高考数学培优专题库教师版第52讲 数形结合.doc
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1、高考数学培优专题库教师版 第五十二讲数形结合 A 组 一、选择题 1. 函数 f(x)= ) 1|(| ) 1|(|1 2 xx xx ,如果方程 f(x)=a 有且只有一个实根,那么 a 满足() A.a0B.0a1 答案:C 解析:由图知 a=1 时,图象只有一个交点,故选 C. 2.已知函数 f(x)x2ex1 2(x0 时,yf(x)与 yg(x)的图象有交点,即 g(x)f(x)有正解,即 x2ln(x a)(x)2e x1 2有正解,即 e xln(xa)1 20 有正解,令 F(x)e xln(xa)1 2,则 F(x)e x 1 xa0,故函数 F(x)e xln(xa)1 2
2、在(0,)上是单调递减的,要使方程 g(x)f(x)有正解,则存 在正数 x 使得 F(x)0,即 e xln(xa)1 20,所以 a 1 e 2 e x x ,又 y 1 e 2 e x x 在(0,)上单调递减, 所以 a0),若圆C上存在点P,使得APB 90,则m的最大值为() A.7B.6C.5D.4 答案:B 解析.根据题意,画出示意图,如图所示, 高考数学培优专题库教师版 则圆心C的坐标为(3,4),半径r1,且|AB|2m. 因为APB90,连接OP,易知|OP|1 2|AB|m. 要求m的最大值, 即求圆C上的点P到原点O的最大距离. 因为|OC| 3 2425,所以|OP
3、| max|OC|r6, 即m的最大值为 6. 4.设平面点集A(x,y)|(yx)(y1 x)0,B(x,y)|(x1) 2(y1)21,则 AB所表示 的平面图形的面积为() A.3 4 B.3 5 C.4 7 D. 2 答案:D 解析:因为对于集合A,(yx) y1 x0, 所以 yx0, y1 x0 或 yx0, y1 x0, 其表示的平面区域如图. 对于集合B,(x1) 2(y1)21 表示以(1,1)为圆心,1 为半径的圆及其内部区域,其面积为. 由题意意知AB所表示的平面图形为图中阴影部分, 曲线y1 x与直线 yx将圆(x1) 2(y1)21 分成S1,S2,S3,S4四部分.
4、因为圆(x1) 2(y1)21 与 y1 x的图象都关于直线 yx对称,从而S1S2, S3S4,而S1S2S3S4,所以S阴影S2S4 2 . 二、填空题 5.已知函数yf(x)(xR R),对函数yg(x)(xI),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y h(x)(xI),yh(x)满足:对任意xI,两个点(x,h(x),(x,g(x)关于点(x,f(x)对称.若h(x)是 g(x) 4x 2关于 f(x)3xb的“对称函数” ,且h(x)g(x)恒成立,则实数b的取值范围是_. 高考数学培优专题库教师版 答案:(2 10,) 解析由已知得 hx 4x 2 2 3xb, 所 以h(
5、x) 6x 2b 4x 2.h(x)g(x)恒成立,即 6x2b 4x 2 4x 2,3x b 4x 2 恒成立. 在同一坐标系内,画出直线y3xb及半圆y 4x 2(如图 所示), 可 得 b 102,即 b2 10,故答案为(2 10,). 6椭圆x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是F1,F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B| 成等比数列,则此椭圆的离心率为_ 【解析】|AF1|ac,|F1F2|2c,|F1B|ac,且三者成等比数列,则|F1F2| 2|AF 1|F1B|, 即 4c 2(ac)(ac),得 a 25c2,ec a
6、5 5 . 【答案】 5 5 三、解答题 7.已知函数f(x)2lnxx 2ax(aR R) (1)当a2 时,求f(x)的图象在x1 处的切线方程; (2)若函数g(x)f(x)axm在 1 e,e上有两个零点,求实数m的取值范围 解:(1)当a2 时,f(x)2lnxx 22x,f(x)2 x2x2,切点坐标为(1,1),切线的斜率 k f(1)2,则切线方程为y12(x1),即y2x1. (2)g(x)2lnxx 2m, 则g(x)2 x2x 2(x1) (x1) x . x 1 e,e,当g(x)0 时,x1. 当1 ex0; 当 1xe 时,g(x)0. 故g(x)在x1 处取得极大
7、值g(1)m1. 又g 1 e m2 1 e 2,g(e)m2e 2,g(e)g 1 e 4e 21 e 20,则 g(e)0, g 1 e m21 e 20, 解得 1b0)的左、 右焦点分别为F1(c, 0), F2(c, 0), 若椭圆上存在点P使 a sinPF1F2 c sinPF2F1,则该椭圆的离心率的取值范围为( ) A(0, 21)B. 2 2 ,1 C. 0, 2 2D( 21,1) 【答案】D由 a sinPF1F2 c sinPF2F1,得 c a sinPF2F1 sinPF1F2. 又由正弦定理得sinPF 2F1 sinPF1F2 |PF1| |PF2|,所以 |
8、PF1| |PF2| c a, 即|PF1|c a|PF 2|.又由椭圆定义得|PF1|PF2|2a,所以|PF2| 2a 2 ac.因为|PF 2|是PF1F2的一边,所 以有ac 2a 2 ac0, 所以 e 22e10(0e1), 解得椭圆的离心率的取值范围为( 2 1,1) 3.设函数 f(x)= 2 x6x6,x0, 3x4,x0, 若互不相等的实数 x1,x2,x3满足 f(x1)=f(x2)=f(x3),则 x1+x2+x3的 取值范围是() A. 20 26 (, 33 B. 20 26 (,) 33 C. 11 (,6 3 D. 11 (,6) 3 【答案】D 4.设函数 f
