4.4第3课时　不同函数增长的差异.pptx

1、本资料分享本资料分享 自千人教师自千人教师 QQ群群 323031380 期期 待你的加入待你的加入 与分享与分享 ？ 4.4对数函数对数函数 第第3课时课时不同函数增长的差异不同函数增长的差异 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.了解一次函数、指数函数、对数函数增长的了解一次函数、指数函数、对数函数增长的 差异差异. 2.能够运用不同函数增长的差异解决实际问题能够运用不同函数增长的差异解决实际问题. 3.感受数学抽象以及数学直观的作用感受数学抽象以及数学直观的作用,提高数学提高数学 建模能力建模能力. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 思思 想想 方

2、方 法法 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、一次函数与指数函数增长的差异一、一次函数与指数函数增长的差异 【问题思考】【问题思考】 1.在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y=2x,y=2x的图象的图象,观察图象观察图象 思考下列问题思考下列问题: (1)这两个函数在区间这两个函数在区间(0,+)内的单调性是怎样的内的单调性是怎样的? 提示提示:都是单调递增的都是单调递增的. (2)当当x趋于无穷大时趋于无穷大时,在这两个函数中在这两个函数中,哪一个函数的增长速哪一个函数的增长速 度快度快?哪一个慢哪一个慢? 提示提示:函数函数y=2x增长速

3、度快增长速度快,函数函数y=2x增长速度慢增长速度慢. ？ 2.填空填空:一般地一般地,指数函数指数函数y=ax(a1)与一次函数与一次函数y=kx(k0)的增的增 长速度不同长速度不同,即使即使k的值远大于的值远大于a的值的值,y=ax(a1)的增长速度最的增长速度最 终会大大终会大大超过超过 y=kx(k0)的增长速度的增长速度. ？ 二、一次函数与对数函数增长的差异二、一次函数与对数函数增长的差异 【问题思考】【问题思考】 1.在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y=2x,y=log2x的图象的图象,观察图观察图 象思考下列问题象思考下列问题: (1)这两个函数在区间这两

4、个函数在区间(0,+)内的单调性是怎样的内的单调性是怎样的? 提示提示:都是单调递增的都是单调递增的. (2)当当x趋于无穷大时趋于无穷大时,在这两个函数中在这两个函数中,哪一个函数的增长速哪一个函数的增长速 度快度快?哪一个慢哪一个慢? 提示提示:函数函数y=2x增长速度快增长速度快,函数函数y=log2x增长速度慢增长速度慢. ？ 2.填空填空:一般地一般地,虽然对数函数虽然对数函数y=logax(a1)与一次函数与一次函数 y=kx(k0)在区间在区间(0,+)内都单调递增内都单调递增,但它们的但它们的增长速度增长速度 不同不同.随着随着x的增大的增大,一次函数一次函数y=kx(k0)保

5、持固定的增长速度保持固定的增长速度, 而对数函数而对数函数y=logax(a1)的增长速度的增长速度越来越慢越来越慢.不论不论a的值比的值比k 的值大多少的值大多少,在一定范围内在一定范围内,logax可能会大于可能会大于kx,但由于但由于logax的的 增长慢于增长慢于kx的增长的增长,因此总存在一个因此总存在一个x0,当当xx0时时,恒有恒有 logax1,k0时时,在区间在区间(0,+)内内,对任意的对任意的x,总有总有logaxkx1)中中,底数底数a越大越大,其增长速度越快其增长速度越快.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 不同不同函数的增长特点及其应用函

6、数的增长特点及其应用 【例【例1】 下列函数中下列函数中,增长速度最快的是增长速度最快的是() A.y=2 019xB.y=2 019x C.y=log2 019xD.y=2 018x 解析解析:在一次函数、指数函数、对数函数中增长速度最快的在一次函数、指数函数、对数函数中增长速度最快的 是指数函数是指数函数,又因为又因为2 0192 018,所以所以y=2 019x比比y=2 018x的增的增 长速度更快长速度更快,因此选因此选B. 答案答案:B ？ ？ 反思感悟反思感悟 常见常见函数模型的增长特点函数模型的增长特点 (1)线性函数模型线性函数模型y=kx+b(k0)的增长特点是直线上升的增

