5.1.1　变化率问题.pptx

1、第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 高中数学 选择性必修第二册 人教A版 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 1.通过实例分析,经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程. 2.通过实例分析,经历由割线的斜率过渡到切线的斜率的过程. 3.通过函数图象直观理解瞬时速度以及切线的斜率. 5.1导数的概念及其意义 5.1.1变化率问题 本资料分享自千人教师 QQ群323031380 期待你 的加入与分享 第第1讲描述运动的基本概念讲描

2、述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 1.平均速度 设物体的运动规律是s=s(t),则物体在t0到t0+t这段时间内的平均速度为= . 2.瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. (2)一般地,当t无限趋近于0时,无限趋近于某个常数v,我们就说当t趋近于0 s t 00 ( )- ( ) s tt s t t s t 1 |瞬时速度 时,的极限是v,这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度,即瞬时速度v= =. s t 0 lim t s t 0 lim t 00 ( )- ( ) s tt s t

3、t 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 1.抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x),则抛物线上过点P0(x0,f(x0)、P(x0+x,f(x0+x)的割线的斜率为 =. 2.抛物线切线的斜率 一般地,在二次函数y=f(x)中,当x无限趋近于0时,无限趋近于某个常数k,我们 就说当x趋近于0时,的极限是k,这时k就是抛物线在点P0(x0,f(x0)处切线的斜 率,即切线的斜率k=. y x 00 ( )- () f xx f x x y x y x 0 lim x y x 0

4、 lim x 00 ( )- () f xx f x x 2 |抛物线切线的斜率 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 1.x趋近于0表示x=0.() 提示:x趋近于0,即x无限小,但不等于0,否则无意义. 2.瞬时速度是刻画某函数值在区间x1,x2上变化快慢的物理量.() 提示:函数值在区间x1,x2上变化快慢的物理量是平均变化率,不是瞬时速度. 3.平均速度与瞬时速度有可能相等.() 提示:位移与时间的关系为常数函数或一次函数时,平均速度与瞬时速度相等. 4.若直线与抛物线相

5、切,则直线与抛物线只有一个公共点.() 提示:直线与抛物线相切时,直线与抛物线的公共点是唯一的. 5.抛物线y=x2+1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是-3.() 提示:切线的斜率为=(4+x)=4,抛物线y=x2 +1在点P(2,5)处的切线方程为y-5=4(x-2),即y=4x-3.切线与y轴交点的纵坐标是-3. y x 0 lim x y x 0 lim x 22 (2 )1-(21) x x 0 lim x 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” 。 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导

6、数及其应用一次函数的导数及其应用 1|如何求瞬时速度 情境某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表 示. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 问题 1.如何求物体在1s到2s间的平均速度? 提示:s=s(2)-s(1)=7-3=4,=4. 2.如何求物体在t=1s时的瞬时速度? 提示:= =3+t, =(3+t)=3. 物体在t=1s时的瞬时速度为3m/s. s t (2)- (1) 2-1 ss s t (1 )- (1) st

7、 s t 22 (1 )(1 )1-(11 1) tt t 0 lim t s t 0 lim t 4 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 3.如何求物体的初速度? 提示:求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度. =1+t, (1+t)=1.物体在t=0时的瞬时速度为1m/s, s t (0 )- (0) st s t 2 (0 )(0 )1-1 tt t 0 lim t 即物体的初速度为1m/s. 4.物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s呢? 提示:设物体在t0时刻的瞬时

8、速度为9m/s. =2t0+1+t,=(2t0+1 +t)=2t0+1.则2t0+1=9,t0=4.则物体在t=4s时的瞬时速度为9m/s. s t 00 ( )- ( ) s tt s t t 22 0000 ( )( )1-(1) tttttt t 0 lim t s t 0 lim t 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 1.求运动物体瞬时速度的步骤 (1)求时间的改变量t和位移的改变量s=s(t0+t)-s(t0); (2)求平均速度=; (3)求瞬时速度,当t无限趋近

9、于0时,无限趋近的常数v即为瞬时速度,即v= . 2.物体的瞬时速度与平均速度是不同的概念,解题时要注意区分,混淆概念是解答 本类题的常见错误. v s t s t 0 lim t s t 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 若某物体的运动方程为s(t)=(s的单位为m,t的单位为s). (1)求物体在t3,5内的平均速度; (2)求物体的初速度v0; (3)求物体在t=1s时的瞬时速度. 2 2 32(3), 293( -3) (03) tt tt v 思路点拨 由时间所在的

