8.2.1一元线性回归模型8-2-2　一元线性回归模型参数的最小二乘估计.docx

1、8.2一元线性回归模型及其应用一元线性回归模型及其应用 8.2.18.2.1一元线性回归模型一元线性回归模型 8.2.28.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计一元线性回归模型参数的最小二乘估计 基础过关练基础过关练 题组一题组一经验回归方程及其应用经验回归方程及其应用 1.(2020 广东汕尾高二上期末)某种产品的广告支出 x(单位:万元)与销售额 y(单 位:万元)之间的关系如下表: x24568 y3040605070 若已知 y 关于 x 的经验回归方程为? =6.5x+17.5,那么当广告支出为 6 万元时,随 机误差的效应(残差)为万元(残差=观测值-预测值)() A.17.5

2、B.-6.5C.24.5D.-56.5 2.(2020 北京师范大学附属实验中学高三下第一次质量评估)为了规定工时定额, 需要确定加工某种零件所需的时间,为此进行了 5 次试验,得到 5 组数 据:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5),由最小二乘法求得经验回归方程为 ? =0.67x+54.9.若已知 x1+x2+x3+x4+x5=150,则 y1+y2+y3+y4+y5=() A.75 B.155.4C.375D.466.2 3.某公司由于改进了经营模式,经济效益与日俱增.统计了 2018 年 10 月到 2019 年 4 月的纯收益 y(单位:万元

3、)的数据,如下表: 月份1011121234 月份代号 t3456789 纯收益 y66697381899091 已知 y 关于 t 的经验回归方程为? =4.75t+51.36,请估计该公司 2019 年 6 月的纯 收益为() A.94.11 万元B.98.86 万元 C.103.61 万元D.108.36 万元 4.为了了解家庭月收入 x(单位:千元)与月储蓄 y(单位:千元)的关系,从某居民区 随机抽取 10 个家庭进行统计,根据统计数据的散点图知 x 与 y 之间具有线性相关 关系,其经验回归方程为? =0.3x-0.4,若该居民区某家庭的月收入为 7 千元,据此 估计该家庭的月储蓄

4、为千元. 5.(2020 山东日照实验中学高二下阶段性考试)若根据 5 名儿童的年龄 x(岁)和体 重 y(kg)的数据用最小二乘法得到体重关于年龄的经验回归方程是? =2x+18,已知 这 5 名儿童的年龄分别是 3,5,2,6,4,则这 5 名儿童的平均体重是kg. 6.(2020 河北衡水深州一中高三上月考)习近平总书记在党的十九大报告中指出, 要在“幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有 所扶”上不断取得新进展,保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感.现 S 市 政府针对全市 10 所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评,得到数据如下 表: 敬老院ABC

5、DEFGHIJ 满意度 x(%)20342519262019241913 投资额 y(万元)80898978757165626052 (1)求投资额 y 关于满意度 x 的样本相关系数 r; (2)我们约定:投资额 y 关于满意度 x 的样本相关系数 r 的绝对值在 0.75 以上(含 0.75),两者线性相关性较强,否则,线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关 关系,则采取“末位淘汰”制(即满意度最低的敬老院市财政将不再继续投资,改 为区财政投资).求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投资额 y 关于满意度 x 的经验 回归方程.(系数精确到 0.1) 参考数据:?=21.9,?=72.1, ?

6、=1 10 ? 2-10?2=288.9, ?=1 10 ? 2-10?237.16, ?=1 10 xiyi- 10?=452.1, 288.917. 附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其经验回归直线? =? x+? 的斜率和截 距的最小二乘估计公式分别为:? = ?=1 ? ?-n? ?=1 ? ? 2-n?2 ,? =?-? ?,样本相关系数 r= ?=1 ? ?-n? ?=1 ? ? 2-n?2 ?=1 ? ? 2-n?2. 7.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行 分析研究,2019 年 12 月 1 日至 12 月 5

7、日的昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子 中的发芽数如下表所示: 日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 x()101113128 发芽数 y(颗) 2325302616 该农科所确定的研究方案是:先从这 5 组数据中选取 2 组,用剩下的 3 组数据求经 验回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 组数据的概率; (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据,请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日 的数据,求 y 关于 x 的经验回归方程? =? x+?

