高考数学培优专题库教师版第40讲圆锥曲线中的定值与定点问题.doc
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1、高考数学培优专题库教师版 第四十讲第四十讲 圆锥曲线中的定值与定点问题圆锥曲线中的定值与定点问题 一、解答题 1 (2017 年全国 1 卷理)已知椭圆 C: 22 22 =1 xy ab (ab0) ,四点 P1(1,1) ,P2(0,1) ,P3(1, 3 2 ) , P4(1, 3 2 )中恰有三点在椭圆 C 上. (1)求 C 的方程; (2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1,证明:l 过定点. 【解析】 (1)由于 3 P, 4 P两点关于 y 轴对称,故由题设知 C 经过 3 P, 4 P两点. 又由 2222
2、 1113 4abab 知,C 不经过点 P1,所以点 P2在 C 上. 因此 2 22 1 1 13 1 4 b ab ,解得 2 2 4 1 a b . 故 C 的方程为 2 2 1 4 x y. (2)设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1,k2, 如果 l 与 x 轴垂直,设 l:x=t,由题设知0t ,且| | 2t ,可得 A,B 的坐标分别为(t, 2 4 2 t ) , (t, 2 4 2 t ). 则 22 12 4242 1 22 tt kk tt ,得2t ,不符合题设. 从而可设 l:ykxm(1m ).将ykxm代入 2 2 1 4 x y得 222 (4
3、1)8440kxkmxm 由题设可知 22 =16(41)0km . 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2= 2 8 41 km k ,x1x2= 2 2 44 41 m k . 而 12 12 12 11yy kk xx 12 12 11kxmkxm xx 1212 12 2(1)()kx xmxx x x . 由题设 12 1kk ,故 1212 (21)(1)()0kx xmxx. 即 2 22 448 (21)(1)0 4141 mkm km kk . 解得 1 2 m k . 当且仅当1m 时,0 ,欲使 l: 1 2 m yxm ,即 1 1(2) 2 m y
4、x , 所以 l 过定点(2,1) 2已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 3 3, 2 A ,且离心率 1 2 e (12 分) ()求椭圆C的标准方程; ()过点4,0M的直线l与椭圆C交于两点,P Q,过P作PNx轴且与椭圆C交于另一点N, 证明直线NQ过定点,并求出定点坐标。 【解析】 椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy ; ()由题知直线l的斜率存在, 设l的方程为4yk x,点 112211 ,P x yQ xyN xy, 则 22 4 3412 yk x xy 得 2 22 34412xkx, 即 2222 343264120kxk xk,0 , 2
5、12 2 32 34 k xx k , 2 12 2 6412 34 k x x k , 由题可得直线QN方程为 21 11 21 yy yyxx xx , 又 11 4yk x, 22 4yk x, 直线QN方程为 21 11 21 44 4 k xk x yk xxx xx , 令0y ,整理得 2 12211 1 12 44 8 x xxxx xx xx 1212 12 24 8 x xxx xx 高考数学培优专题库教师版 22 22 2 2 641232 24 3434 32 8 34 kk kk k k 2 22 2 24 34 1 322432 34 k kk k , 即直线QN过
6、点1,0, 3已知,A B分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴与短轴的一个端点,,E F是椭圆左、右 焦点,以E点为圆心3为半径的圆与以F点为圆心1为半径的圆的交点在椭圆C上,且7AB (I)求椭圆C的方程; (II)若直线ME与x轴不垂直,它与C的另外一个交点为,N M是点M关于x轴的对称点,试判 断直线NM是否过定点,如果过定点,求出定点坐标,如果不过定点,请说明理由 【解析】 (I)由题意得: 22 222 23 14 7 a ab bca , 解得:2,3ab, 椭圆C的方程为 22 1 43 xy (II)依题意,设直线MN方程为: 1122 10 ,xty