7、长特点是直线上升,其增长其增长 速度不变速度不变; (2)指数函数模型指数函数模型y=ax(a1)的增长特点是随着自变量的增大的增长特点是随着自变量的增大, 函数值增大的速度越来越快函数值增大的速度越来越快,形象地称为形象地称为“指数爆炸指数爆炸”; (3)对数函数模型对数函数模型y=logax(a1)的增长特点是随着自变量的增的增长特点是随着自变量的增 大大,函数值增大的速度越来越慢函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓即增长速度平缓; (4)幂函数模型幂函数模型y=xn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增的增长速度介于指数增长和对数增 长之间长之间. ？ 探究探究二二 函数函数模型的选

8、择模型的选择 【例【例2】 某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求,对超对超 市的商品种类做了一定的调整市的商品种类做了一定的调整,结果调整初期的利润增长迅结果调整初期的利润增长迅 速速,随着时间的推移随着时间的推移,增长速度越来越慢增长速度越来越慢.如果建立恰当的函数如果建立恰当的函数 模型来反映该超市调整后利润模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量与售出商品的数量x的关系的关系, 那么可选用那么可选用() A.一次函数一次函数B.二次函数二次函数 C.指数型函数指数型函数 D.对数型函数对数型函数 ？ 解析解析:在四个函数中在四个函数中,选项选项

9、A的增长速度不变的增长速度不变,选项选项B,C的增长的增长 速度越来越快速度越来越快,其中选项其中选项C的增长速度比选项的增长速度比选项B的增长速度更的增长速度更 快快,选项选项D的增长速度越来越慢的增长速度越来越慢,故只有选项故只有选项D能正确反映能正确反映y与与x 的关系的关系. 答案答案:D ？ 反思感悟反思感悟 根据根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确 的函数模型的函数模型.同时同时,要注意利用函数图象的直观性来确定适合要注意利用函数图象的直观性来确定适合 题意的函数模型题意的函数模型. ？ 【变式训练【变式训练1】 四个

10、变量四个变量y1,y2,y3,y4随变量随变量x变化的数据如表变化的数据如表: 关于关于x呈指数函数变化的变量是呈指数函数变化的变量是. ？ 解析解析:以爆炸式增长的变量呈指数函数变化以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看从表格中可以看 出出,四个变量四个变量y1,y2,y3,y4均是从均是从2开始变化开始变化,且都是越来越大且都是越来越大,但但 是增长速度不同是增长速度不同,其中变量其中变量y2的增长速度最快的增长速度最快,可知变量可知变量y2关关 于于x呈指数函数变化呈指数函数变化. 答案答案:y2 ？ 探究探究三三 函数函数不同增长特点在实际问题中的应用不同增长特点在实际问题中

11、的应用 【例【例3】 某企业常年生产一种出口产品某企业常年生产一种出口产品,最近几年以来最近几年以来,该产该产 品的产量平稳增长品的产量平稳增长.记记2015年为第年为第1年年,且前且前4年中年中,第第x年与年年与年 产量产量f(x)(单位单位:万件万件)之间的关系如下表所示之间的关系如下表所示: ？ (1)找出你认为最适合的函数模型找出你认为最适合的函数模型,并说明理由并说明理由,然后选取表中然后选取表中 你认为最适合的数据并求出相应的解析式你认为最适合的数据并求出相应的解析式; (2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响因遭受某国对该产品进行反倾销的影响,2020年的年产量年的年产量 比预计

12、减少比预计减少30%,试根据所建立的函数模型试根据所建立的函数模型,确定确定2020年的年年的年 产量产量. ？ ？ ？ 反思感悟反思感悟 1.此类问题求解的关键是利用待定系数法求出相关的函数模此类问题求解的关键是利用待定系数法求出相关的函数模 型型,也就是借助数据信息也就是借助数据信息,得到相关方程得到相关方程,进而求出待定参数进而求出待定参数. 2.函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容, 解题的关键在于通过对已知数据的分析解题的关键在于通过对已知数据的分析,得出重要信息得出重要信息,根据根据 解题积累的经验解题积累的经验,从已

13、有的各类型函数中选择模拟从已有的各类型函数中选择模拟,进行数据进行数据 的拟合的拟合. ？ 【变式训练【变式训练2】 某跨国饮料公司在对全世界所有人均某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在在 0.5千美元千美元8千美元的地区销售该公司千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时饮料的情况调查时 发现发现:该饮料在人均该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多处于中等的地区销售量最多,然后向然后向 两边递减两边递减. (1)给出以下几个模拟函给出以下几个模拟函 数数:y=ax2+bx;y=kx+b;y=logax+b;y=ax+b(x表示人均表示人均 GDP,单位单位:千美元千美元,y表示年人均表

