7.3.复数的三角表示.docx

1、7.3*复数的三角表示 7.3.1复数的三角表示式 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 基础过关练 题组一复数的三角表示式 1.复数1 2- 3 2 i 的三角形式是() A.cos - 3 +isin - 3 B.cos 3+isin 3 C.cos 3-isin 3 D.cos 3+isin 5 6 2.复数 z=sin 15+icos 15的三角形式是() A.cos 195+isin 195 B.sin 75+icos 75 C.cos 15+isin 15D.cos 75+isin 75 3.(多选)下列各角可以作为复数 3 3-3i 的辐角的是() A.- 6 B.11

2、 6 C.- 3 D.5 3 4.复数 z=1-cos +isin (2)的辐角的主值为() A. 2- ? 2 B.? 2 C.5 2 -? 2 D.? 2- 2 5.复数 z=cos 6-isin 6的辐角的主值为 . 6.把下列复数表示成三角形式. (1)-1-i;(2)ai(a0);(3)- 3(sin -icos ).深度解析 本资料分享自千人教师本资料分享自千人教师 QQQQ 群群 323031380期待你的加入与分享期待你的加入与分享 7.把下列复数表示成代数形式. (1)z1=3 cos 4 + isin 4 ; (2)z2= 3 cos 4 3 + isin 4 3 ; (3

3、)z3=2 2 cos 7 6 -isin 7 6 . 题组二复数三角形式的乘、除运算 8.如果 2 , ,那么复数(1+i)(cos -isin )的三角形式是() A. 2 cos 9 4 - + isin 9 4 - B. 2cos(2-)+isin(2-) C. 2 cos 4 + + isin 4 + D. 2 cos 3 4 + + isin 3 4 + 9.设复数 z1=1+ 3i,z2= 3+i,则?1 ?2的辐角的主值是 . 10.计算: (1)8 cos 4 3 + isin 4 3 4 cos 5 6 + isin 5 6 ; (2) 3(cos 225+isin 225

4、) 2(cos 150+isin 150); (3)4 cos 4 + isin 4 . 题组三复数三角形式乘、除运算的几何意义 11.把复数 1+i 对应的向量按逆时针方向旋转 2,所得到的向量对应的 复数是. 12.已知向量? ? ?对应的复数为-2i,把? ?绕原点 O 按顺时针方向旋转 45后,再把模变为原来的3 2倍得到向量? ? ? 1,则? ? ? 1对应的复数 为.(用代数形式表示) 13.在复平面内,把复数 3- 3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向 旋转 3,求所得向量对应的复数. 答案全解全析答案全解全析 基础过关练 1.A依题意得,r= 1 2 2 + - 3 2

5、2 =1,cos =1 2,复数 1 2- 3 2 i 对应的点在第四象限,所 以 arg 1 2 - 3 2 i =5 3 ,所以 1 2- 3 2 i=cos 5 3 +isin 5 3 =cos 2- 3 +isin 2- 3 =cos - 3 +isin - 3 . 2.Dz=sin 15+icos 15=cos 75+isin 75,故选 D. 3.AB依题意得,r= (3 3)2+ (-3)2=6,cos =3 3 6 = 3 2 ,复数 3 3-3i 对应的点在 第四象限,所以 arg(3 3-3i)=11 6 ,所以 2k+11 6 (kZ)都可以作为复数 3 3-3i 的 辐

6、角,结合选项可知,A、B 正确. 4.Cz=1-cos +isin =2sin2? 2+2isin ? 2cos ? 2=2sin ? 2 sin ? 2 + icos ? 2 =2sin ? 2 cos 2 - ? 2 +isin 2- ? 2 , 2, 2 ? 2, - 2 2- ? 20. 辐角的主值的取值范围为0,2), 复数 z 的辐角的主值为5 2 -? 2. 5.答案 11 6 解析z=cos 6-isin 6=cos 2- 6 +isin 2- 6 =cos 11 6 +isin 11 6 .故复数 z 的 辐角的主值为11 6 . 6.解析(1)依题意得,r= 2,cos =

7、- 2 2 ,复数对应的点在第三象限, 所以-1-i 的辐角的主值为5 4 . 所以-1-i= 2 cos 5 4 + isin 5 4 或-1-i= 2 cos - 3 4 + isin - 3 4 . (2)因为 a0,所以 r=|a|=-a,复数对应的点在 y 轴的负半轴上,取=- 2, 所以 ai=-a cos - 2 + isin - 2 . (3)- 3(sin -icos )= 3(-sin +icos ) = 3 cos 2 + + isin 2 + . 深度剖析 (1)复数三角形式的特征: (2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差 2的整数倍.例如, 复数

8、i 的辐角是 2+2k,其中 k 可以取任何整数. (3)对于复数0,因为它对应着零向量,而零向量的方向是任意的,所以复数0的辐角 也是任意的. 7.解析(1)z1=3cos 4+3isin 4= 3 2 2 +3 2 2 i. (2)z2= 3cos 4 3 + 3isin 4 3 =- 3 2 -3 2i. (3)z3=2 2cos 7 6 -2 2isin 7 6 =- 6+ 2i. 8.A因为 1+i= 2 cos 4 + isin 4 , cos -isin =cos (2-)+isin (2-), 所以(1+i)(cos -isin ) = 2 cos 4 + 2-? +isin

9、4+2- = 2 cos 9 4 - + isin 9 4 -. 9.答案 6 解析由题得,z1=2 cos 3 + isin 3 ,z2=2 cos 6 + isin 6 , 所以?1 ?2的辐角是 3- 6= 6,又因为 60,2),所以 ?1 ?2的辐角的主值是 6. 10.解析(1)8 cos 4 3 + isin 4 3 4 cos 5 6 + isin 5 6 =32 cos 4 3 + 5 6 +isin 4 3+ 5 6 =32 cos 13 6 + isin 13 6 =32 cos 6 + isin 6 =32 3 2 + 1 2 i =16 3+16i. (2) 3(co

10、s 225+isin 225) 2(cos 150+isin 150) = 3 2cos (225-150)+isin (225-150) = 6 2 (cos 75+isin 75) = 6 2 6- 2 4 + 6+ 2 4 i =3 3 4 +3+ 3 4 i. (3)4 cos 4 + isin 4 =4(cos 0+isin 0) cos 4 + isin 4 =4 cos - 4 + isin - 4 =2 2-2 2i. 11.答案-1+i 解析由题意得,(1+i) cos 2+isin 2 =(1+i)i=-1+i. 12.答案-3 2 2 -3 2 2 i 解析? ? ? 1对应的复数为-2i 3 2 cos- 4 + isin - 4 =-2i 3 2 4 - 3 2 4 i =-3 2 2 -3 2 2 i. 13.解析由题意得, (3- 3i) cos 3 + isin 3 =(3- 3i) 1 2 + 3 2 i =3+ 3i, (3- 3i) cos - 3 + isin - 3 =(3- 3i) 1 2 - 3 2 i =-2 3i. 故把复数 3- 3i 对应的向量按逆时针方向旋转 3后得到的复数为 3+ 3i,按顺时针 方向旋转 3后得到的复数为-2 3i.