外接球内切球的9大题型.pdf

1、关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） 外接球内切球的 9 大类题型梳理外接球内切球的 9 大类题型梳理 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接 点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图例如 ： 球内切于正方体，切 点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径 ； 球外接于正方体，正方体的顶点均 在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径 1. 球的表面积为 S=4R2 2. 球的体积为 V4 3R 3 多面体、旋转体与球接、切问题的求解策略 (1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问

2、题转化为平面问题 (2)利用平面几何知识寻找几何体元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确 定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解 (3)若球面上 4 点 P，A，B，C 构成的 3 条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PAa，PB b，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，用 4R 2 a 2 b 2 c 2 求解 一球的性质应用一球的性质应用 例题1例题1 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形， 为球的直径，且，则此三棱锥的体积为( ) ABC D 【解析】【解析】因为ABC 是边长为 6 的正三角形,所以A

3、BC 外接圆的半径 r=， 为球的直径，且，球半径 R=4， 所以点 O 到平面 ABC 的距离， SC 为球 O 的直径,点 S 到平面 ABC 的距离为 2d=4， 此棱锥的体积为，选 C. 巩固1巩固1 已知三棱锥中，三点在以为球心的球面上，若 SABCOABCV6 SCO8SC 4 36 312 316 3 2 3 SCO8SC O 2 222 42 32dRr 1113 26 6412 3 3322 ABC VSd V OABCABCO 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） ，且三棱锥的体积为，则球表面积为（ ） ABC D 【解析】【解析】由题意， .

4、又的外接圆的半径 因此球的半径 球的表面积：，选 C 巩固2巩固2 已知三棱锥 P-ABC 中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA面 ABC，则此三棱锥 的外接球的表面积为（ ） ABC D 【解析】【解析】底面中， ，的外接圆半径 面，三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积，选 C 二最值问题二最值问题 例题2例题2 已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上， ，则三棱锥体积的最大值为（ ） 2ABBC120ABCOABC3O 32 3 165264 2ABBC ABC 1 120=|sin3 2 ABCSABBCABC ， 1 33 3 O ABCABC VShh ABC 2 2

5、2sin2sin30o AB r C O 22 2313R 2 452SR 3 163264128 ABCV2ABAC6BC 1 cos 2 BAC 3 sin 2 BAC ABCV 16 2 3 23 2 r PA QABC 2 2 222 2 3216 2 PA Rr PABC 2 464SR PABC 5 3 1AB 3BC 2AC PABC 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） ABC D 【解析】【解析】如图，设球心为，高中数学资料共享群（群号：734924357） 由，可得为直角三角形， 斜边的中点为球小圆的圆心，接，则平面，由， 可得， 故三棱锥最大体

6、积为， 选 巩固1巩固1 在三棱锥中，底面，是线段 上一点，且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ） ABC D 【解析】【解析】将三棱锥补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球， 记三角形的中心为，设球的半径为， 则球心到平面的距离为，即， 连接，则，. 3 2 13 5 3 18 O 1AB 3BC 2AC ABC AC OOOOAOO ABC 5 3 OA 1O A 4 3 OO PABC 113453 () 332332 ABC SO P A PABCPA ABC,6,8ABAC ABACD AC3ADD

7、CPABCODO 16O 7286112128 PABCO ABC 1 O R 2PAx OABC x 1 OOx 1 O A 1 5O A 22 25Rx 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） 在中，取的中点为，连接， 则， 所以.在中， 由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小， 设此时截面圆的半径为，高中数学资料共享群（群号：734924357） 则， 所以最小截面圆的面积为， 当截面过球心时，截面面积最大为， 所以， 球的表面积为. 选 C. 巩固2巩固2 已知的三个顶点落在半径为的球的表面上，三角形有一个角为且其 对边长为 3，球心到所在的平面的距离恰好

8、等于半径的一半，点为球面上任 意一点，则三棱锥的体积的最大值为（ ） ABC D 【解析】【解析】设外接圆的圆心为，则平面，所以 设外接圆的半径为， 由正弦定理可得：，解得： ABCVACE 11 ,O D O E 1 1 3 2 O EAB 1 2 4 DEAC 1 13O D 1 Rt OO DV 2 13ODx OD r 22222 251312rRODxx 12 2 R 2 1216R 2 28R 2 112R ABCRO 3 OABCRP PABC 8 3 3 7 3 3 9 3 4 7 3 4 ABC 1 O 1 OO ABC 1 2 R OO ABCr3ABc 3 C 3 2 s