10、范围确定函数解析式,计算“差、商、极限”,得到瞬时速度. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 解析(1)= =24(m/s). (2)物体在t=0附近某一时间段内的平均速度为= =3t-18, 物体在t=0时的瞬时速度为=-18(m/s), 物体的初速度v0=-18m/s. (3)物体在t=1s附近某一时间段内的平均速度为=3t-12, 物体在t=1s时的瞬时速度为=-12(m/s). v s t (5)- (3) 5-3 ss 22 3 52-(3 32) 2 s t (0

11、)- (0) st s t 22 293 (0 -3) -293 (0-3) t t 0 lim t s t s t (1 )- (1) st s t 0 lim t s t 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 易错警示 物体的运动方程是分段函数时,要根据自变量的取值范围确定函数的解析式,防 止选错解析式导致解题错误.求瞬时速度时要注意取“极限”的方法,计算时要 认真. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章

12、一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 一质点M按运动方程s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m;时间单位:s).若质点M在t= 2s时的瞬时速度为8m/s,求常数a. 解析s=s(2+t)-s(2)=a(2+t)2+1-(a22+1)=4at+a(t)2,=4a+at, =4a,即4a=8,a=2. s t 0 lim t s t 解题模板 求瞬时速度的关键是求“极限”,解题时将含有t的式子化到最简形式,将t 用0代入,可得到极限值. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及

13、其应用 2|求抛物线的割线、切线的斜率 1.求二次函数y=f(x)的图象过点P(x1,f(x1)、Q(x2,f(x2)的割线方程的步骤: (1)求割线的斜率:k=; (2)利用点斜式求出割线方程. 2.求二次函数y=f(x)的图象在点P(x0,f(x0)处的切线方程的步骤: (1)求切线的斜率:k=; (2)利用点斜式求出切线方程. 21 21 ()- ( ) - f xf x x x 0 lim x y x 0 lim x 00 ( )- () f xx f x x 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其

14、应用一次函数的导数及其应用 已知抛物线y=f(x)=2x2+1. (1)求抛物线在点P(1,3)处的切线方程; (2)若抛物线在某点处的切线的倾斜角为45,求该切点的坐标. 思路点拨 由“差、商、极限”求出抛物线在P点处切线的斜率,再由直线的点斜式方程求 出切线的方程.未知切点时可先设后求. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 解析(1)y=2(1+x)2+1-3=4x+2(x)2, =4+2x,切线的斜率为=4. 切线的方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0. (2)

15、设切点坐标为(x0,y0), 则y=2(x0+x)2+1-(2+1)=4x0 x+2(x)2, =4x0+2x,切线的斜率为=4x0. 又切线的斜率为k=tan45=1, 4x0=1,即x0=, y0=2+1=.切点坐标为. y x 0 lim x y x 2 0 x y x 0 lim x y x 1 4 2 1 4 9 8 1 9 , 4 8 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 解题模板 解决切线问题,应当从切点入手,在切点处当x无限趋近于0时,割线的斜率就 是切线的斜率,

16、因此先求函数值之差,进而求出割线的斜率,再将x无限趋近于0得 到切线的斜率,最后得到切线方程. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 过曲线y=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+x,2+y)作曲线的割线. (1)当x=1时,求割线的方程; (2)若割线的斜率为1,求Q点的坐标. 思路点拨 易知割线的斜率为,因此可由x的值得到割线的斜率,进而得到割线的方程;反 过来,可由割线的斜率得到x的值,进而求得点Q的坐标. y x 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 解析y=(1+x)2+1-(12+1)=2x+(x)2, =2+x,割线的斜率为2+x. (1)当x=1时,割线的斜率为2+x=3, 割线的方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0. (2)若割线的斜率为1,则2+x=1,解得x=-1, y=2x+(x)2=-1.Q点的坐标为(0,1). y x 解题模板 解决二次函数的割线问题,关键是将割线的斜率表示为x的函数,从而建 立条件与结论间的联系,使问题得到解决. y x