4.3.2　等比数列的前n项和公式.pptx

1、第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 高中数学 选择性必修第二册 人教A版 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式及其证明思路. 2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系,会用等比数列的前n项和公式 解决与等比数列有关的问题. 3.理解等比数列前n项和公式的函数特征,应用等比数列前n项和公式的有关性质 解题. 4.3.2等比数列的前n项和公式 本资料分享自千人教师 QQ群323031380 期待你 的加入与分享 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 已知量首项、公比与项数首项

2、、末项与公比 选用公式 Sn=Sn= 1 n 1 a (q1), a (1-q ) (q1) 1-q n 1 1n a (q1), a -a (q1) 1-q n q 1 |等比数列的前n项和公式 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 1.当公比q1时,设A=,等比数列的前n项和公式是Sn=A(qn-1),即Sn是n的指数型 函数. 2.当公比q=1时,因为a10,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函数. 1 -1 a q 2 |等比数列前n项和公式的函数特征 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 已知等比数列an的公比为q,

3、前n项和为Sn,则利用等比数列的通项公式及其 前n项和公式可推得Sn有如下性质: 1.Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,nN*. 2.当q-1或q=-1且k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,是等比数列. 3.设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n,则=q;若项数为2n+1, 则=q. 4.当q=1时,=;当q1时,=. S S 偶 奇 1 -Sa S 奇 偶 n m S S n m n m S S 1- 1- n m q q 3 |等比数列前n项和的性质 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 1.设Sn为数列an的前n项

4、和,若Sn=32n-3,则该数列是等比数列.() 提示:等比数列前n项和公式可以写成Sn=A-Aqn(q1)的形式,所以该数列是等比数 列. 2.已知数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.() 提示:当a=1时,Sn=n,结论不成立. 3.已知等比数列an的公比为,则该数列的前100项中,偶数项的和与奇数项的和 之比为25.() 提示:当等比数列的项数为2n时,=q,所以=. (1-) 1- n aa a 1 2 S S 偶 奇 S S 偶 奇 1 2 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” 。 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 4.已

5、知数列an为等比数列,其前n项和为Sn,则S10,S20-S10,S30-S20,仍构成等比数列. () 提示:当公比为-1时不成立. 5.已知等比数列an是递增数列,其前n项和为Sn,则Sn也是递增数列.() 提示:当a10,0q1时,等比数列an是递增数列,此时an0,qn-2=0,即q=. a1=2(-1), S4n=215=30. 解法二:设等比数列an的首项为a1,公比为q,注意到四个选项都是具体的数值, 1(1- ) 1- n aq q 3 1(1- ) 1- n aq q 2 n (1- ) 1- n n Sq q 2 n 4 1(1- ) 1- n aq q 4 2( 2-1)

6、(1-2 ) 1- 2 n n 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 S4n是一个与n无关的定值,不妨令n=1, 由解法一知,q1,则a1=S1=2,S3=14, 3 1(1- ) 1- aq q 即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3. an0,q=2,S4=215=30. 解法三:设等比数列an的首项为a1,公比为q,由解法一知,q1,则S4n= =+qn=Sn+qnS3n. 这个式子表示了S4n,Sn,S3n之间的关系, 要求S4n,只需求出qn即可. 4 1(1- ) 1- aq q 4 1(1- ) 1- n aq q 3 1(1- )(1-) 1

7、- nnn aqqq q 1(1- ) 1- n aq q 3 1(1- ) 1- n aq q 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 由于S3n=(a1+a2+an)+(an+1+an+2+a2n)+(a2n+1+a2n+2+a3n)=Sn+qnSn+q2nSn=Sn(1+qn+ q2n), =1+qn+q2n=7,q2n+qn-6=0,解得qn=2或qn=-3. an0,qn=2,S4n=Sn+qnS3n=2+214=30. 3n n S S 解法四:由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,成等比数列,且Sn=2,S3n=14,得(S2n-2

