8.1~8.3综合拔高练.docx

1、8.18.3 综合拔高练 五年高考练 考点 1基本立体图形 1.(2020 课标,3,5 分,)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积 等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与 底面正方形的边长的比值为(深度解析) A. 5-1 4 B. 5-1 2 C. 5+1 4 D. 5+1 2 2.(2020 浙江,14,4 分,)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为 2,且它的 侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm) 是. 3.(2019 课标,16,5 分,)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化 的代

2、表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期 的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两 种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对 称美.图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体,它的所有顶点都在同一个 正方体的表面上,且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有 个面,其棱长为. 本资料分享自千人教师本资料分享自千人教师 QQQQ 群群 323031380期待你的加入与分享期待你的加入与分享 图 1 图 2 考点 2几何体的表面积和体积 4.(2020 课标,12,5 分,)已知 A,B,C 为球 O 的球面上的三个 点,O1为ABC 的

3、外接圆.若O1的面积为 4,AB=BC=AC=OO1, 则球 O 的表面积为() A.64B.48 C.36 D.32 5.(2020 课标,10,5 分,)已知ABC 是面积为9 3 4 的等边三角形,且 其顶点都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为 16,则 O 到平面 ABC 的距离为() A. 3B.3 2 C.1D. 3 2 6. (2020江苏,9,5分,)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一 个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm,高为 2 cm, 内孔半径为 0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是cm3. 7.(2019 天津,11,5 分,)已知四棱锥

4、的底面是边长为 2的正方形,侧 棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点, 另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积 为. 8.(2019 江苏,9,5 分,)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1的体积是 120,E 为 CC1的中点,则三棱锥 E-BCD 的体积是. 9.(2019 课标,16,5 分,)学生到工厂劳动实践,利用 3D 打印技术制 作模型.如图,该模型为长方体 ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥 O-EFGH 后所得的几何体,其中 O 为长方体的中心,E,F,G,H 分别为所在棱的中 点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D 打印所

5、用原料密度为 0.9 g/cm3. 不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.易错 考点 3几何体的外接球和内切球 10.(2020天津,5,5分,)若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面 上,则该球的表面积为() A.12B.24 C.36 D.144 11.(2020 课标,15,5 分,)已知圆锥的底面半径为 1,母线长为 3,则 该圆锥内半径最大的球的体积为. 12.(2019 课标,12,5 分,)已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上,PA=PB=PC,ABC 是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 PA,AB 的中点,CEF=90,则球 O 的体积为() A

6、.8 6B.4 6C.2 6D. 6 三年模拟练 应用实践 1.(2020北京密云高三下一模,)某四棱锥的三视图如图所示,则该四 棱锥的表面积为() A.8B.8 3 C.8+2 2 D.8+4 2 2.(2020 北京一零一中学高三统练,)有一塔形几何体由若干个正方 体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方 体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为 8,如果该塔形几何 体的最上层正方体的棱长小于 1,那么该塔形几何体中正方体的个数 至少是() A.8B.7C.6D.4 3.(2020 山东潍坊高三下模拟,)九章算术中记载,堑堵是底面为 直角三角形的直三棱柱,阳马指底

7、面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱 锥.如图,在堑堵 ABC-A1B1C1中,ACBC,AA1=2,当阳马 B-ACC1A1 的体积为4 3时,堑堵 ABC-A1B1C1 的外接球的体积的最小值为() A.4 3 B.8 2 3 C.32 3 D.64 2 3 4.(2020天津四中高三下线上检测,)底面是边长为1的正方形,侧面 是等边三角形的四棱锥 P-ABCD 的外接球的体积为() A.2 2 3 B. 2 3 C.2 3 3 D. 3 3 5.(2020 天津北辰高三下第一次诊断,)已知等边三角形的边长为 2, 将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几 何体的体积为. 6

8、.(2020 天津河西高三下调查,)已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的侧 棱 AA1垂直于底面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,AA1=2AB,且棱柱 的表面积为20,则以四边形 A1B1C1D1的中心为顶点,四边形 ABCD 的 内切圆所在平面为底面的圆锥的体积为. 7.(2020 辽宁省实验中学、哈师大附中、东北师大附中高三第二次联 合模拟,)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1 m,圆锥 SO 的底 面是正方形 A1B1C1D1的内切圆,顶点 S 是正方形 ABCD 的中心,则圆 锥 SO 的体积为m3,侧面积为m2. 8.(2020 山东滕州一中高三线上模拟,

9、)已知正三棱锥 P-ABC 中,Q 为 BC 的中点,PA= 2,AB=2,则正三棱锥 P-ABC 的外接球的半径 为,过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积的 范围为. 9.(2020 天津和平新高考适应性训练,)如果一个圆锥的高是这个圆 锥的内切球的半径的 3 倍,则圆锥的侧面面积和球的表面积之比 为. 迁移创新 10.(2020 山东济宁高三线上模考,)农历五月初五是端午节,民间有 吃粽子的习惯,粽子又称粽籺,古称“角黍”,是端午节大家都会品尝 的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如 图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的,将 它