9、in 3 r 3r 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） 由球的截面圆性质可得：，解得： 所以点到平面的距离的最大值为：. 在中，由余弦定理可得： 当且仅当时，等号成立，所以.高中数学资料共享群（群号：734924357） 所以，当且仅当时，等号成立. 当三棱锥的底面面积最大，高最大时，其体积最大. 所以三棱锥的体积的最大值为 选 C 三球直径灵活应用三球直径灵活应用 例题3例题3 已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为 的正三角 形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ） ABC D 【解析】【解析】作出图形，设球心为 O，过 ABC 三点的小圆的圆心为 O

10、1，则 OO1平面 ABC， 延长 CO1交球于点 D，则 SD平面 ABC CO1=， 2 222 1 3 2 R ROOr 2R PABC 1 3ROO ABC 22222 32cos2ababCababababab 3ab max9ab 19 3 sin 234 ABC Sab = = 3ab PABC PABC 19 39 3 3 344 P ABC V SABCOABC1 SCO2SC 2 6 3 6 2 3 2 2 233 323 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） ，高 SD=2OO1=， ABC 是边长为 1 的正三角形，高中数学资料共享群（群号：

11、734924357） SABC=， 四球与其它几何体的综合四球与其它几何体的综合 例题4例题4 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容 器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则 球的体积为（ ） ABC D 【解析】【解析】设球的半径为cm，根据已知条件知 正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为 4cm，球心到截面圆的距离为cm 所以由，得 所以球的体积为 选 A 巩固1巩固1 四面体中，已知，且两两相互垂直，在 该四面体表面上与点距离为的点形成一条曲线，则这条曲线的长度是( ) ABC D 1 16 1 33

12、 OO 2 6 3 3 4 132 62 3436 SABC V 三棱锥 3 500 cm 3 3 866 cm 3 3 1372 cm 3 3 2048 cm 3 R 2R 2 22 42RR5R 333 44500 5cm 333 VR ABCD1DADBDC DADBDC、 A 2 3 3 3 3 3 2 5 3 6 3 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） 【解析】【解析】在四面体表面上与点距离为的点形成一条曲线 曲线分别与交于 ，同理， ， . 选 B. 五球定义的灵活应用五球定义的灵活应用 例题5例题5 如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面，分别为 棱，上

13、一点，已知，且平面，四面 体的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A 2 3 3 ,AB BD AC CD,E H F G 13 ,cos 22 3 3 AD Rt ADHDAH AH 13 , 623 DAHDHAH 4612 HAE 12 GAF 2 33 12318 FGHE 2 32 333 , 339236 EFGH EFFGGHHE 32 333 2 18962 EABCDDE ABCDFG DEAB3CDDE4BC 1DF FGBCE ADFGOO 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） ABC D 【解析】【解析】在棱 CD 上取一点 H,使

14、得 HD=1 平面 BCE 又平面 BCE，平面平面 BCE ， 又平面平面 ABCD=GH，平面平面 ABCD=BC, = HD=1, 故四面体可以补成一个长方体，且长，宽，高分别为 4，1，1 所以球的表面积为选 C 巩固1巩固1 如图所示，在三棱锥中，点在平面 内的投影恰好落在上，且，则三棱锥外接球的表 面积为（ ） 12161820 /CDDEFH CEFHQ，则 / /FGFGFHF，/ /FGH FGH BCE /BC GH，AG ADFG O 222 2 114 4 ()18 . 2 PABCABBC3AB 2BC P ABCDAB1AD 2PD PABC 关注公众号品数学 高中

15、数学资料共享群（群号：734924357） ABC D 【解析】【解析】由已知可知平面，平面平面， 又因为，平面，可构造直三棱柱， 直三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球， 且球心为直三棱柱上下底面三角形外接圆圆心连线的中点. 在中，由正弦定理可求得外接圆半径为， 外接球半径为， 三棱锥外接球的表面积为，选 D. 六多面体放球中的解题策略六多面体放球中的解题策略 例题6例题6 已知二面角 PABC 的大小为 120，且PABABC90，ABAP，AB+BC 6若点 P，A，B，C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（ ） 9101214 PD ABC PAB ABC ABBCBCPABPA

