 1.1 样本空间和随机事件样本空间和随机事件 一、一、 随机试验随机试验 为了研究随机现象,就要对客观事物进行观察为了研究随机现象,就要对客观事物进行观察观察观察 的过程称为试验的过程称为试验下面举一些试验的例子下面举一些试验的例子 E1:抛一枚硬币,观察正面:抛一枚硬币,观察正面H、反面、反面T出现的情况出现的情况 E2:抛两枚硬币,观察正面:抛两枚硬币,观察正面H、反面、反面T出现的情况出现的情况 E3:抛两枚硬币,观察:抛两枚硬币,观察“正面正面H朝上朝上”的硬币个数的硬币个数. E4:掷一颗骰子,观察出现的点数:掷一颗骰子,观察出现的点数 E5:记录电话交换台
5、一分钟内收到的呼唤次数:记录电话交换台一分钟内收到的呼唤次数 E6: 盒中有标号为盒中有标号为1到到10的相同小球,任取一的相同小球,任取一 个观察标号个观察标号. E7: 某射手向枪靶射击一发子弹,观察其中靶的环数某射手向枪靶射击一发子弹,观察其中靶的环数. 上述对随机现象进行的试验或观测具有以下特点:上述对随机现象进行的试验或观测具有以下特点: (1)可以在相同条件下重复地进行;)可以在相同条件下重复地进行; (2)每次试验的可能结果不止一个,但能事先明确)每次试验的可能结果不止一个,但能事先明确 所有可能结果,且每次试验仅有其中一个结果出现;所有可能结果,且每次试验仅有其中一个结果出现;
6、 (3)每次试验进行之前,不能断言哪个结果会出现)每次试验进行之前,不能断言哪个结果会出现 在概率论中,将具有上述三个特点的试验称为在概率论中,将具有上述三个特点的试验称为随机随机 试验,试验,简称简称试验试验,常用字母,常用字母E 来表示来表示 我们进行随机试验的目的是要对试验的各种结果出现我们进行随机试验的目的是要对试验的各种结果出现 的可能性进行分析,从而找出随机现象的规律的可能性进行分析,从而找出随机现象的规律 二、二、样本空间样本空间 随机试验的所有可能出现的结果所构成的集合称为的随机试验的所有可能出现的结果所构成的集合称为的 样本空间样本空间,通常记为,通常记为样本空间的元素,即的
7、每个结果,样本空间的元素,即的每个结果, 称为称为样本点样本点下面是前面试验的样本空间:下面是前面试验的样本空间: 1:H,T 2 :HH,HT, TH,TT 3:0,1,2 4 :1,2,3,4,5,6 5:0,1,2,. 6 :1,2,3,4,5, ,10 7:0,1,2,3,4,5, ,10 注意:样本空间的元素由试验的目的确定如试验注意:样本空间的元素由试验的目的确定如试验E2和和E3同同 是抛两枚硬币,由于试验目的不一样,样本空间也不一样是抛两枚硬币,由于试验目的不一样,样本空间也不一样 三、三、随机事件随机事件 在进行随机试验时,人们往往关心的是满足某种条件在进行随机试验时,人们往
8、往关心的是满足某种条件 的一些样本点所组成的集合例如,在的一些样本点所组成的集合例如,在E4中,令中,令A表示表示“出出 现的点数为偶数现的点数为偶数”,则,则A是是4 1,2,3,4,5,6 的子集,它由的子集,它由 样本点样本点2,4,6构成,记作构成,记作A2,4,6 一般地,称试验的样本空间一般地,称试验的样本空间的子集为的子集为随机事件随机事件,简称,简称 事件事件,通常用大写字母,通常用大写字母A、B、C、表示表示 事件事件 在一次试验中,若某事件中至少有一个样本点出现了,在一次试验中,若某事件中至少有一个样本点出现了, 则称则称事件发生事件发生了称试验中必定发生的事件为了称试验中
9、必定发生的事件为必然事件必然事件, 不可能发生的事件为不可能发生的事件为不可能事件不可能事件 在每次试验中,样本空间在每次试验中,样本空间中必定有一个样本点会出现,中必定有一个样本点会出现, 因此又把样本空间称为必然事件空集因此又把样本空间称为必然事件空集是样本空间是样本空间的一的一 个特殊的子集,也可作为一个事件但由于空集不含样本空个特殊的子集,也可作为一个事件但由于空集不含样本空 间间中的任何元素,在每次试验中中的任何元素,在每次试验中都不会发生,因此又称都不会发生,因此又称 之为不可能事件把必然事件和不可能事件看作随机事件,之为不可能事件把必然事件和不可能事件看作随机事件, 是为了事件运
