4.4　数学归纳法.pptx

1、第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 高中数学 选择性必修第二册 人教A版 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单的命题. 4.4*数学归纳法 本资料分享自千人教师 QQ群323031380 期待你 的加入与分享 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 1.数学归纳法的概念 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n=n0(n0N*)时命题成立; (2)(归纳递推)以“当n=k(kN*,kn0)时命题成立”为条件

2、,推出“当n=k+1 时命题也成立”. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 这种证明方法称为数学归纳法. |数学归纳法 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 2.数学归纳法的步骤 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.() 提示:与正整数n有关的数学命题的证明还能用其他方法. 2.证明与自然数n有关的命题时,只需当n取前几个值时命题正确即可.() 提示:由n取前几个值命题正确,推不出与自然数n有关的命题正确,是不完全归纳 法. 3.在利用数学

3、归纳法证明问题时,只要推理过程正确,也可以不用归纳假设.( ) 提示:数学归纳法的两个步骤缺一不可. 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” 。 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 4.用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.() 提示:有的证明问题第一步并不是验证当n=1时结论成立,如证明凸n边形的内角 和为(n-2)180,第一步要验证当n=3时结论成立,所以不正确. 5.用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式的项数不一定增加了一项.() 提示:正确.如用数学归纳法证明“1+a+a2+a2n+1=(a1)”时,由n=k到n

4、=k +1,增加了两项. 22 1- 1- n a a 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 1|利用数学归纳法证明等式 利用数学归纳法证明与正整数n有关的一些恒等式问题时,关键是看清等式两边 的项,弄清等式两边项的构成规律,进而利用当n=k(kn0,kN*)时的假设.证明恒 等式的一个重要技巧就是两边“凑”. 用数学归纳法证明等式时的步骤: 第一步:弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况,验证两边相等; 第二步:弄清从n=k到n=k+1时等式两端的项是如何变化的,即增加了哪些项,减少 了哪些项;利用这些变化规律,设法将待证式与归纳假设建立联系,并向n=k+1

5、时证 明目标的表达式进行变形,证明n=k+1时结论也成立. 由数学归纳法原理得到等式成立. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 用数学归纳法证明: +=(nN*). 1 24 1 46 1 6 8 1 2 (22)nn 4(1) n n 思路点拨 (1)验证当n=1时等式成立;(2)由n=k时等式成立推出n=k+1时等式也成立. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 证明(1)当n=1时,等式左边=, 等式右边=,等式左边=等式右边,所以等式成立. (2)假设当n=k(kN*)时等式成立, 即+=, 则当n=k+1时, +

6、=+ =. 所以当n=k+1时,等式也成立, 1 2 1 (2 12) 1 8 1 4 (1 1) 1 8 1 24 1 46 1 6 8 1 2 (22)kk 4(1) k k 1 24 1 46 1 6 8 1 2 (22)kk 1 2(1)2(1)2kk 4(1) k k 1 4(1)(2)kk (2)1 4(1)(2) k k kk 2 (1) 4(1)(2) k kk 1 4(2) k k 1 4(1)1 k k 由(1)(2)可知,对于任意nN*,等式都成立. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 2|用数学归纳法证明不等式 1.用数学归纳法证明与

7、自然数有关的不等式和证明与自然数有关的等式的方法 类似. 2.用数学归纳法证明不等式时需注意: (1)在应用归纳假设证明的过程中,方向不明确时,可采用分析法完成,经过分析找 到推证的方向后,再用综合法、比较法等其他方法证明. (2)在推证“当n=k+1时不等式也成立”的过程中,常常要将表达式作适当放缩变 形,便于应用归纳假设,变换出要证明的结论. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 用数学归纳法证明: 1+n(nN*). 1 2 1 3 1 2n 1 2 思路点拨 分别确定当n=1,n=k,n=k+1时不等式的左边的值,找到它们之间的关系,运用数学 归纳法证

8、题. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 证明(1)当n=1时,1+=,不等式成立. (2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立, 即1+k, 则当n=k+1时, 1+ 0),an=(n2,nN*). (1)用a表示a2,a3,a4; (2)猜想an的表达式(用a和n表示),并用数学归纳法证明. -1 -1 2 1 n n a a 思路点拨 利用递推公式求出a2,a3,a4,归纳出通项公式,再用数学归纳法证明结论. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 解析(1)由已知得,a2=,a3=,a4= . (2)因为a1=a=,a

9、2=, 所以猜想an=. 下面用数学归纳法证明: 当n=1时,因为a1=a=,所以当n=1时猜想成立. 假设当n=k(kN*)时猜想成立, 即ak=, 所以当n=k+1时, 1 1 2 1 a a 2 1 a a 2 2 2 1 a a 2 2 1 2 1 1 a a a a 4 13 a a 3 3 2 1 a a 4 2 13 4 1 13 a a a a 8 17 a a 0 0 2 1(2 -1) a a 1 1 2 1(2 -1) a a -1 -1 2 1(2-1) n n a a 0 0 2 1(2 -1) a a -1 -1 2 1(2-1) k k a a 第第1讲描述运动的

10、基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 ak+1= =, 所以当n=k+1时猜想也成立. 根据与可知,猜想对任意nN*都成立. 2 1 k k a a -1 -1 -1 -1 2 2 1(2-1) 2 1 1(2-1) k k k k a a a a -1-1 2 1(2-1)2 k kk a aa -1 2 122- k k a a a (1)-1 (1)-1 2 1 2-1 k k a a 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 已知数列an,an0,a1=0,+an+1-1=,求证:当nN*时,anan+1. 证明(1)由题意得,当n=1时,+a2-1=0, 因为an0,所以a2=,即a1a2成立. (2)假设当n=k(kN*)时,0ak0, 又an0,所以ak+2+ak+1+10, 所以ak+1ak+2,即当n=k+1时,anan+1也成立. 综上可知,anan+1对任意nN*都成立. 2 1n a 2 n a 2 2 a 5-1 2 2 1k a 2 k a 2 2k a 2 1k a