16、BMNC PABMNCPABC O PAB 510 2 2sin 4 2 1014 1 22 PABC 2 14 414 2 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） A45BCD 【解析】【解析】设 ABx， （0 x6） ，则， 由题意知三棱锥外接球的球心是过PAB 和ABC 的外心 E，H， 且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点 O， OB 为三棱锥外接球半径，取 AB 的中点为 G，如图， 由条件知 在EGH 中，由余弦定理得 EGH 的外接圆直径， 当时，OB2的最小值为， 该球的表面积的最小值为. 选 B 巩固1巩固1 等腰三角形的腰，将它沿高翻折，使

17、二面角 成，此时四面体外接球的体积为（ ） ABC D 288 7 144 7 72 7 6BCx ,3, 222 xxx EGGHGB 22 2 2 23 323cos9 2222342 xxxxx EHx 2 23 9 2 423 sin 3 EHx OGx 22 2 222 4371272 9 34221277 xx OBOGGBxx 12 7 x 72 7 2 288 4 7 OB ABC5ABAC6BC AD BADC60ABCD 728 19 19 6 28 7 3 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） 【解析】【解析】由题意，设所在的小圆为，半径为，

18、又因为二面角为， 即， 所以为边长为的等边三角形， 又正弦定理可得， 即， 设球的半径为，且， 在直角中， 所以， 所以球的体积为， 选 D 巩固2巩固2 在三棱锥中，二面角 的余弦值是，若都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） ABC D BCD 1 Or BADC 0 60 0 60BDC BCD3 0 3 22 3 sin60 r 2 3BE R4AD ADE 2 2222 244(2 3)28RADDER 7R 33 4428 7 ( 7) 333 VR SABCABBC2ABBC 2 2SASC SACB 3 3 SABC， ， ， 681218 关注公众号品数学 高中数学资料共享群

19、（群号：734924357） 【解析】【解析】取的中点，连接. 因为，所以， 可得即为二面角的平面角，故. 在直角中，同理可得， 由余弦定理得 解得. 在中， 所以为直角三角形， 同理可得为直角三角形，取中点， 则，在与中， 所以点为该球的球心，半径为，所以球的表面积为. 选 C 巩固3巩固3 已知三棱锥中， 平面平面 ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） ABC D 【解析】【解析】如图， ACDSDBD， SASCABBC，SDACBDAC， SDBSAC B- 3 cos 3 SDB SDC 22 6SDSCCD2BD 222 3 2cos26226() 3 SBBDSDBD SDBDS

20、122 3SB SCBV 2222 84( 12)SCCBSB SCBV SABVSBE 3SEEBRtSCBRt SABV 3 2 SB EA 3 2 EC SB E3 2 4( 3)12S SABC2 3ABACBCSBSCSBC ABC 8121618 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） 取的中点，连接，则， 又平面平面，平面平面，平面， 所以面，又平面， 所以， 在上取一点，使得，则为球心， 设球的半径为， 因为， 所以为直角三角形， 又为的中点， 所以，又， 又在中，即， 解得. 所以外接球表面积为. 选 C. 巩固4巩固4表面积为的球面上有四点，且是边

21、长为的等边三角形，若平 面平面，则三棱锥体积的最大值是 BCDADSDADBC SBC ABCSBC IABCADADABC ADSBCSD SBC ADSD ADOOAOSO R SBSC SBC DBC 1 3 2 SDBC 3 2 33 2 AD Rt SOD 222 SODODS 2 2 2 3+3RR 2R 2 416SR 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） 【解析】【解析】， 故当 到面的距离最大时，三棱锥的体积最大， 由图可知即当， 为中点时，三棱锥的体积最大， 作，面，连接，由，得， 由于，得，故， 故， ， 故答案为 七球的截面问题七球的截面问题

22、 例题7例题7 如图，正四面体 ABCD 的棱长为 a，点 E、F 分别是棱 BD、BC 的中点，则平面 AEF 截该正四面体的内切球所得截面的面积为_. 【解析】【解析】根据题意知,平面 AEF 截该正四面体的内切球所得截面一定是圆，设圆心为 P，内 切球的球心为 O，作平面,则为底面三角形的中心 在等边三角形中, AN BCDN BCD 233 323 BNaa 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） 在中,由勾股定理知, 由图可知,为四面体外接球的半径,设 在中,由勾股定理可得,解得 所以正四面体 ABCD 的内切球半径为, 因为 OPAM，,所以，又因为 由

