搞定高中数学的15个绝招(1).docx
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1、1 / 240 搞定高中数学的搞定高中数学的 1515 个绝招个绝招 绝招绝招 0101 构造函数的通法构造函数的通法 绝招绝招 0202 破译函数中双变量问题破译函数中双变量问题 绝招绝招 0303 直击函数压轴题中零点问题直击函数压轴题中零点问题 绝招绝招 0404 解密三角函数之给值求值问题解密三角函数之给值求值问题 绝招绝招 0505 破译线性规划中含参问题破译线性规划中含参问题 绝招绝招 0606 解密数量积的问题解密数量积的问题 绝招绝招 0707 如何由数列前如何由数列前 n n 项和求数列通项项和求数列通项 绝招绝招 0808 破译空间中有关外接球的问题破译空间中有关外接球的问
2、题 绝招绝招 0909 如何求空间坐标系中非特殊点的坐标如何求空间坐标系中非特殊点的坐标 绝招绝招 1010 解密解析几何中乘积或比值问题解密解析几何中乘积或比值问题 绝招绝招 1111 破译解析几何中点差法通法破译解析几何中点差法通法 绝招绝招 1212 解密二项分布和超级几何分布的区别解密二项分布和超级几何分布的区别 绝招绝招 1313 解密二项式系数和及二项式展开项的系数和解密二项式系数和及二项式展开项的系数和 绝招绝招 1414 新背景下的函数、数列、概率问题新背景下的函数、数列、概率问题 绝招绝招 1515 破译绝对值不等式中的含参问题破译绝对值不等式中的含参问题 2 / 240 一
3、、单选题一、单选题 1设函数 f (x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数,f(1)0,当 x0 时,xf (x)f(x)0 成立的 x 的取值范围是() A. (,1)(0,1)B. (1,0)(1,) C. (,1)(1,0)D. (0,1)(1,) 【答案】A 考点:函数性质综合应用 2若定义在R上的函数 f x满足 01f ,其导函数 1fxk,则下列结论中一定错误的是( ) A. 11 f kk B. 11 1 f kk C. 11 11 f kk D. 1 11 k f kk 【答案】C 【解析】试题分析:令 g xf xkx,则 g0 xfxk,因此 1111 g001 1111
4、11 kk gfff kkkkkk ,所以选 C. 考点:利用导数研究不等式 【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造. 构 造辅助函数常根据导数法则进行:如 fxf x构造 x f x g x e , 0fxf x构造 3 / 240 x g xe f x, xfxf x构造 f x g x x , 0 xfxf x构造 g xxf x等 3设定义在(0,)上的函数 f(x)满足 xf(x)f(x)xlnx, 11 f ee ,则 f(x)() A. 有极大值,无极小值B. 有极小值,无极大值 C. 既有极大值,又有极小值D. 既无极大值,又
5、无极小值 【答案】D 点睛:根据导函数求原函数,常常需构造辅助函数,一般根据导数法则进行:如 fxf x构造 x f x g x e , fxf x构 造 x g xe f x, xfxf x构 造 f x g x x , xfxf x 构造 g xxf x等 4 设函数 f x在R上存在导函数 fx, 对于任意实数x, 都有 2 6f xxfx, 当,0 x 时, 21 12fxx 若 2 22129f mfmm,则m的取值范围为() A.1, B. 1 , 2 C. 2 , 3 D.2, 【答案】C 【解析】 22 330f xxfxx,设 2 3g xf xx, 则 0,g xgxg x
6、为奇函数, 又 1 6, 2 gxfxxg x 在,0 x 上 是 减 函 数 , 从 而 在R上 是 减 函 数 , 又 2 2212129f mfmmm, 等 价 于 22 232232f mmfmm , 即 22,22g mgmmm ,解得 2 3 m ,故选 C. 【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数求参数范围, 属于难题.联系已知条件和结论,构造辅 助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标 4 / 240 函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,准确构造出 符合题意的函数是解题的关
7、键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从 两方面着手:根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;若是选择题,可根据选项的共性归纳构造 恰当的函数. 5 设定义在 R 上的函数 yf x满足任意tR都有 1 2f t f t , 且0,4x时, fx fx x , 则2016 ,42017 ,22018fff的大小关系() A.22018201642017fffB.22018201642017fff C.42017220182016fffD.42017220182016fff 【答案】C 6 已 知 函 数 f x在0, 2 上 单 调 递 减 , fx为 其 导 函
8、数 , 若 对 任 意0, 2 x 都 有 tanf xfxx,则下列不等式一定成立的是 A.2 36 ff B. 6 426 ff C. 6 326 ff D.3 46 ff 【答案】D 5 / 240 点睛:本题考查函数的导数与函数单调性的关系,解题的关键是根据题意构造新函数 f x g x sinx ,并利 用导数分析 g x的单调性 7已知定义在R上的函数(f x),其导函数为 fx,若 3fxf x , 04f,则不等式 3 x f xe的解集是() A.,1B.1,C.0,D.,0 【答案】D 6 / 240 点睛:利用导数研究函数的单调性,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等
