圆锥曲线难题集锦(共75题).doc

1、圆锥曲线难题集锦 徐荣先汇编 1. 如图所示，分别为椭圆：（）的左、右两个焦点， ， 为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为 （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，两点，求的 面积 2. 已知椭圆：的离心率为，过左焦点且倾斜角为的 直线被椭圆截得的弦长为 （1）求椭圆的方程； （2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作的垂线，垂 足为，求点的轨迹方程 ） 3. 已知椭圆的离心率为，点在上 （1）求的方程； （2）直线不过原点且不平行于坐标轴， 与有两个交点， ，线段 的中点为证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值 ； 4. 已知的顶点，在椭圆上，点在直线：上

2、， 且 （1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积； （2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程 5. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个长轴顶点为，它的两个短轴顶点和焦点 所组成的四边形为正方形，直线与轴交于点，与椭圆交于异于椭圆顶点 的两点， ，且 （1）求椭圆的方程； （2）求的取值范围 ￥ 6. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为，且位于轴 上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为，的 中点为 （1）求抛物线的方程； （2）若过作，垂足为，求点的坐标 ： 7. 已知圆过定点， 且与直线相切， 圆心的轨迹为， 曲线与 直线相交于，两点 （1）求曲线的方程； （2）当的面积等

3、于时，求的值 【 8. 已知直线与椭圆相交于两个不同的点， 记与轴的交点为 （1）若，且，求实数的值； （2）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程 【 9. 如图，设抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等 于 （1）求的值； （2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与 垂直的直线交于点，与轴交于点求的横坐标的取值范围 ? 10. 已知点在椭圆上， 且点到两焦点 的距离之和为 （1）求椭圆的方程； （2） 若斜率为的直线与椭圆交于，两点， 以为底作等腰三角形， 顶点为，求的面积 【 11. 已知椭圆的离心率为，且过点 （1）求椭圆的方程； （2）若，是椭圆上的两个动点，且使的角平

4、分线总垂直于轴， 试判断直线的斜率是否为定值若是，求出该值；若不是，说明理由 42.如图， 椭圆 C： 22 22 +1 xy ab (ab0)的离心率为 1 2 ， 其左焦点到点P(2， 1)的距离为10 不 过原点O的直线l与 C 相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分 ()求椭圆 C 的方程； () 求ABP的面积取最大时直线l的方程 ； l y G M N E x l ( 43.设A是单位圆 22 1xy上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x 轴的交点，点M在直线l上，且满足|(0,1)DMm DAmm且. 当点A在圆上运动时， 记点M的轨迹为曲线C （）求曲线C

5、的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴 上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H. 是否存在m，使得对任意的 0k ，都有PQPH若存在，求m的值；若不存在，请说明理由. 44. . / 45. 已知动直线l与椭圆 C: 22 1 32 xy 交于 P 11 ,x y、Q 22 ,xy两不同点，且OPQ 的 面积 OPQ S= 6 2 ,其中 O 为坐标原点. （）证明 22 12 xx和 22 12 yy均为定值; （）设线段 PQ 的中点为 M，求| |OMPQ的最大值； （） 椭圆 C 上是否存在点

6、 D,E,G， 使得 6 2 ODEODGOEG SSS 若存在， 判断DEG 的形状；若不存在，请说明理由. % 46.如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O，长轴左、右端点 M，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN，且 C1，C2 的离心率都为 e，直线 lMN，l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按 纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D. （I）设 1 2 e ，求BC与AD的比值； （II）当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由 47. 平面内与两定点 12 (,0),( ,0)(0)AaA aa连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹，加