10、沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的 体积为;若该六面体内有一球, 则该球的体积的最大值 为. 答案全解全析答案全解全析 五年高考练 1.C如图,设正四棱锥的底面边长 BC=a,侧面等腰三角形底边上的高 PM=h,则 正四棱锥的高 PO= ?2- ?2 4 ,以 PO 的长为边长的正方形面积为 h2-? 2 4 ,一个侧面 三角形面积为1 2ah,h 2-?2 4 =1 2ah,4h 2-2ah-a2=0,两边同除以 a2可得 4 ? ? 2-2? ?-1=0,解得 ? ?= 1 5 4 ,又? ?0, ? ?= 5+1 4 .故选 C. 解题关键 利用以四棱锥的高为边

11、长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,求 得底面边长 a 与侧面等腰三角形底边上的高 h 之间的关系是求解本题的关键. 2.答案1 解析设圆锥的底面半径为 r cm,母线长为 l cm,如图. 由题意可得 ?侧= ? = 2, 2? = ?, r=1. 故圆锥的底面半径为 1 cm. 3.答案26; 2-1 解析半正多面体面数从上至下依次为1,8,8,8,1,故共有1+8+8+8+1=26个面. 正方体被半正多面体顶点 A,B,C 所在平面截得的图形如图 2,八边形 ABCDEFGH 为正八边形. 图 1 图 2 设 AB=a,则 1=2 2 2 a+a,解得 a= 2-1,即该半正

12、多面体的棱长为 2-1. 4.A如图,由题知ABC 为等边三角形,圆 O1的半径 r=2,即 O1B=2, BC=2 3=OO1, 在 RtOO1B 中,OB2=O?1 2+O1B2=16,球 O 的半径 R=OB=4,则 S 球 O=4R 2=64.故选 A. 5.C设等边ABC 的边长为 a,外接圆半径为 r,球心 O 到平面 ABC 的距离为 h, 球的半径为 R, 依题意得 3 4 a2=9 3 4 ,解得 a=3(负值舍去), 则ABC 的外接圆半径为 r= 3 3 a= 3, 因为球 O 的表面积为 16,即 4R2=16,所以 R=2. 由 R2=h2+r2得 h= 22-( 3

13、)2=1.故选 C. 6.答案12 3- 2 解析此六角螺帽毛坯的体积 V=V正六棱柱-V圆柱 =6 3 4 222-1 42= 12 3- 2 cm3. 7.答案 4 解析如图所示,圆柱的高 O1O=1 2PO= 1 2 ?2-A?2=1 2 5 1=1,圆柱的底面半 径 r=1 2AO= 1 2.所以圆柱的体积 V=r 2O 1O= 1 41= 4. 8.答案10 解析因为长方体的体积是 120, 所以 2SBCDCC1=120, 则 SBCDCC1=60.所以 VE-BCD=1 3SBCDEC= 1 3SBCD 1 2CC1= 1 660=10. 9.答案118.8 解析依题意,知该模型

14、是长方体中挖去一个四棱锥,故其体积 V=V长方体-V四棱锥 =664-1 3 1 2463=132(cm 3). 又因为制作该模型所需的原料密度为 0.9 g/cm3, 所以制作该模型所需原料的质量为 0.9132=118.8(g). 易错警示 计算被挖去的四棱锥底面面积时,容易误认为四边形 HEFG 为正方形,由勾股定理 求得 HE= 22+ 32= 13,错认为底面面积为 13. 10.C设球的半径为 R,易知正方体的体对角线为球的直径, 32 3=2R, R=3, 该球的表面积为 4R2=36.故选 C. 11.答案 2 3 解析如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图. 其中球心为 O,设其

15、半径为 r,AC=3,O1C=1,AO1= ?2-?1?2=2 2. OO1=OM=r,AO=AO1-OO1=2 2-r, 易知AMOAO1C,? ?1C= ? ?,即 ? 1= 2 2-r 3 ,故 3r=2 2-r,r= 2 2 .该圆锥内半径 最大的球的体积 V=4 3 2 2 3 = 2 3 . 12.D令 PA=PB=PC=2x(x0),则 EF=x,连接 FC,由题意可得 FC= 3.在PAC 中,cosAPC=4? 2+4?2-4 24?2 =2? 2-1 2?2 . 在PE C 中,EC2=PC2+PE2-2PCPEcosEPC=4x2+x2-22xx2? 2-1 2?2 =x

16、2+2,在 FEC 中,CEF=90,FC2=EF2+EC2,即 x2+2+x2=3,x= 2 2 , PA=PB=PC=2x= 2. AB=BC=CA=2,三棱锥 P-ABC 的三个侧面为等腰直角三角形,PA、 PB、 PC 两两垂直,故球 O 是棱长为 2的正方体的外接球,设球 O 的半径为 R, 则 2R= 3 2,R= 6 2 ,球 O 的体积 V=4 3R 3= 6.故选 D. 三年模拟练 应用实践 1.D由三视图知该四棱锥是如图所示的棱长为2的正方体中的四棱锥A-BCDE, 其表面积为 22+21 222+2 1 222 2=8+4 2,故选 D. 2.A最底层正方体的棱长为 8,

