5.2.3　简单复合函数的导数.docx

1、5.2.3简单复合函数的导数 基础过关练 题组一复合函数的求导法则 1.函数 y=(2 020-8x)3的导数 y=() A.3(2 020-8x)2B.-24xC.-24(2 020-8x)2D.24(2 020-8x)2 2.若 f(x)=exln 2x,则 f(x)=() A.exln 2x+e ? 2? B.exln 2x-e ? ? C.exln 2x+e ? ? D.2ex1 ? 3.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f(x),且f(2)=2,则实数a的值为 () A.1 2 B.2 3 C.3 4 D.1 4.若函数 f(x)= 4?-3,则 f(x)=. 5.函数 f

2、(x)=cos2? e? 的导函数 f(x)=. 6.求下列函数的导数. (1)y= ?2 (2?+1)3; (2)y=e-xsin 2x; (3)y=ln 2? + 1-1; (4)y=cos(-2x)+32x+1. 深度解析 题组二复合函数求导的综合运用 7.曲线 f(x)=e4x-x-2 在点(0,f(0)处的切线方程是() A.3x+y+1=0B.3x+y-1=0 C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0 8.某市在一次降雨过程中,降雨量 y(mm)与时间 t(min)的函数关系可 近似地表示为 y=f(t)= 10?,则在时刻 t=40 min 的降雨强度为() A.20 mm/m

3、in B.400 mm/minC.1 2 mm/min D.1 4 mm/min 9.已知函数 f(x)=2ln(3x)+8x,则 lim ?0 ?(1-2?)-?(1) ? 的值为() A.10B.-10 C.-20 D.20 10.已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为() A.1B.2C.-1D.-2 11.设函数 f(x)在(-,+)内的导函数为 f(x),若 f(ln x)=?+1 ? ,则 ?(0) ?(0)=( ) A.2B.-2C.1D.e+1 12.设曲线 y=eax在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直,则 a=. 13.已知 f

4、(x)为偶函数,当 x0 时,f(x)=e-x-2-x,则曲线 y=f(x)在(2,f(2) 处的切线方程为. 14.设 f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中 aR,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切 线与 y 轴交于点(0,6),试确定 a 的值. 能力提升练 题组复合函数的导数及其应用 1.()已知 y=f(x)=ln|x|,则下列各命题中,正确的是() A.x0 时,f(x)=1 ?,x0 时,f(x)=1 ?,x0 时,f(x)无意义 C.x0 时,都有 f(x)=1 ? D.因为 x=0 时 f(x)无意义,所以不能对 y=ln|x|求导 2.()设函数 f(x)是 R

5、 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线的斜率为() A.-1 5 B.0C.1 5 D.5 3.()已知 f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)n,则 f(0)=() A.nB.n-1C.?(?-1) 2 D.?(?+1) 2 4.(2020 河南开封五县高二上期末联考,)设 aR,函数 f(x)=ex+ae-x为奇函数,曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0, 则该切线方程为() A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-y=0D.4x+y=0 5.()定义方程 f(x)=f(x)的实数根 x0为函数 f(x)的“新驻点”,若

6、函 数 g(x)=x2+1,h(x)=ln(x+2),(x)=cos x(x(0,)的“新驻点”分 别为 a,b,c,则 a,b,c 的大小关系为() A.abc B.acbC.bacD.bc0,0,|0,则-x 0), ln( ?)(? 0 时,f(x)=ln xf(x)=(ln x)=1 ?; (2)x0 时,f(x)=ln(-x)f(x) =ln(-x)= 1 -?(-1)= 1 ?.故选 C. 2.B由题设可知 f(x+5)=f(x), f(x+5)=f(x),f(5)=f(0), 又 f(-x)=f(x),f(-x)(-1)=f(x), 即 f(-x)=-f(x),f(0)=0, f

7、(5)=f(0)=0.故选 B. 3.Df(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)n, 则 f(x)=1+2(1+x)+3(1+x)2+4(1+x)3+n(1+x)n-1, 则 f(0)=1+2+3+4+n=?(?+1) 2 .故选 D. 4.A因为函数 f(x)=ex+ae-x是奇函数, 所以 f(-x)=-f(x)对一切 xR 恒成立, 所以 e-x+aex=-ex-ae-x对一切 xR 恒成立,即(a+1)(ex+e-x)=0 对一切 xR 恒成立,所以 a+1=0,解得 a=-1, 因此 f(x)=ex-e-x,故 f(x)=ex+e-x. 由曲线 y=f(x)的

