4.5.2　用二分法求方程的近似解.pptx

1、本资料分享本资料分享 自千人教师自千人教师 QQ群群 323031380 期期 待你的加入待你的加入 与分享与分享 ？ 4.5.2用二分法求方程的近似解 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.了解二分法的概念了解二分法的概念. 2.掌握用二分法求方程近似解的步骤掌握用二分法求方程近似解的步骤. 3.体会具体问题中数学运算的过程体会具体问题中数学运算的过程,提高数学运提高数学运 算能力算能力. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、二分法一、二分法 【问题思考】【问题

2、思考】 1.某电视台有一档节目是这样的某电视台有一档节目是这样的:主持人让选手在限定时间主持人让选手在限定时间 内猜某一物品的售价内猜某一物品的售价,如果猜中如果猜中,就把物品奖给选手就把物品奖给选手.某次猜一某次猜一 种品牌的手机种品牌的手机,手机价格在手机价格在5001 000元之间元之间,选手开始选手开始报价报价 1 000 元元,主持人说高了主持人说高了.紧接着报价紧接着报价900元元,高了高了;700元元,低了低了; 880元元,高了高了;850元元,低了低了;851元元,恭喜你恭喜你,猜中了猜中了.表面上看猜价表面上看猜价 格具有很大的碰运气的成分格具有很大的碰运气的成分,实际上实

3、际上,游戏报价过程体现了游戏报价过程体现了“逐逐 步逼近步逼近”的思想的思想,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价 吗吗? ？ 提示提示:取价格区间取价格区间500,1 000的中间值的中间值750,如果主持人说低了如果主持人说低了, 就再取就再取750,1 000的中间值的中间值875;否则取另一个区间否则取另一个区间500,750 的中间值的中间值;若遇到中间值为小数若遇到中间值为小数,则取整数则取整数,按照这种方案按照这种方案,游游 戏过程猜价如下戏过程猜价如下:750,875,812,843,859,851,大约经过大约经过6次可以次可以 猜中价

4、格猜中价格. ？ 2.填空填空:对于在区间对于在区间a,b上图象连续不断上图象连续不断且且 f(a)f(b)0的函数的函数 y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间通过不断地把它的零点所在区间一分为二一分为二,使所得区间使所得区间 的两个端点逐步逼近的两个端点逐步逼近零点零点,进而得到零点进而得到零点近似值近似值的方法叫做的方法叫做 二分法二分法. ？ 3.做一做做一做:下列函数图象与下列函数图象与x轴均有公共点轴均有公共点,其中能用二分法求其中能用二分法求 零点的是零点的是() ？ 解析解析:只有选项只有选项C中零点左右的函数值符号相反中零点左右的函数值符号相反,且函数的图且函数的图 象连

5、续象连续,可以利用二分法求解可以利用二分法求解. 答案答案:C ？ 二、用二分法求方程的近似解二、用二分法求方程的近似解 【问题思考】【问题思考】 1.我们已经知道我们已经知道f(x)=ex-3x的零点在区间的零点在区间(1,2)内内,如何缩小零如何缩小零 点所在区间的范围点所在区间的范围? 提示提示:(1)取区间取区间(1,2)的中点的中点1.5;(2)计算计算f(1.5)的值的值,用计算器算用计算器算 得得f(1.5)-0.018.因为因为f(1.5)f(2)0,所以零点在区间所以零点在区间(1.5,2)内内. ？ 2.填空填空:给定精确度给定精确度,用二分法求函数用二分法求函数y=f(x

6、)零点零点x0的近似值的近似值 的一般步骤如下的一般步骤如下 (1)确定零点确定零点x0的的初始区间初始区间a,b,验证验证 f(a)f(b)0 . (2)求区间求区间a,b的的中点中点c . (3)计算计算 f(c) ,并进一步确定零点所在的区间并进一步确定零点所在的区间: 若若f(c)=0(此时此时x0=c),则则 c 就是就是函数的零点函数的零点; 若若f(a)f(c)0(此时此时x0(a,c),则则令令 b=c ; 若若f(c)f(b)0(此时此时x0(c,b),则则令令 a=c . (4)判断是否达到精确度判断是否达到精确度:若若 |a-b| ,则得到零点近似值则得到零点近似值a(或

