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1、目录 chapter第 1 章 立体几何之外接球2 1.1 立体几何之外接球 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 共面问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 平行问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2、. . . . . . . . 14 1.3.1 平行之点共面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 平行问题基础理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3 正向平移证平行问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.4 平行的传递性.

3、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.5 反向沿线找点找线平移法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 垂直问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1 垂直问题基础理论 . . . . . . . . . . . .

4、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2 垂直问题基础理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.3 系统法 1：面 面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.4 系统法 2：二线. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5、. . . . . . . . . 23 1.4.5 系统法 3：三勾股 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.6 系统法 4：四图一柱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.7 系统法 5：五射影 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.8 系

6、统法 6：转化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.9 平行垂直综合. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.5 立体几何与空间向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.5.1 空间向量与线线角 . . . . . . . . .

7、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.5.2 空间向量与点到面的距离 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.5.3 定义法与角度问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.5.4 空间向量与线面角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8、. . . . . . . . . . 38 1.5.5 空间向量与二面角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.5.6 空间向量与动点设点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.6 文科专项 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1

9、.6.1 直接法求体积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.6.2 平行换点求体积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.6.3 等分点求体积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.6.4 割补法求体积. . . . . . . .

10、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.6.5 表面积和面积问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.6.6 直接法求点到面的距离 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.6.7 平行换点求点到面的距离 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11、 . . . . . . . . . . 52 1.6.8 等体积法求点到面的距离 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 第 1 页共 97 页 第 1 章立体几何之外接球 1.1立体几何之外接球 总结： 核 心 模 型 球心 1002 1球心在过两个不平行平面的外接圆圆心 且分别垂直于两个平面的两条直线的交点 四个模型 柱体模型 1002 1长方体模型 1003 2正方体模型 1004 3三条棱 a、b、c 两两相互垂直 柱切锥（柱体的切割体）模型 1002 1对棱相等模型 1 1003 2对棱相

12、等模型 2 锥体模型 1002 1正棱锥模型 1003 2侧棱垂直底面模型 1004 3球心的投影在面的外接圆圆心上模型 面 面 夹角 模型 1002 1=90 1003 2全等三角形折叠模型 1004 3等腰三角形底边与直角 三角形斜边构成二面角 的四面体 1005 4 为任意角 外接球之柱体模型 柱体模型： 柱体模型 长方体模型 ( a、b、c 长方体的长宽高 1002 1R= a2 +b2+c2 2 正方体模型 ( a 正方体的棱 1002 1R= a2 +a2+a2 2 a、b、c 相互垂直的三条边 ( a、b、c 相互垂直的三条边 1002 1R= a2 +b2+c2 2 例1(柱体

13、模型) 证明 R= a2 +b2+c2 2 ； 第 3 页共 97 页 对棱相等 总结： 对棱相等 对棱相等模型 1 , 为对棱长，且在长方体对角线上 1002 1R=1 2 s 2+2+2 2 对棱相等模型 2 、 为对棱长，且在正方体对角线上 1002 1R=1 2 s 2+2+2 2 , 1003 2本质为正四面体: 它的高 h= 6 3 R外接球 R内切球 = 3 1 例2(对棱相等) 证明 R= 1 2 s 2+2+2 2 第 4 页共 97 页 外接球之锥体模型 总结： 锥体模型 正棱锥模型 b 为侧棱、h 为高 1002 1R= b2 2h 侧棱垂直底面模型 h 侧棱长，r 为底

14、面多边形的外接圆半径 直棱柱与直圆柱也满足此公式 1002 1R= s h2 4 +r2 球心的投影在面的外接圆圆心上模型 h 为球心到平面的距离 r 为面的外接圆半径 1002 1R=h2+r2 锥体之正棱锥模型： 锥体之正棱锥模型 b 为侧棱、h 为高 1002 1R= b2 2h 例3(正棱锥模型) 证明 R= b2 2h 第 5 页共 97 页 侧棱垂直底面或直棱柱与直圆柱模型 总结： 侧棱垂直底面模型 h 侧棱长，r 为底面多边形的外接圆半径 直棱柱与直圆柱也满足此公式 1002 1R= s h2 4 +r2 例4(侧棱垂直底面模型) 第 6 页共 97 页 球心的投影在面的外接圆圆