8、 ; (3)若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过 2 颗,则 认为得到的经验回归方程是可靠的,试问(2)中所得的经验回归方程是否可靠? 参考公式:经验回归方程? =? x+? 中,? = ?=1 ? (?-?)(?-?) ?=1 ? (?-?)2 ,? =?-? ?. 题组二题组二非线性回归分析非线性回归分析 8.(2019 河南开封高二期中)已知变量 y 关于 x 的回归方程为? =e bx-0.5,其一组数据 如下表所示: x1234 yee 3 e 4 e 6 若 x=5,则 y 的值可能为() A.e 5 B.e 11 2 C.e 7 D.e 15 2 9.某工

9、厂每日生产一种产品 x(x1)吨,每日生产的该产品当日销售完毕,日销售 额为 y 万元,产品价格随着产量的变化而有所变化,经过一段时间的产销,得到了 x,y 的一组统计数据,如下表: 日产量 x(吨)12345 日销售额 y(万元)512161921 (1)请判断 y=bx+a 与 y=dln x+c 中哪个模型更适合刻画 x,y 之间的关系,并从函 数增长趋势方面给出简单的理由; (2)根据你的判断及下面的公式和数据,求出 y 关于 x 的经验回归方程,并估计当 日产量为 6 吨时,日销售额是多少.(结果保留整数) 参考公式:经验回归方程? =? x+? 中,? = ?=1 ? ?-n? ?

10、=1 ? ? 2-n?2 ,? = ?-? ?. 参考数据:ln1+ln2+ln3+ln4+ln5 5 0.96,5ln 1+12ln 2+16ln 3+19ln 4+21ln 586,ln 61.8,(ln 1) 2+(ln 2)2+(ln 3)2+(ln 4)2+(ln 5)26.2. 能力提升练能力提升练 题组一题组一经验回归方程及其应用经验回归方程及其应用 1.(2019 福建莆田高二期末,)某同学将收集到的六组数据 (xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)制成如图所示的散点图,并通过计算得到其经验回归直线 l1的方程为? =0.68x+? ,其样本相关系数为 r1,决定系数为?1

11、 2.经过残差分析确定点 F 为“离群点”(对应残差过大的点),把它去掉后,再利用剩下的五组数据计算得 到其经验回归直线 l2的方程为? =? x+0.68,其样本相关系数为 r2,决定系数为?2 2.以 下结论中不正确的是() A.r10,r20B.?1 2? 2 2 C.? =0.12D.0? 0.68 2.(2020 四川成都高二期末,)某国企进行节能降耗技术改造,下面是该国企节能 降耗技术改造后连续五年的生产利润: 年号 x12345 年生产利润 y (单位:千万元) 0.70.811.11.4 预测第 8 年该国企的生产利润为() 参考公式及数据:? = ?=1 ? ?-n? ? ?

12、=1 ? ? 2-n?2 ,? =?-? ?, ?=1 5 xiyi-5? ?=1.7, ?=1 5 ? 2-5?2=10. A.1.88 千万元B.2.21 千万元 C.1.85 千万元D.2.34 千万元 3.(2019 河南林州第一中学高二上期中,)一台还可以用的机器由于使用的时间 较长,按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷,每小时生产有缺陷零 件的数量随机器转速的变化而变化,下表为抽样试验结果: 转速 x(转/秒)1614128 每小时生产有缺陷的零件数 y(个)11985 (1)画出散点图; (2)如果变量 x 和 y 线性相关,求 y 关于 x 的经验回归方程; (3)若

13、实际生产中,允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为 10 个,那么机器 的转速应控制在什么范围内? 4.(2020 河北石家庄第二中学高三下教学质量检测,)BMI 指数是用体重公斤数 除以身高米数的平方得出的数值,是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健 康的一个标准.在我国,BMI18.5,认为体重过轻;18.5BMI24,认为体重正 常;BMI24,认为体重超重.某中小学生成长与发展机构从某市的 320 名高中男体 育特长生中随机选取 8 名,其身高和体重的数据如下表所示: 编号12345678 身高 x(cm)166167160173178169158173 体重 y(kg)57585

14、36166575066 (1)根据最小二乘法求得的经验回归方程为? =0.8x-75.9.利用已经求得的经验回 归方程完善下列残差表,并求解释变量(身高)对于响应变量(体重)变化的贡献值 R 2(保留两位有效数字); 编号12345678 身高 x(cm)166167160173178169158173 体重 y(kg)5758536166575066 残差e 0.10.30.9-1.5-0.5 (2)通过残差分析,对于残差最大(绝对值)的那组数据,需要确认在样本点的采集 中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现,该组数据的体重应该为 58 kg.请重 新根据最小二乘法,求出 y 关于 x 的

15、经验回归方程. 参考公式:R 2=1- ?=1 ? (?-? ?)2 ?=1 ? (?-?)2 ,? = ?=1 ? (?-?)(?-?) ?=1 ? (?-?)2 = ?=1 ? ?-n? ?=1 ? ? 2-n?2 ,? =?-? ?,? ?=yi-? xi-? . 参考数据: ?=1 8 xiyi=78 880, ?=1 8 ? 2=226 112,?=168,?=58.5, ?=1 8 (?-?)2=226. 题组二题组二非线性回归分析非线性回归分析 5.(2019 山西晋中平遥中学高二下期中,)某电视厂家准备在五一举行促销活动, 现在根据近七年的广告支出与销售量的数据确定此次广告支出

