2018高考数学真题 文科 9.7考点3 直线和抛物线的综合题.docx

1、第九章第九章 平面解析几何平面解析几何 第七节第七节 抛物线抛物线 考点考点 3 直线和抛物线的综合题直线和抛物线的综合题 （2018浙江卷）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y24x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上 （1）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； （2）若 P 是半椭圆 x2? ? ? 1（x0）上的动点，求PAB 面积的取值范围 【解析】 （1）设 P（x0，y0） ，A ? ? ? ? ，B ? ? ? . 因为 PA，PB 的中点在抛物线上，所以 y1，y2为方程 ? ? 24 ? ? ? ? ，

2、 即 y22y0y8x0? ?0 的两个不同的实根 所以 y1y22y0， 所以 PM 垂直于 y 轴 （2）由（1）可知 ? ? ? ? t? ? ? 所以|PM|? t（? ? ? ?）x0? ? ? ?3x0， |y1y2|2 ? ? ? ? ?. 所以PAB 的面积 SPAB? ?|PM|y1y2| ? ? ? (? ?) ? ?. 因为? ? ? ? 1（1x00） ， 所以? ?4x04? ? ?4x044,5， 所以PAB 面积的取值范围是 ? ? ? ? ? . 【答案】见解析 （2018全国卷（文） ）设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k0）的直线

3、l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8. （1）求 l 的方程； （2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程 【解析】 （1）由题意得 F（1,0） ，l 的方程为 yk（x1） （k0） 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由 ? ? h ? ? ? ? ? ? 得 k2x2（2k24）xk20. 16k2160，故 x1x2?h ? h? . 所以|AB|AF|BF|（x11）（x21）?h ? h? . 由题意知?h ? h? 8，解得 k1（舍去）或 k1. 因此 l 的方程为 xy10. （2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3,2） ，所以 AB 的垂直平分

4、线方程为 y2（x3） ，即 yx5. 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0） ， 则 ? ? ? (? ?)? ? ? ? ? 解得 ? ? ? ?或 ? ? ? ? 因此所求圆的方程为（x3）2（y2）216 或（x11）2（y6）2144. 【答案】见解析 （2018全国卷（文） ）设抛物线 C：y22x，点 A（2,0） ，B（2,0） ，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两 点 （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； （2）证明：ABMABN. 【解析】 （1）当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x2，可得点 M 的坐标为（2,2）或（2，2） 所以直线 B

5、M 的方程为 y? ?x1 或 y ? ?x1. 即 x2y20 或 x2y20. （2）证明当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线， 所以ABMABN. 当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk（x2） （k0） ， M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 x10，x20. 由 ? ? h ? ? ? ? ? ? 得 ky22y4k0，显然方程有两个不等实根 所以 y1y2? h，y1y24. 直线 BM，BN 的斜率之和 kBMkBN ? ? ? ? ? ? ? . 将 x1? h 2，x2? h 2 及 y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得 x2y1x1y22（y1y2）?h(?) h ?tt h 0. 所以 kBMkBN0，可知 BM，BN 的倾斜角互补， 所以ABMABN. 综上，ABMABN. 【答案】见解析 （2018北京卷（文） ）已知直线 l 过点（1,0）且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 y24ax 截得的线段长为 4，则 抛物线的焦点坐标为_ 【解析】由题意知，直线 l 的方程为 x1，则直线与抛物线的交点为（1，2 ?） （a0） 又直线被抛物线截得的线段长为 4， 所以 4 ?4，即 a1. 所以抛物线的焦点坐标为（1,0） 【答案】 （1,0）