15、心上模型 球心的投影在面的外接圆圆心上模型： 球心的投影在面的外接圆圆心上模型 h 为球心到平面的距离 r 为面的外接圆半径 1002 1R=h2+r2 例5(球心的投影在面的外接圆圆心上模型) 【球心的投影在面的外接圆圆心上模型图】 第 7 页共 97 页 外接球之平面 平面 夹角 模型 总结： 平 面 平 面 夹 角 模 型 =90 r1为 的外接圆半径 r2为 的外接圆半径l 为 与 交线 1002 1R= s r2 1+r22 l2 4 全等三角形折叠 全等三角形或者等腰拼在一起 或者菱形折叠折叠的二面角为 h 为一个面的顶点到两面交线中点的距离 r 同一个面的外接圆半径 1002 1

16、R= s r2+(hr)2tan2 2 等腰与直角三角形 等腰三角形底边与直角 三角形斜边构成二面角为 h 等腰三角形底边的高 r 等腰三角形外接圆半径 1002 1R= s r2+ (hr)2 sin2 剖面图一致 两个等腰三角形（不全部等）公底边 的二面角 等腰三角形底边 与直角三角形直角边共边二面角 1002 1R= s r2+(hr)2tan2 2 = 任意角 l 为 与 交线 为面 与面 的夹角 m 为 的外接圆圆心到 l 中点的距离 n 为 的外接圆圆心到 l 中点的距离 1002 1R2=m 2 +n22mncos sin2 + l2 4 总结： =90 r1为 的外接圆半径r2

17、为 的外接圆半径 l 为 与 交线： 1002 1R= s r2 1+r22 l2 4 第 8 页共 97 页 例6() 【面 面 夹角 =90模型图】 第 9 页共 97 页 总结： 全等三角形折叠 全等三角形或者等腰拼在一起 或者菱形折叠折叠的二面角为 h 为一个面的顶点到两面交线 中点的距离 r 同一个面的外接圆半径 1002 1R= s r2+(hr)2tan2 2 题型 2全等三角形折叠 例7() 【全等三角形折叠模型图】 第 10 页共 97 页 总结： 等腰底边与直角斜边 等腰三角形底边与直角三角形斜边构成二面角为 h 等腰三角形底边的高r 等腰三角形外接圆半径 1002 1R=

18、 s r2 1+ (h2r2)2 sin2 题型 3等腰三角形底边与直角三角形斜边构成二面角的四面体 例8() 【等腰三角形与直角三角形斜边构成二面角的四面体】 第 11 页共 97 页 含二面角 的外接球终结公式： 含二面角 的外接球终结公式 l 为 与 交线 为面 与面 的夹角 m 为 的外接圆圆心到 l 中点的距离 n 为 的外接圆圆心到 l 中点的距离 1002 1R2=m 2 +n22mncos sin2 + l2 4 例9() 【含二面角 的外接球终结公式模型图】 第 12 页共 97 页 1.2共面问题 例1(2020 全国 III 理 19#$) 如图，在长方体 ABCDA1B

19、1C1D1中，点 E，F 分别在棱 DD1，BB1上，且 2DE =ED1， BF =2FB1 ( I ) 证明：点 C1在平面 AEF 内； 第 13 页共 97 页 1.3平行问题 第 14 页共 97 页 1.3.1平行之点共面 例1(2020 全国 III 文 19#$) 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别在棱 DD1，BB1上，且 2DE =ED1， BF =2FB1证明： ( I ) 当 AB =BC 时，EFAC； (II) 点 C1在平面 AEF 内 第 15 页共 97 页 1.3.2平行问题基础理论 平行问题基础理论： 1.3.3正向平移证平行问题

20、 总结： 第 一 招: 正向沿线 找点找线 平移法 说明:以线 (已知直线) 平行与面 (已知平面) 为核心 如何 平移 把已知直线沿某条直线平移到已知平面内 1002 1让线过顶点或特殊点 1003 2线不超过面的轮廓 与面的交点为点，与相应点的连线为线 如何 证明 1002 1(一长一短: 中位线定理 (相似) 一样长：平行四边形 证明平行四边形常用的方法: 1002 1一组对边平行且相等 1003 2两组对边分别平行 1004 3两组对边分别相等 第 16 页共 97 页 1.3.4平行的传递性 例1(2020 北京 16#$) 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 BB1