9、式综合中的一个难点, 解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式, 而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键. 8已知定义域为R的奇函数 yf x的导函数为 yfx,当0 x 时, 0 f x fx x ,若 11 22 af ,1bf , 11 lnln 22 cf ,则a,b,c的大小关系正确的是() A.abcB.cabC.bcaD.acb 【答案】D 【解析】设 h(x)=xf(x), h(x)=f(x)+xf(x), y=f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数, h(x)是定义在实数集 R 上的偶函数, 当
10、x0 时,h(x)=f(x)+xf(x)0, 此时函数 h(x)单调递增 a= 1 2 f( 1 2 )=h( 1 2 ),b=f(1)=f(1)=h(1), c=(ln 1 2 )f(ln 1 2 )=h(ln 1 2 )=h(ln2)=h(ln2), 又 1ln2 1 2 , bca 7 / 240 故答案为:D。 9设定义在 R 上的函数 f x,对任意的xR,都有f 1 xf 1 x , 且 f 20,当x1时, fxf x0,则不等式 f xln x 10的解集为 A.,00,1B.1,01, C.1, 1 D.1,00,1 【答案】A 点睛:本题主要考查导数、函数的性质,考查了转化
11、与化归思想、逻辑推理能力与计算能力. 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考 中,对导数的应用的考查都非常突出,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何 意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用. 10设函数 fx是奇函数 f x(xR)的导函数,当0 x 时, 1 lnx fxfx x ,则使得 2 10 xfx成立的x的取值范围是() A.1,00,1B.,
12、11, C.1,01,D., 10,1 【答案】D 【解析】设 lng xx f x,当0 x 时, 1 ln0gxf xxfx x , g x在0,上为减 函数,且 10g, 当0,1x时, 0g x , 2 ln0,0,10 xf xxf x; 8 / 240 当1,x时, 2 0,ln0,0,10g xxf xxf x, f x为其函数, 当1,0 x 时, 2 0,10f xxf x; 当, 1x 时, 2 0,10f xxf x. 综上所述:使得 2 10 xfx成立的x的取值范围是, 10,1 【点睛】构造函数,借助导数研究函数单调性,利用函数图像解不等式问题,是近年高考热点,怎样
13、构造 函数,主要看题目所提供的导数关系,常见的有x与 f x的积或商, 2 x与 f x的积或商, x e与 f x 的积或商,lnx与 f x的积或商等,主要看题目给的已知条件,借助导数关系说明导数的正负,进而判 断函数的单调性,再借助函数的奇偶性和特殊点,模拟函数图象,解不等式. 11设 fx为 f x的导函数,已知 2 1 ln ,x fxxf xx f e e 则下列结论正确的是() A. f x在0,上单调递增B. f x在0,上单调递减 C. f x在0,上有极大值D. f x在0,上有极小值 【答案】B 【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数证明函数的单调性,属于难题.联
14、系已知条件和结论,构 造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起 目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,准确构 造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往 9 / 240 往从两方面着手:根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;若是选择题,可根据选项的共性归纳 构造恰当的函数. 12已知定义在0,上的函数 f x,满足 0f x ; 1 3 2 fxfxfx(其中 fx是 f x的导函数,e是自然对数的底数),则 1 2 f f 的取值范围为 A.
15、 1 2 3 1 ,e e B. 1 3 2 e ,e C. 3 2 1 ,e e D. 1 e,3e 2 【答案】A 13已知 f x为R上的可导函数,且xR ,均有 2,fxf x,则有 A. 40344034 20170 ,20170efffef B. 40344034 20170 ,20170efffef C. 40344034 20170 ,20170efffef D. 40344034 20170 ,20170efffef 【答案】D 【解析】构造函数 22 2 ,20 xx fxfxfx g xgxfxfxgx ee 来 即 g x在R上单调递减,所以 40340 20170 2
16、0170 ff gg ee 4034 20170eff,同 10 / 240 理得 40340 20170 20170 ff gg ee 4034 20170fef 故选 D 点睛:本题主要考察了函数的单调性与导数的关系,其中构造函数 g(x),并讨论其单调性是关键. 二、填空题二、填空题 14已知函数 fx是函数 f x的导函数, 1ef,对任意实数x都有 20f xfx,则不等式 1 e e x x f x 的解集为_. 【答案】1, 点睛:本题考查用构造函数的方法解不等式,即通过构造合适的函数,利用函数的单调性求得不等式的解 集,解题时要注意常见的函数类型,如在本题中由于涉及到ex,故可
17、从以下两种情况入手解决:(1)对于 0( 0)fxf x ,可构造函数 x h xe f x;(2)对于 0( 0)fxf x,可构造函数 x fx h x e 15设 f(x)是在 R 上的奇函数,在 , 0上2220 xfxfx且20f , 则20 xfx 的解集为_. 【答案】(-1,0)(0,1) 11 / 240 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式, 属于难题. 联系已知条件和结 论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法 建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问
