高考数学培优专题库教师版第54讲抽象函数问题.DOC

1、高考数学培优专题库教师版 第五十四讲 抽象函数问题函数问题 A A 组组 一、选择题一、选择题 1.设( )f x是定义在R上的周期为 3 的函数， 当 2,1)x 时， 2 42, 20, ( ) ,01, xx f x xx 则 21 ( () 4 f f（） A. 1 4 B. 1 4 C. 3 4 D.0 解析： 21 ( () 4 f f 311 ()( ) 444 fff 选 B 2. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f x满 足 1 2f x f x ， 且 在 0,13xf x 上. 则 3 log 54f A. 3 2 B. 2 3 C. 3 2 D. 2 3 解析： 1

2、 2f x f x 得出 f(x)的周期为 4， 2 3 33 log 54logf= 2 3 3 log 2 3 3 选 C 3.给出下列三个命题： 函数 11 cos ln 21 cos x y x 与lntan 2 x y 是同一函数； 若函数 yf x与 yg x的图像关于直线yx对称，则函数 2yfx与 1 2 yg x的图像也关于直线yx对称； 若奇函数 f x对定义域内任意 x 都有 (2)f xfx，则 f x为周期函数。 其中真命题是 A. B. C.D. 【答案】C 【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，错误；排除 A、B，验证,2()(2)f

3、xfxfx ,又通过奇函数得( )fxf x ，所以 f （x）是周期为 2 的周期函数，选择 C。 4、已知定义在 R 上的奇函数)(xf，满足(4)( )f xf x ,且在区间0,2上是增函数,则 高考数学培优专题库教师版 (). A.( 25)(11)(80)fffB.(80)(11)( 25)fff C.(11)(80)( 25)fffD.( 25)(80)(11)fff 【解析】:因为)(xf满足(4)( )f xf x ,所以(8)( )f xf x,所以函数是以 8 为周期的 周期函数, 则) 1()25(ff,)0()80(ff,)3()11(ff,又因为)(xf在 R 上是

4、奇函数， (0)0f, 得0)0()80( ff,) 1 () 1()25(fff, 而 由(4)( )f xf x 得 ) 1 ()41 ()3()3()11(fffff,又因为)(xf在区间0,2上是增函数,所以 0)0() 1 ( ff,所以0) 1 ( f,即( 25)(80)(11)fff,故选 D. 答案:D. 5、 设函数 yf xxR为偶函数， 且xR ， 满足 31 2,3 22 fxfxx ，当 时， f xx，则当2,0 x 时， f x A.4xB.2xC.21xD.31x 答案选 D。 解析：由题意，f（x）的周期为 2，当2, 1 ,( )(4)4xf xf xx

5、1,0 ,( )()(2)2xf xfxfxx 6、定义在R上的函数( )f x满足(6)( )f xf x.当31x 时， 2 ( )(2)f xx ，当 13x 时，( )f xx。则(1)(2)(3)(2012)ffff （A）335（B）338（C）1678（D）2012 【答案】B 【 解 析 】 由)()6(xfxf， 可 知 函 数 的 周 期 为 6 ， 所 以1)3()3(ff， 0)4()2(ff，1)5() 1(ff，0)6()0( ff，1) 1 (f，2)2(f，所以 在一个周期内有1010121)6()2() 1 (fff，所以 33833351335)2() 1

6、()2012()2() 1 (fffff，选 B. 二、填空题二、填空题 高考数学培优专题库教师版 7、 设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数， 当 x1,1)时，f(x) 4x22，1x0， x，0 x1， 则 f 3 2 _. 解析：f 3 2 f 21 2 f 1 2 4 1 2 221. 答案：1 8已知 2 )(xxfy是奇函数，且1) 1 (f，若2)()(xfxg，则 ) 1(g。 【答案】1- 【 解 析 】 因 为 2 )(xxfy为 奇 函 数 ， 所 以 22 )()(xxfxxf， 所 以 2 2)()(xxfxf，32) 1 () 1 ( fg， 所以1)