10、算方便是为了事件运算方便 由样本空间的单个元素构成的子集,即样本点,又称为由样本空间的单个元素构成的子集,即样本点,又称为 基本事件基本事件 四、四、 事件间的关系和运算事件间的关系和运算 样本空间和事件都是集合,因此事件间的关系和运算实际样本空间和事件都是集合,因此事件间的关系和运算实际 上是集合间的关系和运算设样本空间为上是集合间的关系和运算设样本空间为 ,A、B、C和和Ak (k1,2, 3)为)为的子集的子集 1、事件的包含和相等、事件的包含和相等 在一次试验中,若在一次试验中,若A发生必然导致发生必然导致B发生,则称发生,则称B包含包含A。 记为记为 .BA 如在如在E4中,中,A表
11、示表示“出现的点数为偶数出现的点数为偶数”,B表示表示“出现出现 的点的点 数大于数大于1”即即A=2,4,6,B=2,3,4,5,6,则,则 BA 实际上,实际上,A 是是B 的子集。的子集。 。相等,记作相等,记作与与,则称事件,则称事件且且若若BABAABBA 2、事件的和(相当于并集)、事件的和(相当于并集) 在一次试验中,在一次试验中,“事件事件A与与B至少有一个发生至少有一个发生”是一个事是一个事 件,称为事件件,称为事件A与与B 的和的和,记作,记作AB,或者,或者AB “n个事件个事件A1 、 、A2、 An中至少有一个发生 中至少有一个发生”称为这称为这n个个 事件的和。记作
12、事件的和。记作 n k k A 1 “可列个事件可列个事件A1 、 、A2、中至少有一个发生 中至少有一个发生”称为这可列称为这可列 个事件的和。记作个事件的和。记作 1k k A 如,在如,在E4中,令中,令A表示掷一颗骰子表示掷一颗骰子“出现偶数点出现偶数点”,C表表 示示“出现的点数不大于出现的点数不大于1”, Ak表示表示“出现出现k点点”(k 1,2,6) 那么那么A2,4,6,C1,AC1,2,4,6, 6 1k k A 又如,在又如,在E5中中,令令Ak表示表示“一分钟内收到一分钟内收到k次呼唤次呼唤”,k 0、1、2、,A表示表示“呼唤次数大于呼唤次数大于100次次” , B表
13、示表示“呼呼 唤唤 次数小于次数小于150次次”那么那么 k k AA 101 k k AB 149 0 3、事件的积(相当于交集)事件的积(相当于交集) 在一次试验中,在一次试验中,“事件事件A与与B同时发生同时发生” 是一个事件,称是一个事件,称 为为 事件事件A与与B的积的积,记作,记作AB或者或者AB n k k A 1 表示表示“n个事件个事件A1,A2, An同时发生同时发生” 1k k A 表示表示“可列个事件可列个事件A1,A2, An ,同时发同时发 生生” ,中中 k k AAE 101 5 , 149 0 k k AB AB表示表示“一分钟内呼唤次一分钟内呼唤次 数大于数
14、大于100次且小于次且小于150次次”,即有,即有AB k k A 149 101 E4中,中,A2,4,6, B2,3,4,5,6 , C1,则,则AB 表示表示“出现的点数为大于出现的点数为大于1的偶数的偶数”由于由于A是是B的子集,所的子集,所 以以 AB=A而而AC表示表示“出现的点数为不大于出现的点数为不大于1的偶数的偶数”,这,这 是不可能发生的,故是不可能发生的,故AC。 4、互不相容的事件互不相容的事件 若若AB,则称事件,则称事件A与与B为为互不相容互不相容互不相容的互不相容的 事件在一次试验中不能同时发生事件在一次试验中不能同时发生 例如,在例如,在E E4 4中,中,A与