7、或 b);否则重复步骤否则重复步骤(2)(4). ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)用二分法求出方程的解一定是近似解用二分法求出方程的解一定是近似解.( ) (2)函数函数f(x)=|x|的零点可以用二分法求解的零点可以用二分法求解.( ) (3)用二分法求函数零点的近似值时用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后每次等分区间后,零点必零点必 定在右侧区间内定在右侧区间内.( ) (4)若给定的精确度为若给定的精确度为0.001,则当则当|a-b|0.001时即可得到零

8、点时即可得到零点 近似值近似值.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 对对二分法概念的理解二分法概念的理解 【例【例1】 已知函数已知函数f(x)的图象如图所示的图象如图所示,其中零点的个数与可其中零点的个数与可 以用二分法求解的个数分别为以用二分法求解的个数分别为() A.4,4B.3,4 C.5,4D.4,3 解析解析:函数的图象与函数的图象与x轴一共有轴一共有4个交点个交点,因此函数有因此函数有4个零点个零点. 其中左右函数值异号的零点只有其中左右函数值异号的零点只有3个个,即可以用二分法求解的即可以用二分法求解的 零点有零点有3个个,故选故选D. 答案答案:D

9、 ？ 反思感悟反思感悟 判断判断一个函数的零点能否用二分法求解的依据一个函数的零点能否用二分法求解的依据:该函数图象该函数图象 在零点附近是连续不断的在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点且该零点为变号零点(即零点两侧即零点两侧 的函数值异号的函数值异号).对于函数的不变号零点对于函数的不变号零点,不能用二分法求解不能用二分法求解. ？ 【变式训练【变式训练1】 下面关于二分法的叙述中下面关于二分法的叙述中,正确的是正确的是() A.用二分法可求所有函数零点的近似值用二分法可求所有函数零点的近似值 B.用二分法求方程的近似解时用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位可以精确到小

10、数点后的任一位 C.二分法无规律可循二分法无规律可循,无法在计算机上完成无法在计算机上完成 D.只能用二分法求函数的零点只能用二分法求函数的零点 解析解析:用二分法求函数零点的近似值用二分法求函数零点的近似值,需要有端点函数值符号需要有端点函数值符号 相反的区间相反的区间,故选项故选项A错误错误;二分法是一种程序化的运算二分法是一种程序化的运算,故可故可 以在计算机上完成以在计算机上完成,故选项故选项C错误错误;求函数零点的方法还有方程求函数零点的方法还有方程 法、函数图象法等法、函数图象法等,故选项故选项D错误错误. 答案答案:B ？ 探究探究二二 二分法二分法取中点的次数问题取中点的次数问

11、题 【例【例2】 若函数若函数f(x)在区间在区间(1,2)内有内有1个零点个零点,要使零点的近要使零点的近 似值满足的精确度为似值满足的精确度为0.01,则对区间则对区间(1,2)至少二等分至少二等分() A.5次次B.6次次 C.7次次D.8次次 ？ 答案答案:C ？ 反思感悟反思感悟 ？ 【变式训练【变式训练2】 在用二分法求方程的近似解时在用二分法求方程的近似解时,若初始区间若初始区间 的长度为的长度为1,精确度为精确度为0.05,则取中点的次数不小于则取中点的次数不小于. 答案答案:5 ？ 探究探究三三 用用二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解 【例【例3】 求函数求函数f(x)

12、=x3-3x2-9x+1的一个负数零点的一个负数零点.(精确度为精确度为 0.01) 解解:确定一个包含负数零点的区间确定一个包含负数零点的区间(m,n),且且f(m)f(n)0,f(-2)0,所以可取区间所以可取区间(-2,-1)作为计算的初始区间作为计算的初始区间. 用二分法逐步计算用二分法逐步计算,列表如下列表如下: ？ 因为因为|-1.929 687 5+1.937 5|=0.007 812 50.01,所以函数的一个所以函数的一个 负数零点近似值可取为负数零点近似值可取为-1.929 687 5. ？ 若将本例中的函数改为若将本例中的函数改为“f(x)=x3+2x2-3x-6”,请求

13、出该函数的请求出该函数的 正数零点正数零点?(精确度为精确度为0.1) 解解:确定一个包含正数零点的区间确定一个包含正数零点的区间(m,n), 且且f(m)f(n)0. 因为因为f(0)=-60,f(1)=-60,所以可取区间所以可取区间(1,2)作为计作为计 算的初始区间算的初始区间. 用二分法逐步计算用二分法逐步计算,列表如下列表如下: ？ 因为因为|1.75-1.687 5|=0.062 50.1,所以函数的正数零点的近似所以函数的正数零点的近似 值可取为值可取为1.687 5. ？ 反思感悟反思感悟 用用二分法求函数零点近似值的步骤可以概括如下二分法求函数零点近似值的步骤可以概括如下