7、 1 (22) 1 (2) 1() 1(fffg。 9.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)若当 0 x1 时，f(x)x(1x)，则当1 x0 时，f(x)_. 解析：当1x0 时，有 0 x11，所以 f(1x)(1x)1(1x)x(1x)又 f(x1)2f(x)，所以 f(x)1 2f(1x) xx1 2 . 答案：xx1 2 三、解答题三、解答题 10.10. 设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x. (1)求 f()的值； (2)当4x4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积； (3)写出(，)内函数 f(x)

8、的单调区间 解：(1)由 f(x2)f(x)，得 f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)， f(x)是以 4 为周期的周期函数 f()f(14)f(4)f(4)(4)4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x2)f(x)， 得 f(x1)2f(x1)f(x1)， 即 f(1x)f(1x) 从而可知函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称 又当 0 x1 时，f(x)x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示 高考数学培优专题库教师版 设当4x4 时，f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S， 则 S4SOAB4 1 2214. (3)函数 f(x)的单调递增区

9、间为4k1,4k1(kZ)， 单调递减区间为4k1,4k3(kZ) B B 组组 一、选择题一、选择题 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为 (A)1(B) 0(C)1(D)2 解：因为 f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以 f（0）0，又 f（x4）f（x2）f（x） ， 故函数，f（x）的周期为 4，所以 f（6）f（2）f（0）0，选 B 2.已知 ( )f x 是R上最小正周期为 2 的周期函数，且当0 2x 时, 3 ( )f xxx ,则函数 ( )yf x 的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为 （A）6（B）7（C）8（

10、D）9 【答案】A 【解析】因为当0 2x 时, 3 ( )f xxx ,又因为 ( )f x 是R上最小正周期为 2 的周期函 数 ， 且 (0)0f , 所 以 (6)(4)(2)(0)0ffff , 又 因 为 (1)0f , 所 以 (3)0f , (5)0f ,故函数 ( )yf x 的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为 6 个,选 A. 3.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)当3x1 时，f(x)(x2)2；当1 x3 时，f(x)x.则 f(1)f(2)f(3)f(2 012)() A335B338 C1 678D2 012 解析：由 f(x6)f(x)可

11、知，函数 f(x)的周期为 6，所以 f(3)f(3)1，f(2)f(4) 0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有 f(1)f(2) f(6)1210101，所以 f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)335112 335338. 答案：B 4.设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，( )fx是f(x)的导函数， 当0,x 高考数学培优专题库教师版 时，0f(x)1；当 x（0，） 且 x 2 时 ，()( )0 2 xfx ，则函数 y=f(x)-sinx 在-2 ，2 上的零点个数为 A.2B .4C.5D. 8 【答

12、案】 【解析】由当 x（0，） 且 x 2 时 ，()( )0 2 xfx ，知 0,( )0,( ) 2 xfxf x 时,为减函数；( )0,( ) 2 xfxf x ，时,为增函数 又0,x时，0f(x)1，在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2的偶函数，在同一坐标系 中作出sinyx和( )yf x草图像如下，由图知 y=f(x)-sinx 在-2，2 上的零点个数为 4 个. x y o 22 1 1 sinyx ( )yf x 5. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)1 2(|xa 2|x2a2|3a2)若x R，f(x1)f(x)，则实数 a

13、 的取值范围为() A. 1 6， 1 6B. 6 6 ， 6 6 C. 1 3， 1 3D. 3 3 ， 3 3 解析：当 x0 时，f(x) x，0 xa2 a2，a22a2 ，又 f(x)为奇函数，可得 f(x)的图象如图所 示，由图象可得，当 x2a2时，f(x)maxa2，当 x2a2时，令 x3a2a2，得 x4a2，又x R，f(x1)f(x)，可知 4a2(2a2)1a 6 6 ， 6 6 ，选 B. 答案：B 高考数学培优专题库教师版 二、填空题二、填空题 6、设( )f x是定义在R上且周期为 2 的函数，在区间 1 1 ，上， 0 1 11 ( ) 2 0 1 x x a