7、 上 A1、A2两点所在所面的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线. ()求曲线 C 的方程，并讨论 C 的形状与 m 的位置关系； ()当 m=-1 时，对应的曲线为 C1：对给定的( 1,0)(0,)m ，对应的曲线为 C2， ； 设 F1、F2是 C2的两个焦点，试问：在 C1上，是否存在点 N，使得F1NF2的面 积 2 Sm a，若存在，求 12 tan F NF的值；若不存在，请说明理由. : 48.已知一条曲线 C 在 y 轴右边，每一点到点 F（1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. ()求曲线 C 的方程； （）是否存在正数 m，对于过点 M（m，0）且与曲线 C 有两

8、个交点 A,B 的任一直线，都有 0FA FB 若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。 49.在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆1 59 22 yx 的左、右顶点为 A、B，右焦点 为 F。设过点 T（mt,）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M),( 11 yx、),( 22 yxN，其中 m0,0, 0 21 yy。 （1）设动点 P 满足4 22 PBPF,求点 P 的轨迹； （2）设 3 1 , 2 21 xx，求点 T 的坐标； （3）设9t,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关） 。 | 50 以知椭圆 22 22 1(0) xy a

9、b ab 的两个焦点分别为 12 (,0)( ,0)(0)FcF cc和，过点 2 (,0) a E c 的直线与椭圆相交与,A B两点，且 1212 / /,2F AF B F AF B。 （1）求椭圆的离心率； （2）求直线 AB 的斜率； （3）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 2 F B上有一点( , )(0)H m n m 在 1 AFC的外接圆上，求 n m 的值 / 51.设,A B分别是直线 2 5 5 yx和 2 5 5 yx 上的两个动点， 并且20 AB， 动点P 满足 OBOAOP，记动点P的轨迹为C。 （1）求曲线C的方程； （2）若点D的坐标为(0,16)

10、，,M N是曲线C上的两个动点，并且 DNDM，求实数 的取值范围； （3）,M N是曲线C上的任意两点，并且直线MN不与y轴垂直，线段MN的中垂线l交 y轴于点 0 (0,)Ey，求 0 y的取值范围。 ！ 52.如图，已知椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，A、B为椭圆的左右顶 点，焦点到短轴端点的距离为 2，P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，且直线BQ的斜 率等于直线AP斜率的 2 倍 （）求证：直线BP与直线BQ的斜率乘积为定值； （）求三角形APQ的面积S的最大值 53.已知椭圆 E： 2 22 1 x ab 2 y （ab0）的离心率 e 2 2

11、 ，左、右焦点分别为 F1、F2，点 P （2,3） ，点 F2在线段 PF1的中垂线上 （1）求椭圆 E 的方程； （2）设l1，l2是过点 G（ 3 2 ，0）且互相垂直的两条直线，l1交 E 于 A， B 两点，l2交 E 于 C，D 两点，求l1的斜率 k 的取值范围； （3）在（2）的条件下，设 AB，CD 的中点分别为 M，N，试问直线 MN 是否恒过定点 若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由。 % 54.已知圆 E：x 2+（y ） 2= 经过椭圆 C：+=1（ab0）的左右焦点 F1，F2，且 与椭圆 C 在第一象限的交点为 A， 且 F1， E， A 三点共线， 直线

12、 l 交椭圆 C 于 M， N 两点， 且= （0） （1）求椭圆 C 的方程； （2）当三角形 AMN 的面积取得最大值时，求直线 l 的方程 ( 55.已知：一动圆过 (1,0)B 且与圆 A: 22 2430(01)xyx 相切。 （1）证明动圆圆心 P 的轨迹是双曲线，并求其方程； （2）过点 B 作直线l交双曲线右支于M、N两点，是否存在的值，使得AMN成为 以ANM为直角的等腰三角形，若存在则求出的值，若不存在则说明理由。 56.已知椭圆 C 的离心率为 2 3 ， F1， F2分别为椭圆的左右焦点， P 为椭圆上任意一点， PF1F2 的周长为 4+23，直线 l：y=kx+m（