14、？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ 对精确度理解不清致错对精确度理解不清致错 【典例】【典例】 用二分法求方程用二分法求方程x2-5=0的一个近似正解的一个近似正解.(精确度精确度0.1) 错解错解:令令f(x)=x2-5. 因为因为f(2.2)=-0.160, 所以所以f(2.2)f(2.4)0, 因为因为f(2.2)f(2.3)0, ？ 因为因为f(2.2)f(2.25)0, 所以所以x0(2.2,2.25). 取区间取区间(2.2,2.25)的中点的中点x3=2.225, 因为因为f(2.225)-0.049 40, 且且|0.006 4-(-0.049 4)|=0.055 80.1, 所以

15、原方程的近似正解可取为所以原方程的近似正解可取为2.237 5. ？ 以上解题过程中都有哪些错误以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么 ?你如何你如何 改正改正?你如何防范你如何防范? 提示提示:错解是由于对精确度的理解不清而导致的错解是由于对精确度的理解不清而导致的,误认为精确误认为精确 度度应满足应满足|f(a)-f(b)|,事实上事实上,精确度精确度是指是指|a-b|. ？ 正解正解:令令f(x)=x2-5. 因为因为f(2.2)=-0.160, 所以所以f(2.2)f(2.4)0, 因为因为f(2.2)f(2.3)0, 因为因为f(2.2)f(2.25)0, 所以

16、所以x0(2.2,2.25). 由于由于|2.25-2.2|=0.050.1, 所以原方程的近似正解可取为所以原方程的近似正解可取为2.25. ？ 防范措施防范措施 用用二分法求函数零点的近似值或方程的近似解时二分法求函数零点的近似值或方程的近似解时,务必弄清务必弄清 楚精确度的要求楚精确度的要求,以便确定计算以便确定计算(取中点取中点)的次数的次数,从而求得近从而求得近 似值似值. ？ 【变式训练】【变式训练】 某方程在区间某方程在区间(2,4)内有一无理根内有一无理根,若用二分法若用二分法 求此根的近似值求此根的近似值,要使所得的近似值的精确度达到要使所得的近似值的精确度达到0.1,则应将

17、则应将 区间区间(2,4)等分的次数至少是等分的次数至少是. 答案答案:5 ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.下列函数图象与下列函数图象与x轴均有交点轴均有交点,其中不能用二分法求图中函其中不能用二分法求图中函 数的零点的是数的零点的是() ？ 解析解析:二分法的理论依据是函数零点存在定理二分法的理论依据是函数零点存在定理,必须满足零点必须满足零点 两侧的函数值异号才能求解两侧的函数值异号才能求解. 答案答案:B ？ 2.用二分法求函数用二分法求函数f(x)在区间在区间(a,b)内的唯一零点时内的唯一零点时,精确度为精确度为 0.001,则结束计算的条件是则结束计算的条件是() A.|a-b

18、|0.1B.|a-b|0.001 D.|a-b|=0.001 解析解析:据二分法的步骤知当区间长度据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于精确度小于精确度时时,便可便可 结束计算结束计算. 答案答案:B ？ 解析解析:因为因为f(2)f(3)0,所以零点在区间所以零点在区间(2,3)内内. 答案答案:(2,3) ？ 4.某同学在借助计算器求某同学在借助计算器求“方程方程lg x=2-x的近似解的近似解(精确度为精确度为 0.1)”时时,设设f(x)=lg x+x-2,算得算得f(1)0;在以下过程中在以下过程中,他用他用 “二分法二分法”又取了又取了4个个x的值的值,计算了其函数值的正负计算了其函数值的正负,并得出方并得出方 程的近似解是程的近似解是x1.8,则他取的则他取的x的的4个值依次是个值依次是. 解析解析:第一次用二分法计算得区间第一次用二分法计算得区间(1.5,2), 第二第二次得区间次得区间(1.75,2),第三次得区间第三次得区间(1.75,1.875), 第四第四次得区间次得区间(1.75,1.812 5). 答案答案:1.5,1.75,1.875,1.812 5