14、x f x bx x ， ，其中 abR，若 13 22 ff ， 则3ab的值为 【答案】【答案】10。 【解析】【解析】( )f x是定义在R上且周期为 2 的函数， 11ff，即 2 1= 2 b a 。 又 311 =1 222 ffa ， 13 22 ff ， 14 1= 23 b a 。 联立，解得，=2. =4ab。3 =10ab。 7 、 函 数 f x对 于 任 意 实 数x满 足 条 件 1 2f x f x ， 若 15,f 则 5ff_。 解：由 1 2f x f x 得 1 4( ) 2 f xf x f x ，所以(5)(1)5ff ，则 11 5( 5)( 1)

15、( 12)5 ffff f 。 8 、 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 ， 在 区 间 1,1 上 ， f(x) ax1，1x0， bx2 x1 ，0 x1， 其中 a，bR.若 f 1 2 f 3 2 ，则 a3b 的值为_ 解析：因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，所以 f 3 2 f 1 2 ，且 f(1)f(1)，故 高考数学培优专题库教师版 f 1 2 f 1 2 ，从而 1 2b2 1 21 1 2a1，即 3a2b2. 由 f(1)f(1)，得a1b2 2 ，即 b2a. 由得 a2，b4，从而 a3b10. 答案：10 9、

16、已知定义在 R 上的奇函数)(xf，满足(4)( )f xf x ,且在区间0,2上是增函数,若方 程f(x)=m(m0) 在 区 间8 , 8上 有 四 个 不 同 的 根 1234 ,x x x x, 则 1234 _.xxxx 【解析】 :因为定义在 R 上的奇函数， 满足(4)( )f xf x ,所以(4)()f xfx,所以, 由 )(xf为奇函数,所以函数图象关于直线2x 对称且(0)0f,由(4)( )f xf x 知 (8)( )f xf x,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为)(xf在区间0,2上是增函数,所 以)(xf在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程

17、 f(x)=m(m0)在区间8 , 8上有四个不 同的根 1234 ,x x x x,不妨设 1234 xxxx由对称性知 12 12xx 34 4xx所以 1234 1248xxxx 答案:-8 三、解答题三、解答题 10、设设f f( (x x) )是定义在是定义在 R R 上的奇函数上的奇函数，且对任意实数且对任意实数x x，恒有恒有f f( (x x2)2)f f( (x x) )当当x x0,20,2 时，时，f f( (x x) )2 2x xx x 2 2. . (1)(1)求函数的最小正周期；求函数的最小正周期； (2)(2)计算计算f f(0)(0)f f(1)(1)f f(

18、2)(2)f f(2(2 015)015) 解解 (1)(1)f f( (x x2)2)f f( (x x) )，f f( (x x4)4)f f( (x x2)2)f f( (x x) ) f f( (x x) )的最小正周期为的最小正周期为 4.4. (2)(2)f f(0)(0)0 0，f f(1)(1)1 1，f f(2)(2)0 0，f f(3)(3)f f( (1)1)f f(1)(1)1.1. 又又f f( (x x) )是周期为是周期为 4 4 的周期函数，的周期函数， f f(0)(0)f f(1)(1)f f(2)(2)f f(3)(3)f f(4)(4)f f(5)(5)

19、f f(6)(6)f f(7)(7)f f(2(2 012)012)f f(2(2 013)013) f f(2(2 014)014)f f(2(2 015)015)0 0，f f(0)(0)f f(1)(1)f f(2)(2)f f(2(2 015)015)0.0. C 组组 一、选择题 -8-6-4-2024 y x f(x)=m 高考数学培优专题库教师版 1、 函数( )f x是定义在R上的偶函数， 且对任意的xR，都有(2)( )f xf x.当01x 时， 2 ( )f xx.若直线yxa与函数( )yf x的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为（） A.nnZB.2nnZC.2

