数列+导数挑战150.pdf

1、Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 1 （ 1 ） “ 添舍” 放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的， 这是常规思路。 例 1 .已知求证： 证明： 若多项式中加上一些正的值， 多项式的值变大， 多项式中加上一些负的值， 多项式的值 变小。 由于证明不等式的需要， 有时需要舍去或添加一些项， 使不等式一边放大或缩小， 利用 不等式的传递性， 达到证明的目的。 本题在放缩时就舍去了， 从而是使和式得到化简. 例 2 函数f（x） =， 求证：f（ 1 ） +f（ 2 ） + +f（n） n+. 证明： 由f(n) = 1 - 得f（ 1 ） +f（ 2 ） + +f（n

2、） . 此题不等式左边不易求和, 此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数， 再对分母进行 放缩， 从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为 常量， 分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。 如需放大， 则只要把分子放大或分母缩小 即可； 如需缩小， 则只要把分子缩小或分母放大即可。 （ 2 ） . 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大， 若分母变大则分式值变小， 一个真分式， 分子、 分母同时加上同一 个正数则分式值变大， 利用这些性质， 可达到证题目的。 例 3 . . 数列满足，. （ 1 ） 求通项公式； （ 2 ） 令， 数列前项和为，

3、Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 2 求证： 当时，； 解（ 1 ）， 两边同除以得： 是首项为， 公比的等比数列 4分 （ 2 ）， 当时， 5分 两边平方得： 相加得： 又 9分 例 4 . 已知数列的前 n 项和为， 点在曲线 上且. （ 1 ） 求数列的通项公式； （ 2 ） 求证：. 解： ( 1 ) Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 3 数列是等差数列， 首项公差 d = 4 （ 4分） ( 2 ) 1 2分 例 5 . 已知数列的首项， 前项和为， 且、分别是直线 上 的点 A 、 B 、 C的横坐标， 点 B分所成的比为， 设。 判断数列是否为等比数列，

4、 并证明你的结论； 设， 证明：。 Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 4 解 由题意得 3分 数列是以为首项， 以 2为公比的等比数列。 6分 则（） 由及得 ， 8分 则 1 0分 1 2分 （ 3 ） . 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数 n 有关的 n项和， 可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例例 77 . 设数列设数列满足满足，（） ，（） ， 数列的前数列的前 nn 项和为项和为. ( 11 )求数列的通项公式求数列的通项公式； ( 22 )求证求证： 当时当时，；，； （ 33 ） 试探究试探究： 当时当时， 是否有是否有？ 说明理由说明理由. （ 1 ） 解法：

5、（） - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分 Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 （） 又也适合上式， - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6、 - - - - - - - - - - 5分 （ 2 ） 证明： 当时， - - - - - - 8分 又 当时，. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 0分 ( 3 ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 2分 当时, 要只需 即需， 显然这在时成立 而,当时显然 Q

7、群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 6 即当时也成立 综上所述： 当时， 有. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 4分 （ 4 ） 先放缩再求和（ 或先求和再放缩） 例 8 . 已知且， 求证：对所 有正整数 n 都成立。 证明： 因为， 所以， 又， 所以， 综合知结论成立。 二. 数列导数与不等式综合问题 11 . 数列的通项是关于数列的通项是关于 xx 的不等式的解集中的整数的个数的不等式的解集中的整数的个数， 且已知且已知 （ 11 ） 求数列的通项公式求数列的通项公式； （ 22 ） 若

8、的前若的前 nn项和项和 （ 33 ） 求证求证： 对对 解： （ 1 ） 不等式 解得， 其中整数解有 n 个， （ 2 ） 由（ 1 ） 知， 用错位相减法可求得 7分 （ 3 ） Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 7 得证 9分 又由 ， 两式相减， 得： 递增， 的最小值是 综上， 对 1 2分 22 . 对于函数对于函数， 若存在若存在， 使成立使成立， 则称为的不动点则称为的不动点. 如果函数如果函数 有且仅有两个不动点有且仅有两个不动点、 ，、 ， 且且. （ ） 试求函数的单调区间试求函数的单调区间； （ ） 已知各项不为已知各项不为 11的数列满足的数列满足， 求