21、中点 ( I ) 求证：BC1/ 平面 AD1E 例2(2010 浙江) 如图， 在平行四边形 ABCD 中， AB =2BC， ABC =120 E 为线段 AB 的中点， 将 ADE 沿直线 DE 翻折成 A1DE， 使平面 A1DE 平面 BCD，F 为线段 A1C 的中点 ( I ) 求证：BF/ 平面 A1DE； 变式练2.1(2017 全国 II 理 19 #$) 如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面三角形 BCD，AB = BC = 1 2AD，BAD=ABC =90 ，E 是 PD 的中点 ( I ) 证明：直线 CE/ 平面 PAB； 例3(

22、2017 全国 I#$) 如图，在四棱锥 P ABCD 中，AB/CD，且 BAP =CDP =90 ( I ) 证明：平面 PAB 平面 PAD； 第 17 页共 97 页 第 18 页共 97 页 1.3.5反向沿线找点找线平移法 总结： 第 二 招: 反向沿线 找点找线 平移法 说明:以线 (已知直线) 平行与面 (已知平面) 为核心 如何 平移 把己知平面上的线沿某条直线平移到已知直线 构建此时相交直线所形成的面 证明两个平面平行即可 如何 证明 1002 1(一长一短: 中位线定理 (相似) 一样长：平行四边形 证明平行四边形常用的方法 1002 1一组对边平行且相等 1003 2两

23、组对边分别平行 1004 3两组对边分别相等 例1(2013 辽宁) 如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直圆 O 所在的平面，C 是 圆 O 上的点 ( I ) 设 Q 为 PA 的中点， G 为 AOC 的重心， 求证： QG/ 平面 PBC 变式练1.1(2018 天津理 17#$) 如图， AD/BC 且 AD=2BC， ADCD， EG/AD 且 EG=AD， CD/FG 且 CD=2FG， DG 平面 ABCD，DA=DC =DG=2 ( I ) 若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：MN/ 平面 CDE； 第 19 页共 97 页 1.4垂直问题 1.4.1垂直

24、问题基础理论 垂直问题基础理论： 立体几何证明问题中的转化思想 直线与平面垂直的定义：如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 相互垂直，记作 l. 直线与平面垂直的判定与性质: 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，那么该直线与此平面垂直. （简记为“线线垂直 线面垂直” ） 符号语言： a b la lb ab=O l 性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行；一条直线垂 直于一个平面，则这条线垂直于平面内的所有直线 符号语言： a b ab； a ( 任意）m，n，b a( 任意 m，n，b ). 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平

25、重上的投影所成的锐角，叫做这 条直线和这个平面所成的角. 注： 1. 一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角为直角； 2. 一条直线与平面平行或在平面内，则此直线与平面所成 的角是 0 的角； 3. 直线与平面所成角的范围是 0, 2 . 第 20 页共 97 页 1.4.2垂直问题基础理论 总结： 平面与平面垂直的判定与性质: 1. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫 做二面角. 2. 二面角的平面角：在二重角的棱上任取一点，以该点为 垂足，在二面角的两个半平面内分别作垂直于棱的两条射 线，这两条射 AOB 即为二面角 l 的平面角. 3. 二重角的平面角的范围是 0,. 平

26、面与平面垂直的定义: 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就 说这两个平面互相垂直. 面面垂直的判定定理与性质定理： 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线那么这两 个平面互相垂直（简记为“线面垂直 面面垂直”) 符号语言： l l 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线必垂直于另一个平面 (简记为“面面 垂直 线面垂直”) 符号语言： =l a al a 总结： 垂直问题基础理论 垂直问题辅助线常规作法 直角三角形斜边上的中线 等腰梯形 1002 1过上顶点作线垂直于底 1003 2过底作两腰的反向延长线交于一点 第 21 页共 97 页

27、 1.4.3系统法 1：面 面 系统法 1：面 面： 系统法 1：一面 已知面垂直面 找交线 谁垂直交线（不垂直，作垂直） 谁垂直另一个面 例1(2018 天津#$) 如图，在四面体 ABCD 中，ABC 是等边三角形，平面 ABC 平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，AB =2，AD= 23，BAD=90 ( I ) 证明：ADBC. 变式练1.1(2020 浙江 19) 如图，三棱台 DEF ABC 中，面 ADFC 面 ABC，ACB =ACD=45，DC =2BC ( I ) 证明：EFDB； 变式练1.2(2018 全国 III 理 19 #$) 如图，边长为 2 的正方形 A