17、则从下往上数第二层正方体的棱长为 42+ 42=4 2,第三层正方体的棱长为 (2 2)2+ (2 2)2=4,第四层正方体的棱 长为 22+ 22=2 2,第五层正方体的棱长为 ( 2)2+ ( 2)2=2,第六层正方体的 棱长为 12+ 12= 2,第七层正方体的棱长为 2 2 2 + 2 2 2 =1,第八层正方体的 棱长为 1 2 2 + 1 2 2= 2 2 , 该塔形几何体的最上层正方体的棱长小于 1,该塔形几何体中正方体的个数 至少是 8.故选 A. 3.B设 AC=x,BC=y,则阳马 B-ACC1A1的体积为1 32xy= 4 3,xy=2. 把堑堵 ABC-A1B1C1补形

18、为长方体,设堑堵 ABC-A1B1C1的外接球半径为 R, 则 2R= ?2+ ?2+ 4 2? + 4=2 2, 当且仅当 x=y= 2时,等号成立, Rmin= 2. 堑堵 ABC-A1B1C1的外接球的体积的最小值为4 3( 2) 3=8 2 3 .故选 B. 4.B设点 E 是正方形 ABCD的中心,则四棱锥 P-ABCD的外接球的球心 O 在 PE 上,设外接球的半径为 R,则 OP=OB=R,由题意得 BE= 2 2 ,BP=1, 所以 PE= ?2-B?2= 2 2 . 所以 BE=PE,即 O、E 重合, 四棱锥 P-ABCD 的外接球的体积 V=4 3 2 2 3 = 2 3

19、 .故选 B. 5.答案2 解析易知将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几 何体是以 3为底面圆半径,1 为高的两个同底圆锥的组合体, 其体积 V=21 3( 3) 21=2. 故答案为 2. 6.答案 2 3 解析如图, 由题意,该四棱柱为直四棱柱,设 AA1=2AB=2a, 则四棱柱的表面积 S=2a2+4a2a=10a2=20,解得 a= 2(负值舍去), 圆锥的底面半径为 2 2 ,高为 2 2. 圆锥的体积为1 3 2 2 2 2 2= 2 3 . 故答案为 2 3 . 7.答案 12; 5 4 解析易得圆锥的高为 1 m,底面半径为1 2 m,母线长为 1 +

20、1 4= 5 2 m,所以体积为 3 1 2 21= 12(m 3),侧面积为1 2 5 2 = 5 4 (m2). 8.答案 6 2 ; , 3 2 解析因为正三棱锥 P-ABC 中,PB=PC=PA= 2,AC=BC=AB=2, 所以 PB2+PA2=AB2, 即 PBPA, 同理 PBPC,PCPA, 因此可将正三棱锥 P-ABC 放入正方体中,如图. 记正方体的体对角线的中点为 O,由正方体的结构特征可得,O 点是正方体的外接 球球心, 所以点 O 也是正三棱锥 P-ABC 外接球的球心. 记外接球的半径为 R,则 R=1 2 2 + 2 + 2= 6 2 . 因为球的最大截面圆为过球

21、心的圆, 所以过 Q 的平面截三棱锥 P-ABC 的外接球所得截面的面积最大为R2=3 2. 因为 Q 为 BC 的中点,所以由正方体的结构特征可得 OQ=1 2PA= 2 2 . 由球的结构特征可知,当 OQ 垂直于过 Q 的截面时,截面圆的半径最小,为 ?2-O?2=1,此时截面圆的面积为. 因此,过 Q 的平面截三棱锥 P-ABC 的外接球所得截面的面积的范围为 , 3 2 . 9.答案32 解析作圆锥的轴截面,如图,设球的半径为R,则圆锥的高h=3R,圆锥的底面半径 r= 3R,母线长 l= ?2+ ?2=2 3R,所以 ?圆锥侧 ?球 = ? 4?2= 3R2 3R 4?2 =3 2. 迁移创新 10.答案 2 6 ;8 6 729 解析每个三角形面积都是1 21 3 2 = 3 4 ,由对称性可知该六面体是由两个正四面 体组成的, 易求得四面体的高为 1 3 3 2 = 6 3 ,故四面体的体积为1 3 3 4 6 3 = 2 12, 因此该六面体的体积是 2 122= 2 6 . 球的体积要达到最大,则球与六个面都相切, 连接球心和五个顶点,把六面体分成了六个三棱锥,设球的半径为 R, 则 2 6 =6 1 3 3 4 R R= 6 9 , 所以球的体积 V=4 3 R3=4 3 6 9 3 =8 6 729.