15、与C为互不相容的事件为互不相容的事件 5、事件的差(相当于差集)事件的差(相当于差集) 在一次试验中,在一次试验中,“事件事件A发生而事件发生而事件B不发生不发生” 这一事这一事 件件 称为事件称为事件A与与B的的差差,记作,记作AB 6、对立事件(相当于余集)对立事件(相当于余集) “A不发生不发生”这一事件称为事件这一事件称为事件A的对立事件,记作的对立事件,记作 A AA 显然,显然,AA )( AA AA .BABA也可记作也可记作 事件的关系和事件的运算可以用文氏图(图事件的关系和事件的运算可以用文氏图(图11)直观)直观 地表示事件的关系和运算与集合论的内容对照如表地表示事件的关系
16、和运算与集合论的内容对照如表11 7 7、事、事件运算的主要性质件运算的主要性质 (1)交换律)交换律 ABBA,ABBA ; (2)结合律)结合律 (AB)C A( B C), (A B ) C A (BC); (3)分配律)分配律 ( A B)CACBC, (AB)C(AC)(BC); (4)吸收律)吸收律 (A B)A=A, (AB)A=A ; (5)对偶律)对偶律BAABBABA 此外还有:此外还有: AAA,AAA ,A ,A A AA,A , ., AAAA 利用事件的关系、事件的运算及其性质,可将复杂的利用事件的关系、事件的运算及其性质,可将复杂的 事件用己知的简单事件表示,这在
17、处理问题时会很方便事件用己知的简单事件表示,这在处理问题时会很方便 例例1 一大批产品中有一大批产品中有5件次品,若从中依次任取件次品,若从中依次任取3件,件, 令令Ak表示表示“取到的第取到的第k件为正品件为正品”, k1,2,3试用试用A1, A2 ,A3,表示下列事件:,表示下列事件: (1)“取到的取到的3件中至少有一件为正品件中至少有一件为正品”,记为,记为A (2)“取到的取到的3件均为次品件均为次品”,记为,记为B (3)“取到的取到的3件恰好有一件为正品件恰好有一件为正品”,记为,记为C (4)“取到的取到的3件至多有一件为正品件至多有一件为正品”,记为,记为D 解解 (1)
18、A A1 A2 A3 321321 )2(AAABAAAB 或或 321321321 ) 3(AAAAAAAAAC 321321321321 )4(AAAAAAAAAAAACBD 例例2 如图如图12所示的电路中,所示的电路中, 以以A表示表示“信号灯亮信号灯亮” 这一事件,这一事件, 以以B、C、D分别表示事件:继分别表示事件:继 电器接点电器接点、闭合,则闭合,则 ,ABC ,ABD ,ABDBC 互不相容。互不相容。与与即即ABAB, 1.2 事件的频率与概率事件的频率与概率 概率论研究的是随机现象量的规律性因此仅仅知道概率论研究的是随机现象量的规律性因此仅仅知道 试验中可能出现哪些事件
19、是不够的,还必须对事件发生的试验中可能出现哪些事件是不够的,还必须对事件发生的 可能性大小的问题进行量的描述可能性大小的问题进行量的描述 一、一、 概率的统计定义概率的统计定义 人们经过长期实践发现,虽然随机事件在一次试验中人们经过长期实践发现,虽然随机事件在一次试验中 可能出现也可能不出现,但在大量重复的试验中它却呈现可能出现也可能不出现,但在大量重复的试验中它却呈现 出明显的规律性出明显的规律性频率稳定性频率稳定性 频率的定义:在相同条件下进行的频率的定义:在相同条件下进行的n次试验中,事件次试验中,事件A 发生的次数发生的次数nA称为事件称为事件A发生的发生的频数频数比值比值nA n称为
20、事件称为事件 A发生的发生的频率频率,并记为,并记为fn(A),即即fn(A) = nA n 由定义,易知频率具有下述基本性质:由定义,易知频率具有下述基本性质: (1) 0 fn(A) 1; (2) fn() =1, fn() 0 (3) 若若A、B为互不相容的两个事件,则为互不相容的两个事件,则 fn(A B)= fn(A) + fn(B) 事实上,若在事实上,若在次试验中,事件次试验中,事件A发生了发生了A次,事件次,事件B发生了发生了 B次,由于次,由于A、B为互不相容,故为互不相容,故AB发生的次数发生的次数 A B = A B ,根据频率的定义得,根据频率的定义得 fn(A B)=