8、一条切线的切点的纵坐标是 0,得 f(x)=ex-e-x=0,解得 x=0. 所以曲线 y=f(x)的这条切线的切点的坐标为(0,0), 切线的斜率为 f(0)=e0+e0=2. 故曲线 y=f(x)的这条切线方程为 y-0=2(x-0),即 2x-y=0.故选 A. 5.C由 g(x)=x2+1 可得 g(x)=2x, 令 x2+1=2x,解得 x1=x2=1,即 a=1. 由 h(x)=ln(x+2)可得 h(x)= 1 ?+2, 设 F(x)=h(x)-h(x)=ln(x+2)- 1 ?+2, 当 x=-1 时,F(-1)=-10,故-1b0. 由(x)=cos x(x(0,)可得(x)

9、=-sin x, 令 cos x=-sin x,得 sin x+cos x=0, 则 2sin ? + 4 =0, 又 x(0,),所以 x+ 4=,得 x= 3 4 ,即 c=3 4 . 综上可知,bac.故选 C. 6.AD根据函数 f(x)=Asin(x+)的图象知 A=2,? 4= 2 3 - 6= 2, T=2,=2 ? =1. 根据五点法画图知, 当 x= 6时,x+= 6+= 2+2k,kZ, | 2,= 3, f(x)=2sin ? + 3 , f(x)=2cos ? + 3 , g(x)=f(x)+f(x) =2sin ? + 3 +2cos ? + 3 =2 2sin ?

10、+ 3 + 4 =2 2sin ? + 7 12 , 令 x+7 12= 2+k,kZ, 解得 x=- 12+k,kZ, 函数 g(x)图象的对称轴方程为 x=- 12+k,kZ,A 正确; 当 x+7 12= 2+2k,kZ 时,函数 g(x)取得最大值 2 2,B 错误; g(x)=2 2cos ? + 7 12 , g(x)2 23, 不存在点 P,使得在 P 点处的切线与直线 l:y=3x-1 平行,C 错误; 方程 g(x)=2,即 2 2sin ? + 7 12 =2, sin ? + 7 12 = 2 2 , x+7 12= 4+2k,kZ 或 x+ 7 12= 3 4 +2k,

11、kZ, 方程的两个不同的解分别为 x1,x2时,|x1-x2|的最小值为 2,D 正确.故 选 AD. 7.答案- 1 2 1? 解析y= ? 1 1? = ?(1+ 1?) (1- 1?)(1+ 1?) =?(1+ 1?) 1(1?) =1+ 1 ?. 设 y=1+ ?,u=1-x, 则 yx=yuux=(1+ ?)(1-x) = 1 2 ?(-1)=- 1 2 1?. 8.答案1-ln 2 解析设 f(x)=ln x+2,g(x)=ln(x+1), 则 f(x)=1 ?,g(x)= 1 ?+1. 设 f(x)上的切点为(x1,y1),g(x)上的切点为(x2,y2), 则 k= 1 ?1=

12、 1 ?2+1,则 x2+1=x1. 又 y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1, 所以 k=?1-?2 ?1-?2=2, 故 x1=1 ?= 1 2,y1=ln 1 2+2=2-ln 2. 故 b=y1-kx1=2-ln 2-1=1-ln 2. 9.解析(1)由 f(x)=aexln x+?e ?-1 ? , 得 f(x)=(aexln x)+ ?e?-1 ? =aexln x+?e ? ? +?e ?-1x-be?-1 ?2 . (2)由题意得,切点既在曲线 y=f(x)上,又在切线 y=e(x-1)+2 上, 将 x=1 代入切线方程,得 y=2, 将 x=1 代入函数

13、 y=f(x),得 f(1)=b, 所以 b=2. 将 x=1 代入导函数 f(x)中, 得 f(1)=ae=e, 所以 a=1. 10.解析由 f(x)=3x+cos 2x+sin 2x, 得 f(x)=3-2sin 2x+2cos 2x, 则 a=f 4 =3-2sin 2+2cos 2=1. 由 y=x3得 y=3x2. 当 P 点为切点时,切线的斜率 k=3a2=312=3, 又 b=a3,b=1,切点 P 的坐标为(1,1), 曲线y=x3上以点P为切点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0. 当 P 点不是切点时,设切点坐标为(x0,?0 3), 此时切线的斜率 k=

14、3?0 2, 切线方程为 y-?0 3=3? 0 2(x-x0). P(a,b)在曲线 y=x3上,且 a=1, b=1,将 P(1,1)代入切线方程, 得 1-?0 3=3? 0 2(1-x0), 2?0 3-3? 0 2+1=0,2? 0 3-2? 0 2-? 0 2+1=0, (x0-1)2(2x0+1)=0, 解得 x0=-1 2(x0=1 舍去), 切点坐标为 - 1 2 ,- 1 8 , 又切线的斜率为 3 - 1 2 2=3 4, 切线方程为 y+1 8= 3 4 ? + 1 2 , 即 3x-4y+1=0. 综上,满足题意的切线方程为 3x-y-2=0 或 3x-4y+1=0.