9、证求证：；：； （ ） 在在（ 22 ） 中中， 设设，为数列的前项和为数列的前项和， 求证求证：. 解： （ 1 ） 设 1分 由 又 3分 于是 由得或；由得或 Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 8 故函数的单调递增区间为和， 4分 单调减区间为和 5分 （ 2 ） 由已知可得，当时， 两式相减得 或 6分 当时， 若， 则这与矛盾 7分 于是， 待证不等式即为. 为此， 我们考虑证明不等式 令则， 再令，由知 当时，单调递增于是 即 9分 令，由知 当时，单调递增于是 即 由、 可知 所以， 即 1 1分 （ 3 ） 由（ 2 ） 可知则 在中令， 并将各式相加得 即 1 4

10、分 3 . 数列满足， 若数列满足， （ ） 求求，及及； （ ） 证明证明：; Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 9 （ ） 求证求证： 解： （ ）， 1分 由 3分 （ ） ， 6分 （ ） 由（ ） 知 8分 而 9分 当时， 1 0分 法 1 ： 1 2分 法 2 : 只须证令 则,只须证成立. 4 . 已知函数 （ 1 ） 求在上的最小值； Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 1 0 （ 2 ） 对一切恒成立， 求实数的取值范围； （ 3 ） 证明对一切都有成立 解： （ 2 ） 由题意知： （ 3 ） 等价证明 由（ 1 ） 知 Q群 6 7 5 2 6 0

11、 0 0 5汇编 1 1 即， 5 . 已知函数 （ 1 ) 求函数 f ( x ) 的单调区间； （ 2 ） 若恒成立， 试确定实数 k 的取值范围； （ 3 ） 证明解：（ 1 ）， 当 时函数 f ( x ) 的递增区间为 当时函数 f ( x ) 的递增区间为， 函数 f ( x ) 的递减区间为 （ 2 ） 由得， 令， 则 当， 所以 y 的最大值为 1 ， 故 （ 3 ） 由（ 2 ） 知在上恒成立， 令， 则 6 . 已知二次函数g（x） 对任意实数x都满足， 且令 （ 1 ） 求g(x) 的表达式； （ 2 ） 设， 证明: 对任意 x, x， 恒有 解（ 1 ） 设， 于是

12、 所以又， 则所以. 5分 （ 2 ） 因为对，所以在内单调递减. 于是 8分 记， 则 Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 1 2 所以函数在是单调增函数， 所以， 故命题成立. 1 2分 7 . 设数列是公差不为 0的等差数列，为其前项和，数列为等比数列，且 ，。 （ 1 ）求数列和的通项公式及； （ 2 ） 设数列满足， 问当为何值时，取得最大值？ （ 1 ） 解： 设数列的公差为， 数列的公比为。 则，, 从而由，得： 消去得， 解得：或。 代入得或， 因为， 所以舍去。 所以 所以， （ 2 ） 假设最大， 因为所以 所以由最大， 得即： 化简得，解得： Q群 6 7 5

13、2 6 0 0 0 5汇编 1 3 即： 当时，最大。 8 . 已知数列的首项， （ 1 ） 求的通项公式； （ 2 ） 证明： 对任意的，； （ 3 ） 证明： 解： （ ）， 又，是以为首项，为公比的等比数列 3分 ， 4分 （ ） 由（ ） 知， ，原不等式成立 8分 （ ） 由（ ） 知， 对任意的， 有 1 0分 Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 1 4 取， 1 2分 则 原不等式成立 1 4分 99 .设定义在 RR的函数，RR .当 时，取得极大值， 且函数的图象关于点对称. （ I ） 求函数的表达式； （ I I ） 判断函数的图象上是否存在两点， 使得以这两点

14、为切点的切线互相垂直， 且 切点的横坐标在区间上， 并说明理由； （ I I I ） 设，（） ， 求证：. 解： （ I ） 将函数的图象向右平移一个单位得到函数的图象， 函数的图象关于点对称， 即为奇函数. . . . 2分 由题意可得， 解得. . . . 4分 （ I I ） 存在满足题意的两点. . . 6分 由（ I ） 得. 假设存在两切点， 且. 则. ， 或， Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 1 5 即或. 从而可求得两点的坐标分别为或. . 9分 （ I I I ） 当时， 在上递减. 由已知得， ， 即. . . 1 1分 又时，；时， 在上递增，在上递减.

