9.7考点3 直线和抛物线的综合题.docx

1、高考真题 （2019浙江卷）如图，已知点(10)F ，为抛物线 2 2(0)ypx p，点F为焦点，过点F的直线交抛物线于 ,A B两点，点C在抛物线上，使得V ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧. 记,AFGCQG的面积为 12 ,S S. （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求 1 2 S S 的最小值及此时点G的坐标. 【解析】 （1）由题意可得1 2 p ，则2,24pp，抛物线方程为 2 4yx，准线方程为1x . （2）设 1122 ,A x yB xy， 设直线 AB 的方程为1 ,0yk xk，与抛物线方程 2 4yx联立可得： 2222 240

2、k xkxk，故： 2222 2 4 2,1 k xxx x， 12121212 4 2,444yyk xxy yxx k ， 设点 C 的坐标为 33 ,C x y，由重心坐标公式可得： 123 3 G xxx x 3 2 14 2 3 x k ， 123 3 G yyy y 3 1 4 3 y k ， 令0 G y 可得： 3 4 y k ，则 2 3 3 2 4 4 y x k .即 222 1441 2 33 8 2 G k x kk ， 由斜率公式可得： 1313 22 311313 4 44 AC yyyy k yyxxyy ， 直线 AC 的方程为： 33 13 4 yyxx y

3、y ， 令0y 可得： 2 313313 313 3 4444 Q yyyyyyyy y xx ， 故 11 1 1 22 181 21 323 118 223 GF y Sxxyy kk ， 且 3 2 2 13 3 118 224 2 3 QG yy y Sxxy k ， 由于 3 4 y k ，代入上式可得： 1 2 2 228 33 y S kkk ， 由 1212 4 ,4yyy y k 可得 1 1 44 y yk ，则 1 2 1 4 4 y k y ， 则 22 11 1 22 1 2 11 1 2 2 81 233 22 228 44 33 yy S yS yy kkk y

4、k 2 1 2 1 4 2 48 816 8 y y 2 1 2 1 43 21 248 2816 8 y y . 当且仅当 2 1 2 1 48 8 8 y y ，即 2 1 84 3y ， 1 62y 时等号成立. 此时 1 2 1 4 2 4 y k y ， 2 81 22 3 G x k ，则点 G 的坐标为2,0G. 【答案】 （1）1，1x ； （2） 3 1 2 ， 2,0G. （2019北京卷（理） ）已知抛物线 C：x2=2py 经过点（2，1） （）求抛物线 C 的方程及其准线方程； （）设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点

5、M，N，直线 y=1 分别交 直线 OM，ON 于点 A 和点 B求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点 【解析】 （）将点2, 1代入抛物线方程： 2 221p 可得：2p ， 故抛物线方程为： 2 4xy ，其准线方程为： 1y . （）很明显直线l的斜率存在，焦点坐标为0, 1， 设直线方程为1ykx，与抛物线方程 2 4xy 联立可得： 2 440 xkx . 故： 1212 4 ,4xxk x x . 设 22 12 12 , 44 xx MxN x ，则 12 , 44 OMON xx kk ， 直线OM的方程为 1 4 x yx ，与1y 联立可得： 1 4 , 1A

6、 x ，同理可得 2 4 , 1B x ， 易知以 AB 为直径的圆的圆心坐标为： 12 22 , 1 xx ，圆的半径为： 12 22 xx ， 且： 12 1212 222 2 xx k xxx x ， 2 1212 2 1212 4 22 221 xxx x k xxx x ， 则圆的方程为： 22 2 2141xkyk， 令0 x 整理可得： 2 230yy，解得： 12 3,1yy ， 即以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点 0, 3 , 0,1. 【答案】 （） 2 4xy ， 1y ； （）见解析. （2019全国 I 卷（理） ）已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F

7、，斜率为 3 2 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴 的交点为 P （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若 3APPB ，求|AB| 【解析】 （1）设直线l方程为： 3 y =xm 2 ， 11 ,A x y， 22 ,B xy 由抛物线焦半径公式可知： 12 3 4 2 AFBFxx 12 5 2 xx 联立 2 3 2 3 yxm yx 得： 22 9121240 xmxm 则 2 2 12121440mm 1 2 m 12 12125 92 m xx ，解得： 7 8 m 直线l的方程为： 37 28 yx，即：12870 xy （2）设,0P t，则可设直线l方程为： 2 3 xyt 联立 2 2 3 3 xyt yx 得： 2 230yyt 则4 120t 1 3 t 12 2yy ， 1 2 3yyt 3APPB 12 3yy 2 1y， 1 3y 1 2 3yy 则 2 1212 4134 13 144 12 933 AByyy y 【答案】 （1）12 870 xy ； （2） 4 13 3 .