28、BCD 所在的平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是 CD 上异 于 C，D 的点 ( I ) 证明：平面 AMD 平面 BMC； 第 22 页共 97 页 1.4.4系统法 2：二线 总结： 系统法 2：二线 两个三角形的三线合一 等腰三角形 等边三角形 三线合一中线，角平分线，高 例1(2017 全国 III) 如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，AD=CD ( I ) 证明：ACBD； 变式练1.1(2007 福建文 17#$) 如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都为 2，D 为 CC1的中点 ( I ) 求证：AB1 平面 A1BD； B CC1 B1 AA1

29、 D 第 23 页共 97 页 1.4.5系统法 3：三勾股 系统法 3：三勾股： 系统法 3：三勾股 勾股定理之逆定理证明垂直 常包含基本定理 1002 1余弦定理 1003 2正弦定理 例1(2010 江苏#$) 如图， 在三棱锥 P ABC 中， D， E， F 分别为棱 PC， AC， AB 的中点，已知 PAAC，PA=6，BC=8，DF=5 ( I ) 求证：平面 BDE 平面 ABC. A E C1 B F P D 变式练1.1(2020 全国 I 理 18(2/5)#$) 如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE =AD . ABC 是底 面的内接正

30、三角形，P 为 DO 上一点，PO= 6 6 DO ( I ) 证明: PA 平面 PBC E O A C B D P 变式练1.2(2018 全国 II 文 19 #$) 如图，在三棱锥 P ABC 中，AB =BC =22，PA=PB =PC =AC =4，O 为 AC 的中 点 ( I ) 证明：PO 平面 ABC； 第 24 页共 97 页 第 25 页共 97 页 1.4.6系统法 4：四图一柱 总结： 系统法 4：四图一柱 四图 1002 1正方形棱垂直棱、对角线垂直 1003 2菱形对角线垂直 1004 3矩形棱垂直棱 1005 4圆直径所对圆周角 =90 一柱 1002 1直棱

31、柱侧棱垂直底面 例1(四图一柱之正方形#$) 已知四棱锥 S ABCD 的底面 ABCD 是正方形，SA 底 面 ABCD，E 是 SC 上的任意一点. ( I ) 求证：平面 EBD/ 平面 SAC. 变式练1.1(2020 海南 20#$) 如图，四棱锥 P ABCD 的底面为正方形，PD 底面 ABCD设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l ( I ) 证明：l 平面 PDC； 第 26 页共 97 页 变式练1.2(2018 全国 I 理 18 #$) 如图，四边形 ABCD 为正方形，E,F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把 DFC 折起，使点 C 到达点 P 的

32、位置，且 PFBF ( I ) 证明：平面 PEF 平面 ABFD； 例2(四图一柱之菱形) 如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点，BE 平面 ABCD ( I ) 证明：平面 AEC 平面 BED. A D C B E G 第 27 页共 97 页 四图一柱之圆 例3(2013 辽宁) 如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直圆 O 所在的平面，C 是 圆 O 上的点 ( I ) 求证：BCPAC. 变式练3.1(2020 全国 II 理 20(4/5) 如图, 已知三棱柱 ABC A1B1C1的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC,

33、B1C1的中点, P 为 AM 上一点. 过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F. ( I ) 证明: AA1/MN, 且平面 A1AMN 平面EB1C1F; A B C A1 B1 C1 N M O F EP 第 28 页共 97 页 1.4.7系统法 5：五射影 总结： 系统法 5：五射影 射影定理 点到射影面的射影线垂直射影面 例1(五射影) 如图，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，AB =BC =2， ABC=120，又顶点 A1在底面 ABC 上的射影落在 AC 上，M 为 AC 的中点 ( I ) 求证：AA1BD 第 29 页共 97 页 1.4.8系统法

34、 6：转化 总结： 系统法 6：六转化 平行的传递性 1002 1垂直于同一平面的两条直线互相平行 1003 2两条直线互相平行，若其中一条垂直一个平面 则另一条直线也垂直于该平面 例1(六转化 2015 新课标) 如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，E 平面 ABCD ( I ) 求证：平面 AEC 平面 BED. x O y O z C BA D F E O G H 第 30 页共 97 页 1.4.9平行垂直综合 例1(2020 江苏 15#$) 在三棱柱 ABC A1B1C1中，ABAC，B1C 平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点 ( I )