15、 ， . ， 且， . 1 3分 . . . 1 4分 1 0 . 已知函数， 满足： 对任意都有； 对任意 都有. （ 1 ） 试证明：为上的单调增函数； （ 2 ） 求； （ 3 ） 令， 试证明： 解： （ 1 ） 由知， 对任意， 都有， 由 于，从 而，所 以 函 数为上 的 单 调 增 函 数 . 3分 （ 2 ） 令， 则， 显然， 否则， 与矛盾. 从而， 而由, 即得. 又由（ I ） 知， 即. 于是得， 又， 从而， 即. 5分 Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 1 6 进而由知，. 于是, 7分 , , , 由于, 而且由（ I ） 知， 函数为单调增函数，

16、 因此. 从而.9分 （ 3 ）, ，. 即数列是以 6为首项, 以 3为公比的等比数列 . .1 1分 于是, 显然,1 2分 1 1 . 在数列中， 已知， （ 1 ） 证明数列为等比 数列， 并求数列的通项公式； （ 2 ） 求证：， （ 1 ） 注意到， 所以原式整理得： 由，得对，从而由，两边取倒数得： ， 即， 数列是首项为， 公比为的等比数列 .故数列的通项公式是. 4分 （ 2 ） 证法 1 ：，当时， 8分 Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 1 7 + . 1 2分 证法 2 ：，当时， 8分 . 1 2分 1 2 . 已知函数 （ ）为定义域上的单调函数， 求实

17、数的取值范围；w . w . w . k . s . 5 . u . c . o . m （ ） 当时， 求函数的最大值； （ ） 当时， 且， 证明：. 解答解答： （ 1 ）， 因为对， 有 不存在实数使， 对恒成立 2分 由恒成立， ， 而， 所以 经检验， 当时，对恒成立。 当时，为定义域上的单调增函数 4分 （ 2 ） 当时， 由， 得 Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 1 8 当时， 当时， 在时取得最大值， 此时函数的最大值为 7分 ： 当时（ 由待证命题的结构进行猜想， 辅助函数， 求差得之） ，在上递增 令 在上总有， 即在上递增 当时， 即 令由（ 2 ） 它在

18、上递减 即 ， 综上成立 1 2分 w . w . w . k . s . 5 . u . c . o . m 其中 1 3 . 已知 （ ） 当且有最小值为 2时， 求的值； （ ） 当时， 有恒成立， 求实数 的取值范围 解答解答（ 1 ）= 又， 当， 解得 当， 解得， 舍去 Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 1 9 所以 （ 2 ）， 即 ， ， 依题意有 而函数 因为， 所以 1 4 . . 设函数有两个极值点， 且 （ I ） 求的取值范围， 并讨论的单调性； （ I I ） 证明：w . w . w . k . s . 5 . u . c . o . m 解答解答:

19、 （ I ） 令， 其对称轴为。 由题意知是方程的两个 均大于的不相等的实根， 其充要条件为， 得 当时，在内为增函数； 当时，在内为减函数； 当时，在内为增函数； （ I I ） 由（ I ）， 设， 则 当时，在单调递增； 当时，在单调递减。 Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 2 0 故 1 5 . 对于函数， 若存在x0RR ， 使f(x0) x0成立， 则称x0为f(x) 的不动点如果函数f(x) 有且仅有两个不动点 0和 2 ( ) 试求b、c满足的关系式； ( ) 若c2时， 各项不为零的数列an 满足 4Snf( ) 1 ， 求证：； ( ) 设bn，Tn为数列bn

20、的前n项和， 求证：T2 0 0 91 l n 2 0 0 9 T2 0 0 8 ( ) 设 2分 ( ) c2b2， 由已知可得 2Snanan 2 ， 且an 1 当n 2时， 2Sn- 1an1an1 2 ， 得(anan1) (anan11 ) 0 ， anan1或anan11 ， 当n1时， 2a1a1a1 2 a11 ， 若anan1， 则a21与an 1矛盾anan11 ， ann 4分 要证待证不等式， 只要证， 即证， 只要证， 即证 考虑证不等式(x0 ) * * 6分 令g(x) xl n ( 1 x) ，h(x) l n (x1 ) (x0 ) Q群 6 7 5 2 6 0 0 0 5汇编 2 1 g(x) ，h (x) ， x0 ， g(x) 0 ，h(x) 0 ， g(x) 、h(x) 在( 0 , ) 上都是增函数， g(x) g( 0 ) 0 ，h(x) h( 0 ) 0 ， x0时， 令则* * 式成立， ， 9分 ( ) 由( ) 知bn， 则Tn 在中， 令n1 ， 2 ， 3 ， ， 2 0 0 8 ， 并将各式相加， 得 ， 即T2 0 0 91 l n 2 0 0 9 T2 0 0 8 1 2分