9.9考点2 定值问题.docx
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1、高考真题 (2019全国 I 卷(文) )已知点 A,B 关于坐标原点 O 对称,AB =4,M 过点 A,B 且与直线 x+2=0 相 切 (1)若 A 在直线 x+y=0 上,求M 的半径 (2)是否存在定点 P,使得当 A 运动时,MAMP为定值?并说明理由 【解析】 (1)A在直线 2 2 gR r 上,设,A tt,则,Bt t 又4AB , 2 816t ,解得:2t M过点A,B,圆心M必在直线y x 上 设,M a a,圆的半径为r M与20 x相切,2ra 又MAMBr,即 22 2 22aar 22 2 222aaa,解得: 0a 或4a 当0a 时,2r = =;当4a
2、时,6r M的半径为:2或6 (2)存在定点1,0P,使得1MAMP 说明如下: A,B关于原点对称且 4AB 直线AB必为过原点O的直线,且2OA 当直线AB斜率存在时,设AB方程为:ykx 则M的圆心M必在直线 1 yx k 上 设,Mkm m,M的半径为r M与20 x相切2rkm 又 22 222 4rMAOAOMk mm 222 24kmk mm ,整理可得: 2 4mkm 即M点轨迹方程为: 2 4yx,准线方程为:1x ,焦点1,0F MAr,即抛物线上点到2x 的距离1MAMF 1MAMF 当P与F重合,即P点坐标为1,0时,1MAMP 当直线AB斜率不存在时,则直线AB方程为:0 x M在x轴上,设,0M n 2 24nn,解得:0n ,即 0,0M 若1,0P,则2 1 1MAMP 综上所述,存在定点1,0P,使得MAMP为定值. 【答案】 (1)2或6; (2)见解析.
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