8、)2=2(14-S2n), 即-2S2n-24=0,解得S2n=6或S2n=-4,an0,S2n=6.又=2,S4n-S3n=Sn2 3=16,S 4n=S3n+16=30. 2 2n S 2 - nn n SS S 6-2 2 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 解题模板 通过对比四种解题方法,可以发现:解法一思路简便,但运算量过大;解法二采 用特殊值法,使问题简单化;解法三思路略显复杂;解法四应用等比数列前n项和的 性质,简化运算,且思路清晰. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 3|与等比数列有关的数列求和 1.数列

9、求和要先求数列的通项公式,通过观察通项公式的特点,选择合适的求和方 法.注意各求和方法的使用条件及注意事项.一般地,若an,bn中一个是等差数 列,一个是等比数列,则常用错位相减法求数列anbn的前n项和,常用分组求和法 求数列anbn的前n项和. 2.错位相减法 已知数列an为等差数列,数列bn为等比数列,由这两个数列中项数相同的项的 乘积组成的新数列为anbn,在求该数列的前n项和时,常常将anbn的各项乘bn 的公比q,并向后错位一项,与anbn中q的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的 求和,这种求数列前n项和的方法称为错位相减法.若公比不确定,则需对其进行分 类讨论. 第第1讲描述运

10、动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 求和过程如下:设数列anbn的前n项和是Sn,等差数列an的首项是a1,公差是d,等 比数列bn的首项是b1,公比是q,则 当q=1时,Sn=b1(a1+a2+an)=b1; 当q1时,Sn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn =a1b1+a2b1q+a3b1q2+anb1qn-1, qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+an-1b1qn-1+anb1qn, Sn-qSn=a1b1+(a2-a1)b1q+(a3-a2)b1q2+(an-an-1)b1qn-1-anb1qn. 由等差数列的定义知a2-a1=a3-a2=an-

11、an-1=d, (1-q)Sn=a1b1+db1q+db1q2+db1qn-1-anb1qn =a1b1+db1(q+q2+qn-1)-anb1qn, q1,Sn=+db1. 1 () 2 n n aa 1 11 - 1- n n ab a bq q -1 2 (1-) (1- ) n qq q 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 设an是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4. (1)求an的通项公式; (2)设bn是首项为1,公差为2的等差数列,求数列an+bn的前n项和Sn. 解析(1)设等比数列an的公比为q(q0), 则由a1=2,a3=a

12、2+4得2q2=2q+4,即q2-q-2=0, 解得q=2或q=-1(舍去). an的通项公式为an=22n-1=2n. (2)Sn=+=2n+1+n2-2. 2(1-2 ) 1-2 n ( -1) 12 2 n n n 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 已知数列an满足an=2an-1+2n-1(nN*,且n2),a4=81. (1)求数列an的前三项a1,a2,a3; (2)若数列为等差数列,求实数p的值; (3)求数列an的前n项和Sn. 2 n n ap 思路点拨 (1)由an=2an-1+2n-1及a4=81,递推出a3,a2,a1的值. (2)

13、利用等差数列的定义,求出p的值. (3)求出an错位相减法求Sn. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 解析(1)由an=2an-1+2n-1(nN*,且n2), 得a4=2a3+24-1=81,得a3=33, 同理,得a2=13,a1=5. (2)数列为等差数列,且-=1-(n2,n N*), 1-是与n无关的常数,1+p=0,即p=-1. (3)由(2)知,等差数列的公差为1, =+(n-1)=n+1, an=(n+1)2n+1. 2 n n ap 2 n n ap -1 -1 2 n n ap -1 -2- 2 nn n aap2 -1- 2 n n p1 2n p 1 2n p -1 2 n n a -1 2 n n a 1-1 2 a 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 Sn=a1+a2+an=22+322+423+(n+1)2n+n, 记Tn=22+322+423+(n+1)2n, 则2Tn=222+323+424+n2n+(n+1)2n+1, -,得-Tn=22+(22+23+2n)-(n+1)2n+1 =4+-(n+1)2n+1=-n2n+1, Tn=n2n+1,Sn=n2n+1+n=n(2n+1+1). 1 4-2 1-2 n