13、k0）与椭圆 C 相交于 A，B 两点 ? （）求椭圆 C 的标准方程； （）若直线 l 与圆 x 2+y2=1 相切，过椭圆 C 的右焦点 F 2作垂直于 x 轴的直线，与椭圆相交 于 M，N 两点，与线段 AB 相交于一点（与 A，B 不重合） 求四边形 MANB 面积的最大值及取 得最大值时直线 l 的方程； （）若|AB|=2，试判断直线 l 与圆 x 2+y2=1 的位置关系 # 57.如图已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，直线:1L xmy过椭圆 C 的 右焦点 F，且交椭圆 C 于 A，B 两点，点 A，F，B 在直线 2 :G xa上的

14、射影依次为 D，K， E。 （1）求椭圆 C 的方程； （2）试探索当m变化时，直线 AE 是否经过一定点 N 若是求出 N 的坐标并给予证明； 否则说明理由。 （3）设梯形 ABED 的面积为 1, SAOB的面积为 2 S，求 1 2 S S 最小值。 58.已知椭圆E： 22 1 84 xy 的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好 经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点. （1）求圆C的方程； （2）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦 长； （3）在平面上是否存在一点P，使得 1 2 GF GP 若存在，求出点P坐标；若不存在，请

15、说 明理由. 59.已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线 x 2=4 y 的焦点 （I）求椭圆 C 的方程； （）直线 x=2 与椭圆交于 P，Q 两点，P 点位于第一象限，A，B 是椭圆上位于直线 x=2 两 侧的动点 （i）若直线 AB 的斜率为 ，求四边形 APBQ 面积的最大值； （ii）当点 A，B 运动时，满足APQ=BPQ，问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由 60.如图，直线: l ykxb与抛物线 2 2xpy（常数0p ）相交于不同的两点 11 ( ,)A xy、 22 (,)B xy，且 21 xxh（h为定值） ，线段A

16、B的中点为D，与直线 lykxb：平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个 公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点） （1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴； （2）求CAB的面积，证明CAB的面积与k、b无关，只与h有关； （3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平 行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了CEA、CFB的面积，由此小张求出了 直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗请你说出理由 , / 61.如图，已知直线 L：)0( 1:1 2 2 2 2 ba b y a x Cmyx过椭

17、圆的右焦点 F，且交椭 圆 C 于 A、B 两点，点 A、B 在直线 2 :G xa上的射影依次为点 D、E。 （1）若抛物线yx34 2 的焦点为椭圆 C 的上顶点，求椭圆 C 的方程； A P Q Ox y （2） （理）连接 AE、BD，试探索当 m 变化时，直线 AE、BD 是否相交于一定点 N 若交于定点 N，请求出 N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由。 （文）若)0 , 2 1 ( 2 a N为 x 轴上一点,求证:ANNE ; 62.已知圆, 8) 1( : 22 yxC定点 A（1，0） ，M 为圆上一动点，点 P 在 AM 上，点 N 在 CM 上，且满足0,2AMNPA

18、PAM，点 N 的轨迹为曲线 E。 （1）求曲线 E 的方程； 】 （2）若过定点 F（0，2）的直线交曲线 E 于不同的两点 G、H（点 G 在点 F、H 之间） ，且满 足求,FHFG 的取值范围。 63.设椭圆 C：)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点为 F，上顶点为 A，过点 A 作垂直于 AF 的直 线交椭圆 C 于另外一点 P，交x轴正半轴于点 Q， 且PQAP 5 8 求椭圆 C 的离心率； 若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l：053yx相切，求椭圆 C 的方程. ? （ 64.设椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 e=

19、2 2 （1）椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2、A 是椭圆上的一点，且点 A 到此两焦点的距离之 和为 4,求椭圆的方程. （2）求 b 为何值时，过圆 x 2+y2=t2上一点 M（2， 2）处的切线交椭圆于 Q1、Q2两点， 而且 OQ1OQ2 65.已知曲线c上任意一点 P 到两个定点 F1(-3，0)和 F2(3，0)的距离之和为 4 （1）求曲线c的方程； （2）设过(0，-2)的直线l与曲线c交于 C、D 两点，且OODOC(0 为坐标原点） ，求直 线l的方程 66.已知椭圆 2 2 2 1(01) y xb b 的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B过F、 B、C作

