高中数学真题与经典题一题多解.doc
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1、函数篇函数篇 【试题【试题 1 1】 (2016 全国新课标 II 卷理 16)若直线ykxb是曲线ln2yx的切线,也 是曲线ln(1)yx的切线,b 【标准答案】1 ln2 解法一:解法一:设直线ykxb与曲线ln2yx和ln(1)yx切点分别是 11 ( ,ln2)xx 和 22 (,ln(1)xx 则切线分别为: 1 1 1 ln1yxx x , 2 2 22 1 ln1 11 x yxx xx 12 2 12 2 11 1 ln1ln1 1 xx x xx x 解得 1 1 2 x 2 1 2 x 解得 1 ln11 ln2bx 解法二:解法二:设直线 ykxb 与曲线 ln2yx
2、和 ln(1)yx 切点分别是 11 ( ,)x y 和 22 (,)xy 曲线 ln2yx 通过向量1,2平移得到曲线 ln1yx 2121 (,)(1,2)xx yy 两曲线公切线的斜率2k ,即 1 1 2 x ,所以 1 ln11 ln2 2 b 【试题【试题 2 2】 【20152015 新课标新课标 1212 题题】设函数( )(21) x f xexaxa,其中1a ,若存在唯一的 整数 0 x,使得 0 ()0f x,则a的取值范围是() A. 3 2 ,1) e B 33 , 24e ()C. 33 ,) 24e D. 3 ,1) 2e 解法一:解法一:由题意可知存在唯一的整
3、数 0 x使得 0 00 (21) x exaxa,设 ( )(21), ( ) x g xexh xaxa由( )(21) x g xex,可知( )g x在 1 (,) 2 上单调递减, 在 1 (,) 2 上单调递增,故 (0)(0) ( 1)( 1) hg hg 得 3 1 2 a e 解法二解法二:由题意( )0f x 可得(21)(1) x exa x 当1x 时,不成立; 当1x 时, (21) 1 x ex a x ,令 (21) ( ) 1 x ex g x x ,则 2 2 (23 ) ( ) (1) x exx g x x , 当 3 (1, ) 2 x时,( )g x单
4、调递减,当 3 ( ,) 2 x时,( )g x单调递增 所以 3 2 min 3 ( )( )4 2 g xge,即 3 2 4ae,与题目中的1a 矛盾,舍去。 当1x 时, (21) 1 x ex a x ,令 (21) ( ) 1 x ex g x x 同理可得:当(,0)x 时,( )g x单调递增,当(0,1)x时,( )g x单调递减 所以 max ( )(0)1g xg,即1a ,满足题意。 又因为存在唯一的整数 0 x,则 3 ( 1) 2 ag e 此时 3 ,1) 2 a e 综上所述,a的取值范围是 3 ,1) 2e 解法三解法三:根据选项,可以采取特殊值代入验证,从而
5、甄别出正确答案。 当0a 时,( )(21) x f xex,( )(21) x fxex,可知( )f x在 1 (,) 2 递减,在 1 (,) 2 递 增,又(0)10f , 1 ( 1)30fe ,不符合题意,故0a 不成立,排除答案 A、B. 当 3 4 a 时, 33 ( )(21) 44 x f xexx, 3 ( )(21) 4 x fxex,因为 3 ( )(21) 4 x fxex为 增函数,且 31 (0)10 44 f , 1 3 ( 1)0 4 fe ,所以存在( 1,0)t ,使得( )0ft , 则( )f x在(, ) t递减,在( ,)t 递增,又 3 (0)
6、10 4 f , 1 3 ( 1)30 2 fe , (1)0fe,易判断存在唯一的整数 0,使得(0)0f,故 3 4 a 成立,排除答案 C. 解法解法四:四:0 x 带入( )f x中可以得到(0)1fa,由题意可知1a ,所以(0)0f,满足题 目中存在唯一的整数,使得 0 ()0f x,所以只需要 (1)0 ( 1)0 f f 即可,得到 3 1 2 a e 【试题【试题 3 3】(20162016 年全国年全国卷文科第卷文科第 1212 题)题) 若函数 1 ( )sin2sin 3 f xxxax在,单调递增,则a的取值范围是() 11 11 .1,1.1,.,.1, 33 33