14、示年人均A饮料的销售量饮料的销售量,单位单位:L).用哪用哪 个模拟函数来描述人均个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均饮料销售量与地区的人均GDP关系关系 更合适更合适?说明理由说明理由. ？ (2)若人均若人均GDP为为1千美元时千美元时,年人均年人均A饮料的销售量为饮料的销售量为2 L,人人 均均GDP为为4千美元时千美元时,年人均年人均A饮料的销售量为饮料的销售量为5 L,把把(1)中你中你 所选的模拟函数求出来所选的模拟函数求出来,并求出年人均并求出年人均A饮料的销售量最多是饮料的销售量最多是 多少多少? ？ 解解:(1)用用来模拟比较合适来模拟比较合适.因为该饮料在人均因为该

15、饮料在人均GDP处于中等处于中等 的地区销售量最多的地区销售量最多,然后向两边递减然后向两边递减.而而,表示的函数在表示的函数在 区间上是单调函数区间上是单调函数,所以所以,都不合适都不合适,故用故用来模拟比较来模拟比较 合适合适. ？ ？ 思思 想想 方方 法法 ？ 数形结合在函数增长差异中的应用数形结合在函数增长差异中的应用 【典例】【典例】 已知函数已知函数f(x)=2x和和g(x)=x3的图象如图所示的图象如图所示,设这两设这两 个函数的图象交于点个函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且且x1g(1),f(2)g(2),f(9)g(10), 所以所以1x12,9x210

16、,因此因此x16x2. 从题中图象上可以看出从题中图象上可以看出,当当x1xx2时时,f(x)g(x),所以所以f(6)x2时时,f(x)g(x), 所以所以f(2 019)g(2 019). 又又g(2 019)g(6), 故故f(2 019)g(2 019)g(6)f(6). ？ 方法点睛方法点睛 1.函数值的大小关系以及函数的增长特点都可以通过函数的函数值的大小关系以及函数的增长特点都可以通过函数的 图象直观地显现出来图象直观地显现出来,因此通过数形结合可以直观地解决函因此通过数形结合可以直观地解决函 数值的大小比较问题数值的大小比较问题. 2.函数在它们图象交点处的函数值相等函数在它们

17、图象交点处的函数值相等,在两个交点之间在两个交点之间,图图 象的高低表示了函数值的大小象的高低表示了函数值的大小. ？ ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.下列函数中下列函数中,随随x的增长而增长的增长而增长,最快的是最快的是() A.y=2xB.y=ln x C.y=x2D.y=ex 解析解析:因为因为y=ex和和y=2x同为指数函数同为指数函数,且且e2, 所以所以y=ex的增长速度最快的增长速度最快. 答案答案:D ？ 2.下表是函数值下表是函数值y随自变量随自变量x变化的一组数据变化的一组数据,由此判断它最可由此判断它最可 能的函数模型是能的函数模型是() A.一次函数一次函数B.二次

18、函数二次函数 C.指数函数指数函数D.对数函数对数函数 解析解析:自变量每增加自变量每增加1,函数值增加函数值增加2,函数值的增量是不变的函数值的增量是不变的, 故为一次函数模型故为一次函数模型. 答案答案:A ？ 3.能使不等式能使不等式log2xx24时时,log2xx22x,故选故选D. 答案答案:D ？ 4.某企业为了实现某企业为了实现60万元的利润目标万元的利润目标,准备制定一个奖励方案准备制定一个奖励方案: 在利润达到在利润达到5万元时万元时,按利润进行奖励按利润进行奖励,且资金且资金y(单位单位:万元万元)随随 利润利润x(单位单位:万元万元)的增加而增加的增加而增加,但资金总数

19、不超过但资金总数不超过3万元万元,同同 时奖金不超过利润的时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x, y=1.02x,其中哪个模型符合该企业的要求其中哪个模型符合该企业的要求? ？ 解解:借助工具画出函数借助工具画出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象如图的图象如图 所示所示. 观察图象可知观察图象可知,在区间在区间5,60上上,y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部的图象都有一部 分在直线分在直线y=3的上方的上方,只有只有y=log5x的图象始终在的图象始终在y=3和和y=0.2x 的下方的下方,这说明只有按模型这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合企业的要进行奖励才符合企业的要 求求.