35、 求证：EF/ 平面 AB1C1； (II) 求证：平面 AB1C 平面 ABB1 变式练1.1(2019 北京文 18#$) 如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形E 为 CD 的中 点 ( I ) 求证：BD 平面 PAC； (II) 若 ABC =60，求证：平面 PAB 平面 PAE； (III) 棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF/ 平面 PAE？说明理由 变式练1.2(2019 江苏 16#$) 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB =BC求证： ( I ) A1B1/ 平面 DEC1； (I

36、I) BEC1E 第 31 页共 97 页 变式练1.3(2018 全国 III#$) 如图，矩形 ABCD 所在的平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是 CD 上异于 C，D 的点 ( I ) 证明：平面 AMD 平面 BMC； (II) 在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC/ 平面 PBD？说明理由 变式练1.4(2018 江苏 15 #$) 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，AB1B1C1 ( I ) 求证：AB/ 平面 A1B1C； (II) 平面 ABB1A1 平面 A1BC 变式练1.5(2018 北京文 18 #$) 如图，在四棱锥 P ABCD 中

37、，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD 平面 ABCD，PAPD， PA=PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点 ( I ) 求证：PEBC； (II) 求证：平面 PAB 平面 PCD； (III) 求证：EF/ 平面 PCD 变式练1.6(2017 山东文 18 #$) 由四棱柱 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E 平面 ABCD ( I ) 证明：A1O/ 平面 B1CD1； 第 32 页共 97 页 (II) 设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM

38、平面 B1CD1 变式练1.7(2017 北京文 18#$) 如图，在三棱锥 P ABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB =BC =2，D 为 线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点 ( I ) 求证：PABD； (II) 求证：平面 BDE 平面 PAC； (III) 当 PA/ 平面 BDE 时，求三棱锥 E BCD 的体积 第 33 页共 97 页 1.5立体几何与空间向量 例1(2018 上海 17#$) 已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2 ( I ) 设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积 (II) 设 PO=4，OA，OB 是底面半径，且 AOB =9

39、0，M 为线段 AB 的中点，如图，求 异面直线 PM 与 OB 所成的角的大小（正切值） 第 34 页共 97 页 1.5.1空间向量与线线角 例1(2018 江苏 25#$) 如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，AB =AA1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点 ( I ) 求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值； 第 35 页共 97 页 1.5.2空间向量与点到面的距离 例1(2019 上海 17#$) 如图， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， M 为 BB1上一点， 已知 BM =2， CD=3， AD=4， AA1=5 ( I ) 求直线 A1C 与平面

40、 ABCD 的夹角； (II) 求点 A 到平面 A1MC 的距离 第 36 页共 97 页 1.5.3定义法与角度问题 例1(2018 天津文 17#$) 如图，在四面体 ABCD 中，ABC 是等边三角形，平面 ABC 平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，AB =2，AD=23，BAD=90 ( I ) 求证：ADBC； (II) 求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值； (III) 求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值 第 37 页共 97 页 1.5.4空间向量与线面角 例1(2020 北京 16#$) 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 BB1中点

41、( I ) 求证：BC1/ 平面 AD1E (II) 求直线 AA1与平面 AD1E 所成角的正弦值 变式练1.1(2020 全国 II 理 20(4/5) 如图, 已知三棱柱 ABC A1B1C1的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1的中点, P 为 AM 上一点. 过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F. ( I ) 证明: AA1/MN, 且平面 A1AMN 平面EB1C1F; (II) 设 O 为 A1B1C1的中心, 若 AO/ 平面 EB1C1F, 且 AO=AB, 求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正

42、弦值. A B C A1 B1 C1 N M O F EP 变式练1.2(2020 浙江 19) 如图，三棱台 DEF ABC 中，面 ADFC 面 ABC，ACB =ACD=45，DC =2BC ( I ) 证明：EFDB； (II) 求 DF 与面 DBC 所成角的正弦值 第 38 页共 97 页 变式练1.3(2020 海南 20#$) 如图，四棱锥 P ABCD 的底面为正方形，PD 底面 ABCD设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l ( I ) 证明：l 平面 PDC； (II) 已知 PD=AD=1，Q 为 l 上的点，QB = 2，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值