7、 ABCD 解法一:解法一:函数xaxxxfsin2sin 3 1 )(的导数为xaxxfcos2cos 3 2 1)( 由题意可得0)( xf恒成立, 即为0cos2cos 3 2 1xax 即有0coscos 3 4 3 5 2 xax 设) 11(costxt,即有att345 2 0, 当0t时,不等式显然成立; 当01t 时, 5 34at t , 由 t t 5 4 在 1 , 0(递增,可得1t时,取得最大值1, 可得13a,即 3 1 a; 当01t时, t ta 5 43, 由 5 4t t 在 1,0)递增,可得1t 时,取得最小值1, 可得13 a,即 3 1 a 综上可
8、得a的范围是 3 1 , 3 1 故选:C 解法二:解法二:函数xaxxxfsin2sin 3 1 )(的导数为xaxxfcos2cos 3 2 1)( 由题意可得0)( xf恒成立, 即为0cos2cos 3 2 1xax 即有0coscos 3 4 3 5 2 xax0, 设) 11(costxt,即有att345 2 0, 由于二次函数) 11(534)( 2 tatttg的开口方向向上, 因此只需要 0) 1( 0) 1 ( g g 解得,即 11 33 a,故选:C 解法三:解法三:应用结论“奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数” 由题可得,因为函数xaxxxfsin2si
9、n 3 1 )(的定义域为, 且)()(xfxf,所以)(xf是奇函数. 根据结论可得,)( xf是偶函数. 又因为函数xaxxxfsin2sin 3 1 )(在,单调递增 则0)( xf在,上恒成立 因而必须满足 3 1 00cos0cos 3 2 10)0( aaf 因而根据选项,只有C符合题意 故选C 【试题试题 6】 (2014 年全国课标 1 理科数学第 11 题) 已知函数( )f x= 32 31axx ,若( )f x 存在唯一的零点 0 x,且 0 x0,则a的取值范围为 A.(2,+)B.(-,-2)C.(1,+)D.(-,-1) 解法一解法一:求导得 2 3632fxax
10、xx ax,若0a ,则 2 31f xx ,不合题意,舍 去;若0a ,令 0fx解得0 x 或 2 x a 。 当0a 时, 易知 f x在 2 , a 上单调递减,在 2 ,0 a 上单调递增,在0,上单调递减, 结合 f x的图像,只需有 2 0f a ,解得2a 。 当0a 时,易知 f x在,0上单调递增,由120fa , 010f ,知 f x 在1,0上有零点,不合题意,舍去; 综上所述,a的取值范围为, 2 ,选 B。 解法二解法二:由题意知,方程 33 310axx 有唯一正根 0 x,显然0 x ,则 3 13 a xx ,令 1 0t x ,等价于方程 3 3att (
11、0t )有唯一正根,作出 3 3ytt (0t )的图像, 数形结合,a的取值范围为, 2 ,选 B。 解法三解法三:取3a , 32 331f xxx,检验知不合题意,排除 A,C;取 4 3 a , 32 4 31 3 f xxx ,检验知不合题意,排除 D,故选 B。 【试题【试题 7 7】 : (2015 江苏高考江苏高考 13) 已知函数 2 0,01 ln, 42,1 x f xx g x xx , 则方程 1f xg x实根的个数为 解法解法 1: : ( )( )1( )1lnf xg xg xx ,所以方程方程1| )()(|xgxf实根的个 数即为曲线( )yg x和曲线1
12、lnyx 的公共点个数之和。 曲线( )yg x和曲线y1ln x 显然有 2 个公共点, 又因为 (101ln1 (221ln2 g g ) ) , 所以曲线( )yg x和曲线y1ln x 也有2个公共点, 如图 2 所示 所以方程1| )()(|xgxf实根的个数为 4 个。 解法解法 2: : (1)当01x时,( )lnln , ( )0f xxx g x ,原方程即为 1 ln10 xx e ,所以当01x时,原方程有一个实根; (2)当12x时, 2 ( )ln , ( )2f xx g xx,原方程即为 2 ln21xx 令 2 1 ( )ln2(12),( )20F xxxx