9、(x)是奇函数 f(x)(xR R)的导函数,f(1)0,当x0 时,xf(x)f(x)0,则使 得f(x)0 成立的x的取值范围是() A(,1)(0,1)B(1,0)(1,) 高考数学培优专题库教师版 C(,1)(1,0)D(0,1)(1,) 【答案】A设h(x)f(x) x .f(x)是奇函数, f(x)f(x), h(x)f(x) x f(x) x h(x) h(x)是偶函数 xf(x)f(x)0, h(x) f(x) xxf(x)f(x) x 2 0. h(x)在(0,)上为减函数,在(,0)上为增函数,且h(1)0,如图所示, 可知满足f(x)0 的x的取值范围是(,1)(0,1)
10、 二、填空题 5.一条光线从点(2,3)射出,经 y 轴反射后与圆(x3)2(y2)21 相切,则反射光线所在直线的斜率 为 答案:k3 4或 k 4 3 解析: 圆(x3)2(y2)21 的圆心为(-3,2),半径 r1.(-2,-3)关于 y 轴的对称点为(2,-3).如图所示,反射 光线一定过点(2,-3)且斜率 k 存在,反射光线所在直线方程为 y3k(x-2),即 kx-y-2k30. 反射光线与已知圆相切, |3k22k3| k2(1)2 1,整理得 12k225k120,解得 k3 4或 k 4 3. 6.已知函数 f(x) 1|x1|,x2,0, 2f(x2) ,x(0,) ,
11、若方程 f(x)xa 在区间2, 4内有 3 个不等实 根,则实数 a 的取值范围是_ 答案:2a0 或 a1解析 当2x4 时,函数 高考数学培优专题库教师版 f(x) 1|x1|,x2,0, 22|x1|,x(0,2, 44|x3|,x(2,4, 作出函数 f(x)的图像如图所示 设 yxa,则当直线 yxa 经过点 B,C 时,函数 f(x)的图像与直线 yxa 有 3 个交点,此时 a 1;当直线 yxa,经过点 E,F 时,函数 f(x)的图像与直线 yxa 有 4 个交点,此时 a0;当直线 yxa 经过点 H,G 时,函数 f(x)的图像与直线 yxa 有 2 个交点,此时 a2
12、.所以由图可知实数 a 的取值范围是2ab0)的离心率是 3 2 ,抛物线E:x 22y 的焦点F是C的 一个顶点. (1)求椭圆C的方程; (2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中 点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M. 高考数学培优专题库教师版 求证:点M在定直线上; 直线l与y轴交于点G,记PFG的面积为S1,PDM的面积为S2,求S 1 S2的最大值及取得最大值时点 P 的坐标. 解(1)由题意知 a 2b2 a 3 2 ,可得a 24b2,因为抛物线 E的焦点F 0,1 2 ,所以b1 2,a1,所以椭 圆C的方程为
13、x 24y21. (2)证明设P m,m 2 2 (m0),由x 22y,可得 yx,所以直线l的斜率为m,因此直线l的方程为y m 2 2 m(xm).即ymxm 2 2 . 设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).联立方程 x 24y21, ymxm 2 2 , 得(4m 21)x24m3xm410. 由0,得 0m 2 5(或 0m 22 5).(*) 且x1x2 4m 3 4m 21,因此 x0 2m 3 4m 21,将其代入 ymxm 2 2 ,得y0 m 2 2(4m 21),因为 y0 x0 1 4m. 所以直线OD方程为y 1 4mx,联立方程 y 1 4mx,
14、 xm, 得点M的纵坐标yM1 4, 所以点M在定直线y1 4上. 解由知直线l的方程为ymxm 2 2 ,令x0,得ym 2 2 ,所以G 0,m 2 2 , 又P m,m 2 2 ,F 0,1 2 ,D 2m 3 4m 21, m 2 2(4m 21) , 所以S11 2|GF|m (m 21)m 4 , S21 2|PM|mx 0|1 2 2m 21 4 2m 3m 4m 21 m(2m 21)2 8(4m 21).所以 S1 S2 2(4m 21) (m21) (2m 21)2 . 设t2m 21,则S1 S2 (2t1) (t1) t 2 2t 2t1 t 2 1 t 2 1 t2,
15、当 1 t 1 2, 即t2 时,S 1 S2取到最大值 9 4, 高考数学培优专题库教师版 此时m 2 2 ,满足(*)式,所以P点坐标为 2 2 ,1 4 . 因此S 1 S2的最大值为 9 4,此时点 P的坐标为 2 2 ,1 4 . 10.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接 两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公 路为l.如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为 5 千米和 40 千米,点N到l1, l2的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以l2,l1所
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