20、P，其中圆心P的坐标为（m，n） （）当mn0 时，求椭圆离心率的范围； （）直线AB与P能否相切证明你的结论 : 67.有如下结论： “圆 222 ryx上一点),( 00 yxP处的切线方程为 2 00 ryyyx” ，类 比 也 有 结 论 ：“ 椭 圆),()0( 1 00 2 2 2 2 yxPba b y a x 上一点处 的 切 线 方 程 为 1 2 0 2 0 b yy a xx ” ，过椭圆 C：1 4 2 2 y x 的右准线l上任意一点 M 引椭圆 C 的两条切线， 切点为 A、B. （1）求证：直线 AB 恒过一定点； （2）当点 M 在的纵坐标为 1 时，求ABM

21、的面积 【 68.已知点P（4，4） ，圆C： 22 ()5(3)xmym与椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 有一个 公共点A（3，1） ，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切 （）求m的值与椭圆E的方程； （）设Q为椭圆E上的一个动点，求AP AQ 的取值范围 、 69.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为)2,0(A，右焦点F与点( 2 ,2)B的距离 为2。 （1）求椭圆的方程； （2） 是否存在斜率0k的直线l：2 kxy，使直线l与椭圆相交于不同的两点NM , 满足|ANAM，若存在，求直线l的倾斜角；若不存在，说明理由。 ？ 70.椭圆方程为)0(

22、1 2 2 2 2 ba b y a x 的一个顶点为)2,0(A，离心率 3 6 e。 （1）求椭圆的方程； （ 2 ） 直 线l：2 kxy(0)k 与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点NM ,满 足 0,MNAPPNMP，求k。 71.已知椭圆 2 2 2 1(01) y xb b 的左焦点为 F， 左右顶点分别为 A,C 上顶点为 B， 过 F,B,C 三点作P，其中圆心 P 的坐标为( , )m n (1) 若椭圆的离心率 3 2 e ，求P的方程； （2）若P的圆心在直线0 xy上，求椭圆的方程 72.已知直线1: xyl与曲线:C1 2 2 2 2 b y a x )0,

23、0(ba交于不同的两点BA,，O为 坐标原点 （）若|OBOA ，求证：曲线C是一个圆； （）若OBOA ，当ba 且 2 10 , 2 6 a时，求曲线C的离心率e的取值范围 73.设椭圆)0(1 2 : 2 2 2 a y a x C的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，A是椭圆C上的一点，且 0 212 FFAF，坐标原点O到直线 1 AF的距离为| 3 1 1 OF （1）求椭圆C的方程； （2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点)0,1(P，较y轴于点M，若 QPMQ2，求直线l的方程 74.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点)0)(,( 000 xy

24、xP的 切线方程为axxaxyy)(2 000 为常数）. （I）求抛物线方程； （II）斜率为 1 k的直线 PA 与抛物线的另一交点为 A，斜率为 2 k的直线 PB 与抛物线的另 一交点为 B （A、 B 两点不同） ， 且满足MABMkk若),1, 0(0 12 ， 求证线段 PM 的中点在y轴上； （III）在（II）的条件下，当0, 1 1 k时，若 P 的坐标为（1，1） ，求PAB 为钝 角时点 A 的纵坐标的取值范围. 75.已知动点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上，且满足|AB|=2，点 P 在线段 AB 上，且 ).( 是不为零的常数tPBtAP 设点 P 的轨迹方程为 c。 （1）求点 P 的轨迹方程 C； （2）若 t=2，点 M、N 是 C 上关于原点对称的两个动点（M、N 不在坐标轴上） ，点 Q 坐标为),3 , 2 3 (求QMN 的面积 S 的最大值。