13、F xx x , 所以( )(1,2F xx在上单调递减,得( )ln22,1)F x ,得 2 ln21xx只有一个实 根。 (3)当2x 时, 2 ( )ln , ( )6f xx g xx, 原方程即为 222 ln61ln7ln5xxxxorxx 。 令 2 ( )ln(2,)G xxxx在上单调递增,所以( )(ln24,)G x ,因此 22 ln7ln5xxorxx 各有一个实根。 综上,方程1| )()(|xgxf实根的个数为 4。 解法解法 3:首先去掉绝对值符号,有 2 2 0 均有关于 x 的一元三次函数值非负, 又(0)10f , 对应函数只能是如右图的图象,即要求01
14、a,且对应方程的第三根与前 面一元二次方程的正根是重根。将第三根 1 1 a x代入二次方程01 2 axx,解得满足 条件的 2 3 a(舍去 a=0) 。 赏析 1:几何对代数的辅助作用,代数对几何的确定作用。涉及函数方程思想,数形结 合思想,分类讨论思想。 赏析 2:函数与方程、化归与转化的数学思想,体现了 “多考点想,少考点算”的命 题理念。 【试题【试题 1 1】2015 年湖南高考文科第 14 题 【题目题目】若函数( )22 x f xb有两个零点,则实数b的取值范围是_. 【基本解法基本解法 1】由函数( )22 x f xb有两个零点,可得方程22 x b有两个解,则 函数2
15、2 x y 与函数yb的图像有两个交点,结合图像可得b的取值范围是(0,2). x o y 【基本解法基本解法 2】由函数( )22 x f xb有两个零点, 可知方程220 x b有两个相异的根. 原方程可转化为 22 (22)0 (0) x bb, 令2 (0) x tt,则方程可转化为 22 440(0,0)ttbtb. 要使该方程有两个相异的根,则b应满足如下条件 2 0, 04 040, 4 0, 2 b b 解得02b. 因此b的取值范围是(0,2). 【试题【试题 1 1】2015 年湖北文科第湖北文科第 1717 题:题:a为实数,函数 2 ( )f xxax在区间0,1上的最
16、 大值为( )g a,当a 时( )g a的值最小。 解法 1:当0a 时, 2 ( )f xx在0,1上的最大值为( )1g a ; 当0a 时, 2 ( )f xxax在0,1上单调递增,故( )(1)1g afa ,此时( )1g a ; 当0a 时, 2 ( )f xxax在(,0)上递减,(0,) 2 a 上递增,(, ) 2 a a上递减,( ,)a 上 递增。 (1) 、若1 2 a ,即2a 时,( )(1)11g afaa,此时( )1g a ; (2) 、若1 2 a a ,即12a时, 2 ( )( ) 24 aa g af,此时 1 ( )1 4 g a; (3) 、若
17、01a时, 2 ( )max( ),(1)max,1 24 aa g affa 。 当 2 1 4 a a ,即22 21a 时, 2 ( ) 4 a g a ,此时 1 32 2( ) 4 g a; 当 2 1 4 a a ,即022 2a 时,( )1g aa ,此时32 2( )1g a; 综上,( )32 2g a ,当且仅当22 2a 时取等号。 即当22 2a 时,( )g a的 值最小。 解法 2、因为函数( )yf x的图像与x轴交点为(0,0),( ,0)a,函数 2 ( )h xxax的图像 的对称轴为 2 a x ,所以当0a 或2a 时,( )f x在0,1上是增函数,
18、 ( )(1)1g aga。 当02a时, 2 ( )max(1),( )max 1, 24 aa g affa 。 综上, 2 1,2 22 ( ),2 222 4 1,2 a a a g aa aa 当2 22a 时,( )(2 22)32 2g ag; 当2 222a时,( )(2 22)32 2g ag; 当2a 时,( )(2)132 2g ag 。 所以,当2 22a 时,( )g a有最小值32 2。 解法 3:依题意 2 ( )max(1),( )max 1, 24 aa g affa 。 在同一坐标系下画出函数( )1g aa和 2 ( ) 4 a g a (图 2) 。 由
19、 2 1 4 a a ,得2 22a 。故当2 22a 时,即图像中的A点处,( )g a取最小值 32 2。 【试题【试题 1 1】 (2015 江苏江苏 13)已知函数|ln|)(xxf, 1, 2|4| 10 , 0 )( 2 xx x xg,则方程 1| )()(|xgxf实根的个数为 解法一:1| )()(|xgxf( )1lng xx ,所以方程方程1| )()(|xgxf实根的个 数即为曲线( )y1lnyg xx 和曲线的公共点个数之和. 曲线( )yg x和曲线y1ln x 显然有 2 个公共点, 又因为 1ln1 2ln2 g( )=0-1- g( )=-2-1- ,所以曲
