8.1成对数据的统计相关性8.2一元线性回归模型及其应用(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册.ppt
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1、8.1成对数据的统计相关性 8.2一元线性回归模型及其应用 本资料分享自千人教师 QQ群483122854,期待 你的加入与分享 你知道“乌鸦叫,没好兆”这样的迷信说法的原因吗?日常生活中类 似这样的谚语,如“名师出高徒”“龙生龙,凤生凤,老鼠的孩子会打洞” 又能说明什么样的相关关系呢? 一、变量的相关关系 1.相关关系:两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精 确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系. 2.散点图:将样本中的每一个序号下的成对样本数据都用直角坐标 系中的点表示出来,由这些点组成的统计图叫做散点图. 3.正相关与负相关:如果从整体上看,当一个变量的值增加时,另一 个
2、变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关; 如果当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减少的趋势, 则称这两个变量负相关. 4.线性相关:一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而 且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关. 5.非线性相关:一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关, 那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 微练习 下列两个变量具有相关关系的是() A.角度和它的余弦值B.正方形的边长和面积 C.人的年龄与身高 D.人的身高和体重 解析:A,B具有确定性的函数关系;C无相关关系;一般地,身高越高, 体重越重,是相关关系.故选D.
3、答案:D 微思考 相关关系与函数关系有什么异同点? 提示:相同点:两者均是指两个变量的关系. 不同点:函数关系是一种确定的关系,如圆的面积S与半径r的关系, 它可以用函数关系式S=r2来表示;相关关系是一种非确定的关系, 如人的体重y与身高x有关,一般来说,身高越高,体重越重,但不能用 一个函数关系式来严格地表示它们之间的关系.函数关系是两个非 随机变量的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关 系.函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也 可能是伴随关系. 二、样本相关系数 对于变量x和变量y,设经过随机抽样获得的成对样本数据为 (x1,y1),(x2,y2),(xn,y
4、n),其中x1,x2,xn和y1,y2,yn的均值分别为 我们称r为变量x和变量y的样本相关系数. 名师点析样本相关系数r的性质 (1)当r0时,称成对数据正相关;当r0时,称成对数据负相关. (2)当|r|越接近1时,成对数据的线性相关程度越强;当|r|越接近0时, 成对数据的线性相关程度越弱. (3)样本相关系数r的取值范围为-1,1. 微练习 对于样本相关系数r,叙述正确的是() A.|r|(0,+),|r|越大,相关程度越强,反之,相关程度越弱 B.r(-,+),r越大,相关程度越强,反之,相关程度越弱 C.|r|1,|r|越接近于1,相关程度越强;|r|越接近于0,相关程度越弱 D.
5、以上说法都不对 解析:由样本相关系数的性质知,r-1,1,排除A,B;|r|越接近于1,相 关程度越强,|r|越接近于0,相关程度越弱,故选C. 答案:C 三、一元线性回归模型 我们称该式为Y关于x的一元线性回归模型.其 中,Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a和b为模型 的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随 机误差.如果e=0,那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来 描述. 四、一元线性回归模型参数的最小二乘估计 1.经验回归方程 2.残差与残差分析 对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方 程得到的 称为预测值,观测值
6、减去预测值称为残差.残差是随机 误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果, 以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为残差分 差. 3.在残差图中,当残差比较均匀地分布在横轴的两边,说明残差比较 符合一元线性回归模型的假定,是均值为0、方差为2的随机变量 的观测值.可见,通过观察残差图就可以直观判断模型是否满足一 元线性回归模型的假设. 微思考 在回归分析中,利用经验回归方程求出的值一定是真实值吗?为什 么? 提示:不一定是真实值.利用经验回归方程求出的值,在很多时候只 是预测值,例如,人的体重与身高存在一定的线性相关关系,但体重 除了受身高的影响外,还受其他因素的
7、影响,如饮食、是否喜欢运 动等. 微练习 (1)如果记录了x,y的几组数据分别为(0,1),(1,3),(2,5),(3,7),那么y关于 x的经验回归直线必过点() A.(2,2) B.(1.5,2) C.(1,2) D.(1.5,4) 经验回归直线必过点(1.5,4). 答案:D (2)若一个样本的总偏差平方和为80,残差平方和为60,则R2为 . 答案:0.25 样本相关系数的应用样本相关系数的应用 例1现随机抽取了某中学高一10名在校学生,他们入学时的数学成 绩x与入学后第一次考试的数学成绩y如下表: 学生号12345678910 x120 108 117 104 103 110 10
8、4 105 99108 y84648468696869465771 请问:这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相相关关系? 由此可看出这10名学生的两次数学成绩线性相关. 反思感悟 利用样本相关系数判断线性相关的求解策略 先计算样本相关系数r的值,再用|r|与0或1比较,进而对变量x与变量 y的相关关系作出判断. 变式训练1已知两个变量x和y的七组数据如下表: x21232527293235 y711212466115325 试判断x与y之间是否具有线性相关关系. 求经验回归方程求经验回归方程 例2某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得 下表数据: x681012 y235
9、6 (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,建立y关于x的经验回归方程; (3)试根据求出的经验回归方程,预测记忆力为9的同学的判断力. 解:(1)散点图如图: 反思感悟 1.求经验回归方程: 2.利用经验回归方程进行预测:把经验回归方程看作一次函数,求函 数值. 3.利用经验回归方程判断正、负相关:决定正相关还是负相关的是 变式训练2随着我国经济的发展,居民储蓄存款逐年增长.设某地区 城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表: 年份20152016201720182019 时间代号t12345 储 蓄 存 款 y/千亿元 567810 (1)建立y关于t的经验回归方程;
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