43、 变式练1.4(2020 山东 20#$) 如图，四棱锥 P ABCD 的底面为正方形，PD 底面 ABCD设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l ( I ) 证明：l 平面 PDC； (II) 已知 PD=AD=1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值 变式练1.5(2018 江苏 25#$) 如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，AB =AA1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点 ( I ) 求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值； (II) 求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值 变式练1.6(2018 全国 I 理 18

44、#$) 如图，四边形 ABCD 为正方形，E,F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把 DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PFBF ( I ) 证明：平面 PEF 平面 ABFD； 第 39 页共 97 页 (II) 求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 变式练1.7(2018 全国 III 理 19 #$) 如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是 CD 上异 于 C，D 的点 ( I ) 证明：平面 AMD 平面 BMC； (II) 当三棱锥 M ABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值 变

45、式练1.8(2018 浙江 19 #$) 如图， 已知多面体 ABCA1B1C1， A1A， B1B， C1C 均垂直于平面 ABC， ABC =120， A1A=4， C1C =1，AB =BC =B1B =2 ( I ) 证明：AB1 平面 A1B1C1； (II) 求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的 正弦值 第 40 页共 97 页 1.5.5空间向量与二面角 例1(2020 全国 I 理 18(2/5)#$) 如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE =AD . ABC 是底 面的内接正三角形，P 为 DO

46、 上一点，PO= 6 6 DO ( I ) 证明: PA 平面 PBC (II) 求二面角 B PC E 的余弦值. E O A C B D P 例2(2007 福建文 17) 如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都为 2，D 为 CC1的中点 ( I ) 求证：AB1 平面 A1BD； (II) 求二面角 AA1DB 的大小（余弦值） B CC1 B1 AA1 D 例3(2020 天津 17) 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，CC1 平面 ABC，ACBC，AC =BC =2，CC1=3， 点 D，E 分别在棱 AA1和棱 CC1上，且 AD=1，CE =2，M 为棱 A1

47、B1的中点 ( I ) 求证：C1MB1D； (II) 求二面角 B B1E D 的正弦值； (III) 求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值 第 41 页共 97 页 变式练3.1(2020 全国 III 理 19#$) 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别在棱 DD1，BB1上，且 2DE =ED1， BF =2FB1 ( I ) 证明：点 C1在平面 AEF 内； (II) 若 AB =2，AD=1，AA1=3，求二面角 AEF A1的正弦值 变式练3.2(2020 江苏理 24#$) 在三棱锥 ABCD 中， 已知 CB =CD= 5， BD=2， O

48、 为 BD 的中点， AO 平面 BCD， AO=2，E 为 AC 的中点 ( I ) 求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值； (II) 若点 F 在 BC 上，满足 BF = 1 4BC，设二面角 F DE C 的大小为 ，求 sin 的 值 变式练3.3(2019 全国 III 理 19 #$) 图 1 是由矩形 ADEB， RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形， 其中 AB =1， BE = BF =2，FBC =60将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2 ( I ) 证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC 平面 BC

49、GE； (II) 求图 2 中的二面角 B CGA 的大小 第 42 页共 97 页 变式练3.4(2019 全国 II 理 17#$) 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1 ( I ) 证明：BE 平面 EB1C1； (II) 若 AE =A1E，求二面角 B EC C1的正弦值 变式练3.5(2019 天津理 17 #$) 如图，AE 平面 ABCD，CF/AE，AD/BC，ADAB，AB =AD=1，AE =BC =2 ( I ) 求证：BF/ 平面 ADE； (II) 求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值； (II

50、I) 若二面角 E BDF 的余弦值为 1 3，求线段 CF 的长 变式练3.6(2019 全国 I 理 18 #$) 如图， 直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形， AA1=4， AB =2， BAD=60， E， M， N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点 ( I ) 证明：MN/ 平面 C1DE； (II) 求二面角 AMA1N 的正弦值 第 43 页共 97 页 变式练3.7(2019 北京理 16 #$) 如图， 在四棱锥 PABCD 中， PA 平面 ABCD， ADCD， AD/BC， PA=AD=CD=2， BC =3，E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，