20、线( )yg x和曲线y1ln x 也有 2 个公共点, 如图 2 所示 所以方程1| )()(|xgxf实根的个数为 4 个. 解法 2: (1)当01x时,( )lnln , ( )0f xxx g x ,原方程即为 1 ln10 xx e ,所以当01x时,原方程有一个实根; (2)当12x时, 2 ( )ln , ( )2f xx g xx,原方程即为 2 ln21xx 令 2 1 ( )ln2(12),( )20F xxxxF xx x , 所以( )(1,2F xx在上单调递减,得( )ln22,1)F x ,得 2 ln21xx只有一个实 根. (3)当2x 时, 2 ( )ln
21、 , ( )6f xx g xx, 原方程即为 222 ln61ln7ln5xxxxorxx . 令 2 ( )ln(2,)G xxxx在上单调递增,所以( )(ln24,)G x ,因此 22 ln7ln5xxorxx 各有一个实根. 综上,方程1| )()(|xgxf实根的个数为 4. 【试题【试题 1 1】已知函数 2 001 ln, 421 x f xx g x xx 则方程 1f xg x实根的个数为 【解析】首先去掉绝对值符号,有 2 2 1 ln01 212 ln1 62 oo x xx f xg xxx xx xx 2 2 ln01 ln212 ln62 xx f xg xxx
22、x xxx 故对 1f xg x,应该分 3 种情况讨论. (1)02 时, 2 ln61xx 22 ln7ln5xxxx或 x2,故前者有一解而后者无解. 综上,原方程实根的个数为 4. 【试【试题题 1 1】 2015 年陕西理 15 设曲线 x ey 在点1 , 0处的切线与曲线0 1 x x y上点P处 的切线垂直,则P的坐标为_. 解 法 1 : 因为 x ey , 所以 x ey , 所以 曲 线 x ey 在 点1 , 0处 的切 线 的斜 率 1 0 01 eyk x .设P的坐标为 00, y x0 0 x,则 0 0 1 x y ,因为 x y 1 ,所以 2 1 x y,
23、 故曲线 x y 1 在点P处的切线的斜率 2 0 2 1 0 x yk xx .因此1 21 kk, 所 以1 1 2 0 x ,即1 2 0 x,解得1 0 x.因为0 0 x,所以1 0 x,得1 0 y,故P点的 坐标是 1 , 1. 解法 2:易知曲线 x ey 在点1 , 0处的切线方程为1 xy,将反比例函数转换成等轴双 曲线,即将xy 当作x轴(原点不变,第一象限部分为正半轴) ,则曲线0 1 x x y转 换为02 22 xyx,切线1 xy转换为 2 2 y,与其垂直的直线的斜率不存在, 且要与双曲线02 22 xyx相切,符合条件的切线应为2x. 所以P在新坐标系下的坐标
24、为0 ,2,还原到原坐标系中的坐标为 1 , 1. 【试题【试题 1 1】2015 年北京理科第北京理科第 1818 题题已知函数 1 ( )ln 1 x f x x . ()求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程; ()求证:当(0,1)x时, 3 ( )2() 3 x f xx ()设实数k使得 3 ( )() 3 x f xk x对(0,1)x恒成立,求k的最大值. 解: () 2 12 ( )ln,1,1 ,( ),(0)2,(0)0 11 x f xxfxff xx , 所以切线方程为2yx. ()解法 1:当(0,1)x时, 1 ( )lnln(1)ln(1) 1 x
25、f xxx x 而 32323 2()()() 32323 xxxxx xxx 记( )ln(1)m xx, 23 ( ) 23 xx n xx 要证 3 ( )2() 3 x f xx,只需证明( )()( )()m xmxn xnx 记 23 ( )( )( )ln(1)() 23 xx M xm xn xxx,(0)0M 因为当( 1,1)x 时, 222 1 ( )(1)0 1212 xxx M xx xx 所以( )M x在( 1,1)上单调递增. 当( 1,0)x 时,( )(0)0M xM;当(0,1)x时,( )(0)0M xM. 当(0,1)x时,( )( )m xn x,(
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