23、AM2NM2+AN2可得 AM，即,解得 OP 平面 AEF 截该正四面体的内切球所得截面圆半径 r1 平面 AEF 截该正四面体的内切球所得截面的面积为 巩固1巩固1 已知三棱锥的所有顶点在球的球面上，平面，是 等腰直角三角形，是的中点，过点作球的截面，则截面 面积的最小值是_. 【解析】【解析】点是的外心，过点作平面使 是外接球球心，半径设为， 在直角梯形中，得 过点作球的截面 Rt ABN 2 222 36 33 a ANABBNaa AOAOBOR Rt BON 22 2 36 33 RaaR 6 4 Ra r 666 3412 ONANOAaaa ANMNAOPAMN 1133 66

24、212 MNBHaa 11 4 a OPAO MNAM 6 4 311 124 a OP aa 18 11 12 a 22 33 a rOP 2 2 () 3333 aa SABCOSAABCABC 2SAABACDBCDO DRt ABCDDO ABC 1 1 2 DOSA OROAOSR SADO2SA 1OD 2AD 3R DO 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） 当截面时，截面面积最小，此时截面圆的半径为 截面面积的最小值是 八内切球问题八内切球问题 例题8例题8 图（1）为棱长为 1 的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三 个面相切，则两

25、球半径之和为_. 【解析】【解析】如图（2） 作出正方体的体对角面，易知球心和在 AC 上 过点，分别作 AD，BC 的垂线，垂足分别为 E，F 设球的半径为 r，球的半径为 R 由，得， ， OD 22 2ROD 2 1 O 2 O 1 O 2 O 1 O 2 O 1AB 3AC 1 3AOr 2 3O CR 3()3rRrR 333 231 Rr 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） 九翻折问题与球九翻折问题与球 例题9例题9 在平行四边形中，且，以为折痕， 将折起，使点到达点处，且满足，则三棱锥的外接球的表 面积为_. 【解析】【解析】解：在中，且 由余弦定理

26、，得 即：，解得： 在四面体中， 三组对棱长相等，可将四面体放在长方体中 设长方体的相邻三棱长分别为，设外接球半径为 则， 则，即，所以 所以，四面体外接球的表面积为： ABCD 2 2AB 3BC 2 cos 3 A BD BDCVCEAEADEABD ABD2 2AB 3BC 2 cos 3 A 222 2cosBDABADAB ADA 2 22 2 2 232 2 239 3 BD 3BD ABED3AEBD3ADBE2 2ABED ABED xyz R 22 9xy 22 9yz 22 8zx 222 13xyz213R 13 2 R EABD 2 13 4413 4 R 关注公众号品

27、数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） 巩固1巩固1 在矩形中，为的中点， 将和分别沿， 翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面 积为_. 【解析】【解析】由题意可知， 所以可得面， 设外接圆的半径为， 由正弦定理可得，即， 设三棱锥外接球的半径， 因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点， 则， 所以外接球的表面积为. 巩固2巩固2 在平面五边形中,且 .将五边形沿对角线折起,使平面与平面所成的二面 角为,则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是_. 【解析】【解析】由题意知,是正三角形,是矩形 设的中心为,矩形的中心为 过作垂直于平面的直线,过

28、作垂直于平面的直线 由球的性质可知,直线与的交点为几何体的外接球的球心 取的中点 F,连接 ABCD4BCMBCABMVDCMAM DMBCP150APDMPAD MPPAMPPDPDPAP， PM PAD ADPr AD 2 sinAPD r 4 2 sin150 r 4r MPADR 2 22 PM 1 1617 2 Rr 2 468SR ABCDE 60A 6 3ABAEBCCDDECD 6BCDEABCDEBEABEBCDE 120BE ABEBCDE ABE 1 OBCDE 2 O 1 OABE 1 l 2 OBCDE 2 l 1 l 2 lOABCDE BE 12 ,O F O F

29、 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） 易得, 连接,显然与全等,从而, 连接,则为所求几何体外接球的半径,又, 则, 故所得几何体外接球的表面积为. 关注公众号“品数学” ，下载精品资料 【精品试卷】 免费下载高一上学期月考试卷 80 套，word 版! 免费下载高二上学期月考试卷 80 套，word 版! 【精品试卷】2021 届 9 月份全国各地高三模拟试卷合集（80 套） 【精品试卷】2021 届 10 月份全国各地高三模拟试卷合集（80 套） 【精品试卷】2021 届 11 月份全国各地高三模拟试卷合集（80 套） 【精品试卷】2021 届 12 月份全国