18、题变得明了, 准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函 数时往往从两方面着手:根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;若是选择题,可根据选项的共 性归纳构造恰当的函数. 16 f x是定义在R上的函数,其导函数为 fx,若 1f xfx, 12018f,则不等式 1 20171 x f xe (其中e为自然对数的底数)的解集为_ 【答案】,1 【解析】设 g(x)= 11xx ef xe , 则 g(x)= 1x e f(x)+ 1x e f(x)+ 1x e = 1x e f(x)f(x)+1, f(x)f(x)1,f(x)f(x)+10,
19、 g(x)2017= g(1), 得到 g(x)2017=g(1), g(x)g(1),得 xx2,都有 mg(x1)g(x2)x1f(x1)x2f(x2)恒成立,求实数 m 的取值范围. 【答案】(1) 1 0 2 xy;(2)答案见解析;(3)1,. 试题解析: (1)x0), 25 / 240 F(x)ln xx1,令 t(x)F(x)ln xx1, 则 t(x) 1, 令 t(x)0,解得 0 x1,令 t(x)1, 故 F(x)在(0,1)上递增,在(1,)上递减, 故 F(x)F(1)0, 故 F(x)在(0,)上递减; 点睛:构造函数的题型需要观察题目函数的关系,本题中第(3)问
20、将式子整理可得 x1x21 时,mg(x1) x1f(x1)mg(x2)x2f(x2)恒成立,则联想到构造函数 h(x)mg(x)xf(x)x2xln x,再结合单调性进行解题。 12已知函数 1 ln 2 a x f xx x . (1)若函数 f x在定义域内不单调,求实数a的取值范围; (2)若函数 f x在区间0,1内单调递增,求实数a的取值范围; (3)若 12 ,x xR且 12 xx,求证: 121212 lnln23xxxxxx. 【答案】(1) 8 3 a (2)3a (3)见解析 【解析】试题分析: (1)对函数求导有 2 2 434 2 xa x fx x x , 则原问
21、题等价于方程 2 4340 xa x有大于零的实根, 26 / 240 结合二次方程根的分布理论可得 8 3 a ; (2)原问题等价于 2 4340 xa x在区间0,1内恒成立,结合均值不等式的结论可得3a ; (3)当 12 xx时,不等式显然成立,当 12 xx,等价转化后结合(2)的结论即可证得题中的结论. (2)函数 f x在区间0,1内单调递增, 2 4340 xa x在区间0,1内恒成立,即 4 34ax x 在区间0,1内恒成立 4 4yx x 在1x 时取得最小值9,3a (3)当 12 xx时,不等式显然成 当 12 xx,只需证明 12 1 212 3 2 xxx ln
22、 xxx ,令 1 2 0,1 x t x ,则只需证明 31 2 t lnt t 成立,由(2)可知 31 2 x f xlnx x 在0,1上是增函数, 31 10, 2 t f xflnt t 点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历 届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本绝招在高考中的命题方向及命题角度从高考来看,对导 数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义, 往往与解析几何、 微积分相联系 (2) 利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值),解决
23、生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用 13已知函数 f(x)(x1)e x(e 为自然对数的底数) 27 / 240 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)设函数(x)xf(x)tf(x)e x,存在实数 x 1,x20,1,使得 2(x1)(x2)成立,求实数 t 的取值范 围 【答案】(1)见解析 (2) (,32e)3, 2 e . 【解析】试题分析:(1)确定函数的定义域,求导数利用导数的正负,可得函数 f x的单调区间;(2) 假设存在 12 ,0,1x x ,使得成立 12 2xx成立,则 minmax 2xx,分类讨论求最值,即可 求实数t的取值范围 (2)假设存在
24、 12 ,0,1x x ,使得 12 2xx成立,则 minmax 2xx. 2 11 x x xt x xxf xtfxe e 1 x xtx x e . 对于0,1x,当1t 时, 0 x, x在0,1上单调递减, 210,即31 2 e t . 当0t 时,QQ 群 557619246 0 x, x在0,1上单调递增, 201,即320te. 当01t 时,若0,xt,则 0 x, x在0,t上单调递减; 若,1xt,则 0 x, x在,1t上单调递增, 2max0 ,1t,即 13 2max 1, t tt ee .(*) 由(1)知, 1 2 t t g t e 在0,1上单调递减,
25、 28 / 240 故 41 22 t t ee ,而 233t eee 不等式(*)无解 综上所述,t的取值范围为,323, 2 e e 14设函数 f(x)emxx 2mx. (1)证明:f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增; (2)若对于任意 x1,x21,1,都有|f(x1)f(x2)|e1,求 m 的取值范围 【答案】(1) 见解析(2) 1,1 【解析】试题分析:(1)利用 0fx说明函数为增函数,利用 0fx说明函数为减函数,要注意参 数m的讨论;(2)由(1)知,对任意的m, f x在1,0单调递减,在0,1单调递增,则恒成立问 题转化为最大值和最小值问题从而求得
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