16、.广告支出 x(万元) 和销售量 y(万台)的数据如下: 年份2012201320142015201620172018 广告支出 x1246111319 销售量 y1.93.24.04.45.25.35.4 (1)试根据这些数据建立 y 关于 x 的经验回归方程;(2)若用模型 y=c+d ?拟合 y 与 x 的关系,可得经验回归方程? =1.63+0.99 ?,经计算(1)中的经验回归方程和该 经验回归方程的 R 2 分别约为 0.75 和 0.88,请用 R 2说明选择哪个回归方程更好; (3)已知利润 z 与 x,y 的关系为 z=200y-x.根据(2)中的结果回答:当广告支出为 20

17、 万元时,销售量及利润的预测值分别是多少?(精确到 0.01) 参考数据: ?=1 7 xiyi=279.4, 52.236. 参考公式:? = ?=1 ? ?-n? ?=1 ? ? 2-n?2 ,? =?-? ?. 6.(2019 山东青岛高三调研检测,)近期,某公交公司分别推出支付宝和微信扫码 支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,越来 越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使 用扫码支付的人次,用 x 表示活动推出的天数,y(单位:十)表示每天使用扫码支付 的人次,统计数据如下表所示: x1234567 y611213466 1

18、01 196 根据以上数据,绘制了如下散点图. (1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx 与 y=cd x(c,d 均为大于零的常数)哪一 个更适合作为扫码支付的人次 y 关于活动推出天数 x 的经验回归方程类型(给出 判断结果即可,不必说明理由); (2)根据(1)中的判断结果及表中的数据,求 y 关于 x 的经验回归方程,并预测活动 推出第 8 天使用扫码支付的人次. 参考数据: yv ?=1 7 xivi 10 0.54 62.141.5450.123.47 其中 vi=lg yi,?=1 7 ?=1 7 vi. 参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn)

19、,其经验回归方程 ? =? u+? 中,? = ?=1 ? ?-nu v ?=1 ? ? 2-nu 2 ,? = ?-? u . 答案全解全析答案全解全析 8.2一元线性回归模型 及其应用 8.2.1一元线性回归模型 8.2.2一元线性回归模型参数 的最小二乘估计 基础过关练 1.B取 x=6,得? =6.56+17.5=56.5, 当广告支出为 6 万元时,随机误差的效应(残差)为 50-56.5=-6.5.故选 B. 2.C由题意,可得?=150 5 =30,代入经验回归方程,可得? =0.6730+54.9=75, 所以 y1+y2+y3+y4+y5=575=375,故选 C. 3.C将

20、 2019 年 6 月的月份代号 t=11 代入经验回归方程,得 ? =4.7511+51.36=103.61.故选 C. 4.答案1.7 解析将 x=7 代入? =0.3x-0.4,得? =1.7,因此该家庭的月储蓄约为 1.7 千元. 5.答案26 解析由题意得?=3+5+2+6+4 5 =4, 由于经验回归直线过样本点的中心(?,?),所以?=2?+18=24+18=26, 故这 5 名儿童的平均体重是 26 kg. 6.解析(1)根据样本相关系数的公式,可得 r= ?=1 10 ?-10? ?=1 10 ? 2-10?2 ?=1 10 ? 2-10?2 452.1 1737.160.7

21、2. (2)由(1)可知,样本相关系数 r0.720.75,所以投资额 y 与满意度 x 没有达到较 强线性相关关系, 所以要“末位淘汰”掉 J 敬老院. 此时?=21.910-13 9 =206 9 22.89,?=72.110-52 9 =669 9 74.33, ?=1 9 ? 2-9?2288.9+1021.92-132-922.892200.43, ?=1 9 xiyi-9?452.1+1021.972.1-1352-922.8974.33253.28, 所以? = ?=1 9 ?-9? ?=1 9 ? 2-9?2 1.3, ? =?-? ?74.33-1.322.8944.6. 所

22、以所求经验回归方程为? =1.3x+44.6. 7.解析(1)设取到不相邻 2 组数据为事件 A.因为从 5 组数据中选取 2 组数据共 有 10 种情况,每种情况是等可能出现的,其中抽到相邻 2 组数据的情况有 4 种,所 以 P(A)=1- 4 10= 3 5,故选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 组数据的概率为 3 5. (2)利用 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据,求得 ?=1 3(11+13+12)=12,?= 1 3(25+30+26)=27, ?=1 3 (xi-?)(yi-?)=(-1)(-2)+13+0(-1)=5, ?=1 3 (xi-?) 2=(-1)2+12