21、 fn(A) + fn(B) 由于事件发生的频率是它发生的次数与试验次数之比,由于事件发生的频率是它发生的次数与试验次数之比, 其大小表示发生的频繁程度频率愈大,事件发生愈频繁,其大小表示发生的频繁程度频率愈大,事件发生愈频繁, 这意味着事件在一次试验中发生的可能性愈大因而,直这意味着事件在一次试验中发生的可能性愈大因而,直 观的想法是用频率来表示事件在一次试验中发生的可能性观的想法是用频率来表示事件在一次试验中发生的可能性 的大小但是否可行的大小但是否可行? 例例1 (抛掷硬币试验抛掷硬币试验)在一组不变的条件在一组不变的条件 (如硬币是匀的,如硬币是匀的, 垂直上抛等等垂直上抛等等)下,重
22、复抛掷一枚硬币,考察事件下,重复抛掷一枚硬币,考察事件A出现出现 正面正面发生的频率历史上曾经有不少人做过这个试验,表发生的频率历史上曾经有不少人做过这个试验,表 13列出了大量投掷硬币的试验结果列出了大量投掷硬币的试验结果 从上表可见,在多次重复试验中,同一事件发生的频率从上表可见,在多次重复试验中,同一事件发生的频率 虽然并不完全相同,但总是在一个固定的数值附近摆动,呈虽然并不完全相同,但总是在一个固定的数值附近摆动,呈 现出一定的稳定性当重复的次数增加时,这种现象就越明现出一定的稳定性当重复的次数增加时,这种现象就越明 显频率的这种稳定性,反映了随机事件本身固有的属性,显频率的这种稳定性
23、,反映了随机事件本身固有的属性, 也就是说,事件的概率是客观存在的。也就是说,事件的概率是客观存在的。 实实 验验 者者投掷次数投掷次数正面次数正面次数 频频 率率 蒲蒲 丰丰 4040 2048 0.5069 皮皮 尔尔 逊逊 12000 6019 0.5016 皮皮 尔尔 逊逊 24000 12012 0.5005 概率的概率的统计定义统计定义: 在相同条件下,重复进行在相同条件下,重复进行n次试验,当次试验,当n 充分大,事件充分大,事件A发发 生的频率生的频率fn(A) = nA n 稳定地在某一数值稳定地在某一数值 p 附近摆动,则附近摆动,则 称称 p为事件为事件A 发生的发生的
24、概率概率,记作,记作P(A) p 关于概率的统计定义关于概率的统计定义: (1) 0P(A)1 P()=0 P()=1; (2) 给出了概率的一种近似求法给出了概率的一种近似求法 (频率近似代替概率频率近似代替概率) (3) 频率与概率不同频率与概率不同, 频率与试验次数有关频率与试验次数有关,而而概率是事物的概率是事物的 本身属性本身属性. (实际问题中频率可认为是概实际问题中频率可认为是概 率的随机表现率的随机表现) . (4) 频率代替概率的缺点是不能使频率代替概率的缺点是不能使n+1次试验优于次试验优于n次试验所次试验所 得得 结果结果.(很多问题中影响并不大很多问题中影响并不大) 为
25、此,人们要寻找更精确的定义为此,人们要寻找更精确的定义. 二、二、概率的公理化体系概率的公理化体系 在勒贝格测度论和积分理论基础上,前苏联数学家柯尔在勒贝格测度论和积分理论基础上,前苏联数学家柯尔 莫哥洛夫在莫哥洛夫在1933年提出了概率的公理化体系年提出了概率的公理化体系 公理公理1 对任一事件对任一事件A有有P(A)0 公理公理2 P()=1 公理公理3 对可列个两两互不相容的事件对可列个两两互不相容的事件A1,A2,An,有有 )()( 11 i i i i APAP 在此基础上得到概率的理论定义:在此基础上得到概率的理论定义: 设实值函数设实值函数 P P(A)的定义域为所考虑的全体随
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