30、各地高三模拟试卷合集（80 套） 【精品试卷】2021 届 1 月份全国各地高三模拟试卷合集（80 套） 【精品试卷】2021 届 2 月份全国各地高三模拟试卷合集（80 套） 【精品试卷】2021 届 3 月份全国各地高三模拟试卷合集（80 套） 历年全国数学联赛试题分类汇编（word 版） 1 31 6 33 23 O F 2 1 63 2 O F 12 120O FO OF 1 OFOV 2 OFOV 1 60O FO 1 3 3OO OAOA 1 32 6 36 23 O A 222 11 273663OAOOO A 2 4252SOA 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：73

31、4924357） 初高中数学衔接教材，纯 word 版，含课时作业及答案 初高中数学衔接测试卷（word 版，共 10 套） 高中数学分层专题练习，共 55 讲，Word 版，可打印，直接使用 圆锥曲线的最值问题常见类型及解法 最全函数零点问题处理(74 页，Word 版) 高中数学不等式证明方法全归纳（word 版，可下载打印） 高中数学必修 1-5 各单元测试卷 32 套（word 版，可直接打印使用） 【精品试卷】高二下学期数学月考、期中试卷 100 套 【精品试卷】高一下学期数学月考、期中试卷 100 套 高三数学一轮复习单元试卷 56 套，word 版，免费下载 高三数学一轮复习课时

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35、础小练 期中考试来了！高二数学期中试卷 200 套（含新教材）Word 版 期中考试来了！高一数学期中试卷 200 套（含新教材）Word 版 高考数学 25 个必考点精编精讲（342 页） 高中数学双曲线大题 50 道！word 版，含答案解析 艺术生高考数学专题讲义 60 套（知识梳理+当堂练习+课后作业） 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） 2021 届新高考题型高三数学小题过关专练 38 套（Word，含答案解析） 高中数学学业水平考试模拟试卷 20 套（word 版） 最全函数零点问题处理(74 页，Word 版) 高考数学培优专题 55 讲，word，

36、可下载打印，直接使用！ 圆锥曲线大题全攻略（11 个专题，共 129 页） 2021 届高考数学一轮复习基础过关训练（60 套，word，有答案解析） 高三数学一轮复习单元训练卷（56 套，word 版） 【精编】2021 年高考数学尖子生专题培优（26 个专题，word） 【精品讲义】 1.高考数学解题 36 个大招！ 2.高中数学求最值的 24 种方法 3.9 个技巧解决基本不等式问题 4.导数解题中常用的 13 条结论 5.高三数学数列最值得做的 12 类题 6.二项式定理的十种题型及解法 7.二项式定理中展开式系数的六种类型 8.排列组合的 21 种经典题型及解法 关注公众号品数学 高

37、中数学资料共享群（群号：734924357） 9.圆锥曲线基础通关 18 题 10.题型归纳：十招教你解决圆锥曲线问题 11.23 个求极值与最值的专题 12.导数压轴题的套路都这里！共 11 个专题 13.36 个导数与三角函数交汇试题 14.极值点还能往哪偏？（7 个大招讲透极值点偏移） 15.以圆锥曲线为背景的取值范围问题 16.以三角函数为背景的取值范围问题 17.导数大题的常用找点技巧和常见模型 18.一题 50 问：看三角函数“一题多问” ，多角度研究命题 19.“一题多解”经典题型汇编（word 版） 20.导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 21.题型归纳： 极坐标与参数方程 2

38、2.题型归纳：函数定义域与值域 23.导数压轴题题型全归纳！有例题、有答案 24.空间角三类型：线线角、线面角、二面角 25.二面角的平面角的题型归纳与方法 26.经典分享：圆锥曲线题型和方法总结 27.专题讲义：函数图象的切线问题 28.精品讲义：数列求和的方法（例题+练习） 29.高中数列综合讲义（知识点、解题方法和题型大全） 30.函数的奇偶性考点与题型归纳 31.数列通项公式的求法全归纳（例题+练习+课件） 32.圆锥曲线几何性质通关练习 33.函数中任意性和存在性问题 34.不等式恒成立、能成立、恰成立问题 35.高中立体几何学习障碍及解决策略 36.函数奇偶性的考点与题型归纳 37

39、.直线与圆锥曲线综合题的合理消参策略 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） 38.立体几何中的最值与动态问题 39.天堑变通途巧作辅助线解平面向量问题 40.高中数学比较大小的方法归纳，附有例题 41.圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 42.利用构造函数法解导数与数列不等式综合问题 43.探索高考新题型，挑战命题多选题三角函数多选题 30 题 44.常见递推数列通项的九种类型（归纳全面，附 word 下载） 45.高中数学最全的基础知识归纳！ （36 页，word 版） 46.构造函数，巧求参数范围 47.二阶导数的用法及零点尝试法 48.三次函数的基本题型归纳