23、+02=2, 所以? = ?=1 3 (?-?)(?-?) ?=1 3 (?-?)2 =5 2,? =?-? ?=-3. 所以 y 关于 x 的经验回归方程为? =5 2x-3. (3)当 x=10 时,? =5 210-3=22,|22-23|2,同样地,当 x=8 时,? =5 28-3=17,|17- 16|0,r20,且 r1r2,故?1 2? 2 2,故 A 中结论 正确,B 中结论不正确.经计算可得,在去除点 F 前,?=3.5,?=2.5,去除 点 F 后,?=3,?=2.又经验回归直线 l1:? =0.68x+? 必经过点(3.5,2.5),所以? =2.5- 0.683.5=

24、0.12,故 C 中结论正确.经验回归直线 l2:? =? x+0.68 必经过点(3,2),所 以 2=? 3+0.68,所以? =0.44,故 D 中结论正确.故选 B. 2.C由题可得?=1+2+3+4+5 5 =3,?=0.7+0.8+1+1.1+1.4 5 =1, 所以? =1.7 10 =0.17,? =?-? ?=1-0.173=0.49, 所以年生产利润关于年号的经验回归方程为? =0.17x+0.49, 当 x=8 时,? =0.178+0.49=1.85,故选 C. 3.解析(1)画出散点图,如图所示: (2)由题表易得?=12.5,?=8.25, ?=1 4 xiyi=4

25、38, ?=1 4 ? 2=660, ? = ?=1 4 ?-4? ?=1 4 ? 2-4?2 =438-412.58.25 660-412.52 0.728 6, ? =?-? ?8.25-0.728 612.5=-0.857 5. 故经验回归方程为? =0.728 6x-0.857 5. (3)要使 y10,则 0.728 6x-0.857 510,即 x108 575 7 286 14.901 9. 故机器的转速应控制在 14.9 转/秒以下. 4.解析(1)由题知经验回归方程为? =0.8x-75.9,则? 6=57-0.8169+75.9=- 2.3,? 7=50-0.8158+75

26、.9=-0.5,? 8=66-0.8173+75.9=3.5.完善残差表如下, 编号12345678 身高 x(cm) 166167160173178169158173 体重 y(kg)5758536166575066 残差e 0.10.30.9-1.5-0.5-2.3-0.53.5 R 2=1- ?=1 8 (?-? ?)2 ?=1 8 (?-?)2 =1- 1 226(0.01+0.09+0.81+2.25+0.25+5.29+0.25+12.25)0.91, 所以解释变量(身高)对于响应变量(体重)变化的贡献值 R 20.91. (2)通过残差分析知,残差最大(绝对值)的那组数据为第 8

27、 组,所以 y8=58, 所以修改后 ?=1 8 xiyi=78 880-17366+17358=77 496, ?=1 8(858.5-66+58)=57.5, 所以? = ?=1 8 ?-n? ?=1 8 ? 2-n?2 =77 496-816857.5 226 112-81682 =0.675, ? =?-? ?=57.5-0.675168=-55.9.所以 y 关于 x 的经验回归方程是? =0.675x-55.9. 5.解析(1)由题意得?=8,?=4.2, ?=1 7 xiyi=279.4, ?=1 7 ? 2=708, ? = ?=1 7 ?-7? ?=1 7 ? 2-7?2 =

28、279.4-784.2 708-782 =0.17,? =?-? ?=4.2-0.178=2.84, y 关于 x 的经验回归方程为? =0.17x+2.84. (2)R 2 越接近于 1,模型的拟合效果越好,故选用? =1.63+0.99 ?. (3)当 x=20 时,? =1.63+0.99 206.06(万台), z200(1.63+0.99 20)-201 191.46(万元). 故销售量的预测值为 6.06 万台,利润的预测值为 1 191.46 万元. 6.解析(1)根据散点图可知,y=cd x更适合作为扫码支付的人次 y 关于活动推出 天数 x 的经验回归方程类型. (2)对 y

29、=cd x 两边同时取常用对数,得 lg y=lg(cd x)=lg c+xlg d. 设 lg y=v,则 v=lg c+xlg d, 由题知?=4,?=1.54, ?=1 7 ? 2=140, lg ? = ?=1 7 ?-7? ? ?=1 7 ? 2-7?2 =50.12-741.54 140-742 =0.25, lg ? =?-?lg ? =1.54-40.25=0.54, ? =0.54+0.25x,lg ? =0.54+0.25x, y 关于 x 的经验回归方程为? =10 0.54+0.25x=3.47100.25x. 把 x=8 代入上式,得? =3.4710 2=347, 活动推出第 8 天使用扫码支付的人次约为 3 470.