20、n或 1 2 4 nnZD.n或 1 4 nnZ 解析：因为函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，设 x-1，0，则-x0，1，于是 22 ( )()f xxx x1，2，则（x-2）-1，0于是， 2 ( )(2)(2)f xf xx 当 a=0 时，联立 2 yx yx ,解得 x=0，y=0,或 x=y=1，即当 a=0 时，即直线 y=x+a 与函数 y=f （x）的图象有两个不同的公共点 当-2a0 时，只有当直线 y=x+a 与函数 f（x）=x 2在区间0，1）上相切，且与函数 f（x） = （x-2） 2在 x1， 2） 上仅有一个交点时才满足条件 由 f （x） =2x=1

21、， 解得 x= 1 . 2 y= 2 11 ( ). 24 ， 其 切 点 为 1 1 ( , ) 2 4 a= 111 424 ， =x- 1 4 ,y=(x-2) 2 （ 1 x 2 ） 解 之 得 x= 52 294 2 x,. 24 y 综上可知：直线 y=x+a 与函数 y=f（x）在区间0，2） 上的图象有两个不同的公共点时的 a 的值为 0 或- 1 4 又函数 f （x）是定义在 R 上的偶函数， 且对任意的 xR，都有 f（x+2）=f（x） ，实数 a 的值为2n或 1 2 4 nnZ（nZ） 故 应选 C 2 设 f x是定义在 R 上的偶函数， 对任意xR， 都有 4f

22、 xf x， 且当2,0 x 时， 1 6 3 x f x .若在区间2,6内关于 x 的方程 log201 a f xxa恰有 3 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是 A.1,2B.2,C. 3 1,4D. 3 4 2， 解析： f x是定义在 R 上的偶函数, f x的周期为 4，分别在同一坐标系中作出 y= f x与 y=log21 a xa的图象， 4 3 8 log3 42 log3 a a a 解出选 D 3.设函数 f(x)()xR满足 f(x)=f(x)，f(x)=f(2x)，且当0,1x时，f(x)=x3.又函数 高考数学培优专题库教师版 g(x)=|xcos()x|，

23、则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 1 3 , 2 2 上的零点个数为 (A)5(B)6(C)7(D)8 【答案】【答案】B 【解析【解析】 因为当0,1x时， f(x)=x3. 所以当1,2- )0,1xx时，(2， f(x)=f(2x)=(2x)3， 当 1 0, 2 x时， g(x)=xcos()x； 当 1 3 , 2 2 x时， g(x)=xcos()x， 注意到函数 f(x)、 g(x) 都是偶函数，且 f(0)= g(0)， f(1)= g(1)， 13 ( )( )0 22 gg，作出函数 f(x)、 g(x)的大致图象， 函数 h(x)除了 0、 1 这两个零点之外， 分

24、别在区间 1113 ,0 1 2222 、 0, 、 ,1、,上各有一个零点， 共有 6 个零点，故选 B 二、填空题二、填空题 4、 已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0，3)时，f(x)|x 22x1 2|.若函 数 yf(x)a 在区间3，4上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是_ 解析：数形结合，答案： 0，1 2 5.定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x+5）=16，当 x（-1，4时，f（x）=x 2-2x，则 函数 f（x）在0，2013上的零点个数是_ 【答案解析】604 解析：y=x2与 y=2x的函数曲线在区间（0，

25、4有两个交点，在区间（1， 0区间有一个交点，但当 x（1，4时，f（x）=x22x=16 无根 即当 x（1，4时，f（x）=x22x有 3 个零点，由 f（x）+f（x+5）=16， 即当 x（6，1时，f（x）=x22x无零点 又f（x+5）+f（x+10）=f（x）+f（x+5）=16， f（x+10）=f（x） ，即 f（x）是周期为 10 的周期函数， 在 x0，2013，分为三段 x0，4，x（4，2004，x（2004，2013 在 x0，4函数有两个零点， 在 x（4，2004有 200 个完整周期，即有 600 个零点， 在 x（2004，2013共有两个零点， 综上函数