40、49.利用构造函数法解导数与数列不等式综合问题 50.应用基本不等式的 八种变形技巧 51.高中函数性质的巧妙运用 52.圆锥曲线的最值问题常见类型及解法 53.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别 54.概率与统计解答题通关 30 题，word 版，含答案解析 55.极坐标与参数方程通关 150 题（含答案解析） 56.立体几何解答题通关 100 题，Word 版，含答案解析 57.圆锥曲线解答题通关 50 题，Word 版，含答案解析 58.简化解析几何运算的 5 个技巧 59.数列的综合讲义（知识点+方法+题型） （Word 版，共 74 页） 60.高中数学第一课怎么讲？（文档可下

41、载） 61.三角形中的最值（或范围）问题（例题+变式练习） 62.23 道经典题搞定圆锥曲线问题 63.精编：函数定义域与值域方法全归纳 64.高考数学解题 36 个大招，满分套路了解一下！ 65.专题讲义：函数的零点问题全归纳 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） 66.专题讲义：含参数函数不等式恒成立问题 67.“左右逢源”的导数与函数、不等式、三角、数列是如何结合的？ 68.构造对偶式的八种途径 69.含绝对值不等式的解法和题型归纳（含巩固练习） 70.平面向量中“”三点共线定理”的妙用 71.一题多变：一道求参数取值范围题的变式探究（例题+方法+变式） 72

42、.一题 30 问：一道 2020 年高考题的多角度命题（含答案解析） 73.一题 100 问：抛物线的多角度命题（含答案解析） 74.这 23 个不等式太经典了，记得收藏 75.不等式选讲知识梳理+题型归纳+强化训练 76.二面角大小的六种方法（归类总结分析） 77.导数压轴题题型汇总！附经典例题+答案（可下载） 78.一道简单的三角函数题的 12 种解法 79.导数压轴题题型汇总！附经典例题+答案（可下载） 80.【精品讲义】不等式恒成立、能成立、恰成立问题如何区别？ 81.高中数学常见题型解法归纳(共 45 讲，附 Word 下载） 82.突破 140 分培优辅导讲义 9 个专题，word

43、 版，免费下载 83.高中数学校本课程辅差讲义（word 版） 84.高中数学专题讲义 59 份，Word 版，可打印，直接使用 85.高中数学微专题讲义（100 个，word 版） 86.解析几何压轴大题专题突破（精选 49 个大题，有答案） 87.解析几何压轴小题专题突破（word,有答案） 88.【专题讲义】圆锥曲线与三角形的“四心” 89.【专题讲义】立体几何中的截面问题深度分析（word 版） 90.【专题讲义】与圆相关的解析几何综合问题 91.数学思想方法精讲 1 函数与方程思想 92.数学思想方法精讲 2 数形几何思想 93.数学思想方法精讲 3 分类与整合思想 94.数学思想方

44、法精讲 4 转化与化归思想 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（群号：734924357） 95.【专题讲义】立体几何动态问题 96.应用“三招五法” ，轻松破解含参零点问题 97.多元函数最值问题的 22 种处理方法 98.函数与导数中分类讨论如何确定“界点” 99.高中数学“一题多解”经典题型汇编（word 版） 100.高中数学两个经典不等式的应用 101.导数中构造函数的常见题型与方法归纳 102.导数全面讲义，11 个专题，共 243 页（可下载） 103.【题型归纳】不等式中最值问题的 9 种题型 104.专题讲义：高中数学三种探索性问题 105.专题讲义：高中数学图表信息类问题

45、 【新教材新高考】 【新高考题型】解答题开放性问题三角函数 【新高考题型】解答题开放性问题数列 【新高考题型】多选题单元练习（16 个专题，含解析） 【新教材学案】高一数学必修第一册 【新教材学案】高一数学必修第二册 新教材选修第一册全套教学精美 PPT（共 739 页） 新教材必修第一册全套教学精美 PPT（共 55 讲） 新教材高中数学必修第一册全套教学设计（Word 版） 2021 新高考新题型数学多选题专练（10 套） 【新高考题型】 “一题两空” （试题精选 100 道） 新高考题型：数列的结构不良题型归纳（例题+练习） 高中数学资料共享群 1 QQ：284110736 高中数学资料共享群 2 QQ：734924357 更多精品资料下载 https:/