26、f（x）在0，2013上的零点个数是 604 高考数学培优专题库教师版 故答案为：604 6对于函数 f(x)定义域中任意的 x1，x2（x1x2） ，有如下结论： f(x1x2)=f(x1)f(x2)； f(x1x2)=f(x1)+f(x2) 12 12 ()()f xf x xx 0； 1212 ()() () 22 xxf xf x f .当 f(x)=lgx 时， 上述结 论中正确结论的序号是. 【解析】由f(x)= lgx 的图象和性质，选 7 设 f （x） 是定义在 R 上的偶函数， 对 xR， 都有)2()2(xfxf， 且当02，x时， 1) 2 1 ()( x xf，若在区

27、间62(，内关于 x 的方程) 1(0)2(log)(axxf a 恰有 3 个 不同的实数根，则 a 的取值范围是 【答案】 （ 3 4，2） 【命题立意】 本题旨在考查指数函数与对数函数的图象与性质， 根的存在性及根的个数判定 【解析】由题 f（x2）=f（x+2）可得函数 f（x）是一个周期为 4 的周期函数，又当 x2， 0时，f（x）=（ 2 1 ）x1，而 f（x）是偶函数，则有当 x0，2时，f（x）=2x1，又在区 间（2，6 内关于 x 的方程 f（x）loga（x+2）=0 恰有 3 个不同的实数根，则函数 y=f（x） 与 y=loga（x+2）在区间（2，6上有 3 个

28、不同的交点，又 f（2）=f（2）=3，则对于函数 y=loga（x+2） ，由题可得，当 x=2 时的函数值必须小于 3，当 x=6 时的函数值必须大于 3，即 loga43，解得 3 4a2 8定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)若当 0 x1 时，f(x)x(1x)，则当 1x0 时，f(x)_. 解析：本题主要考查函数解析式的求法，意在考查考生对函数解析式的理解，以及对抽 象函数的化归与转化能力 当1x0 时，有 0 x11，所以 f(1x)(1x)1(1x)x(1x)又 f(x1) 2f(x)，所以 f(x)1 2f(1x) xx1 2 . 答案：xx1 2 高考

29、数学培优专题库教师版 9.已知函数, 1),1( 1, )( xxf xe xf x 1)( kxxg，若方程0)()(xgxf有两个不同的实 根，则实数 k 的取值范围是。 【答案】) 1, 1 (1 , 2 1 e e ）（ 【解析】, 1),1( 1, )( xxf xe xf x 图象如图所示。 0)()(xgxf的实根即是的根。)()(xgxf可以看做是两个 函数在图像上的交点个数。g（x）的图像是恒过点（0,1）的直线，临界值是图中经过 B，D 两点的割线和过 C 的切线。计算出斜率值即可。 三、解答题三、解答题 10、设函数( )f x在(,) 上满足(2)(2)fxfx，(7)

30、(7)fxfx，且在闭区 间0，7上，只有(1)(3)0ff （）试判断函数( )yf x的奇偶性； （）试求方程( )f x=0 在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论 .解:由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(xfy 的对称轴为72xx和, 从而知函数)(xfy 不是奇函数, 由)14()4( )14()( )4()( )7()7( )2()2( xfxf xfxf xfxf xfxf xfxf )10()(xfxf,从而知函数)(xfy 的周期为10T 又0)7(, 0)0()3(fff而,故函数)(xfy 是非奇非偶函数; (II)由)14()4( )14()( )4()( )7()7( )2()2( xfxf xfxf xfxf xfxf xfxf )10()(xfxf (II) 又0)9()7()13()11(, 0)0()3(ffffff 故 f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数)(xfy 在0,2005上有 402 个解,在 -2005.0上有 400 个解,所以函数)(xfy 在-2005,2005上有 802 个解.