7、tM x yN xy, 则 11 Mxy,且 12 xx联立 22 1 1 43 xty xy , 得 22 34690tyy, 12 2 2 12 2 6 34 14410, 9 34 t yy t t yy t , 又直线NM的方程为 211121 xxyyyyxx, 即 21121221 xxyyyxx yx y 而 12211212 2 24 2 34 t x yx ytx yyy t , 直线NM的方程为 21 2 6 4 34 t xxyx t , 故直线NM地定点4,0 4在平面直角坐标系xOy中,过椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 右焦点F的直线20 xy交 椭
8、圆C于,A B两点 ,P为AB的中点,且OP的斜率为 1 3 . (1)求椭圆C的标准方程; (2)设过点F的直线l(不与坐标轴垂直)与椭圆C交于,D E两点,问:在x轴上是否存在定 点M,使得MD ME 为定值?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】 (1) 设 112200 ,A x yB xyP xy,则 2222 1122 2222 1,1 xyxy abab ,两式相减得, 12121212 22 0 xxxxyyyy ab ,又 12 12 1 yy xx ,P为AB的中点,且OP的斜 率为 1 3 ,所以 00 1 3 yx,即 1212 1 3 yyxx,所以
9、可以解得 22 3ab,即 222 3aac,即 22 3 2 ac,又因为 2 2,6ca,所以椭圆C的方程为 22 1 62 xy . (2)设 直 线l的 方 程 为2yk x, 代 入 椭 圆C的 方 程 为 22 1 62 xy , 得 2222 31121260kxk xk,设 3344 ,D x yE xy,则 2 12 2 12 1 3 k xx k . 2 12 2 126 1 3 k x x k ,根据题意,假设x轴上存在定点,0M t,使得MD ME 为定值,则有 33443434 ,MD MExt yxt yxtxty y 22222 34343434 2 2124xt
10、xtkxxkx xktxxkt 222 22 2222 222 312106 12612 124 1 31 31 3 ttkt kk kktkt kkk ,要使上式为定值, 即与k无关,则应 22 3121036ttt,即 7 3 t ,故当点M的坐标为 7 ,0 3 时,MD ME 为 定值. 5已知抛物线的方程为C: 2 4xy,过点0,2Q的一条直线与抛物线C交于,A B两点,若抛物 线在,A B两点的切线交于点P. 高考数学培优专题库教师版 (1)求点P的轨迹方程; (2) 设直线PQ的斜率存在, 取为 PQ k, 取直线AB的斜率为 AB k, 请验证 PQAB kk是否为定值?若是
11、, 计算出该值;若不是,请说明理由. 【解析】 ()由 AB 直线与抛物线交于两点可知,直线 AB 不与 x 轴垂直,故可设 AB l:ykx2, 代入 2 x4y, 整理得: 2 x4ky80.,方程的判别式 2 16k320,故kR时均满足题目要求 记交点坐标为 22 12 12 xx A x ,B x , 44 ,则 12 x ,x为方程的两根, 故由韦达定理可知, 1212 xx4k,x x8 将抛物线方程转化为 2 1 yx 4 ,则 1 yx 2 ,故 A 点处的切线方程为 2 11 1 xx yxx 42 , 整理得 2 11 xx yx 24 , 同理可得,B 点处的切线方程为
12、 2 22 xx yx 24 ,记两条切线的交点 pp P x ,y, 联立两条切线的方程,解得点P坐标为 2 121 PP111 xxx x2k,ykxkxkx22 24 , 故点 P 的轨迹方程为y2 ,xR ()当k0时, PP x0,y2 ,此时直线 PQ 即为 y 轴,与直线 AB 的夹角为 2 当k0时,记直线 PQ 的斜率 PQ 222 k 2k0k ,又由于直线 AB 的斜率为k, PQAB 2 kkk2 k 为定值 6已知点2,3在椭圆E: 22 22 1 xy ab (0ab)上,设A,B,C分别为左顶点、上顶点、 下顶点,且下顶点C到直线AB的距离为 4 7 b. ()求
13、椭圆E的方程; () 设点 11 ,M x y, 22 ,N xy( 12 xx) 为椭圆E上两点, 且满足 22 1212 22 a x xb y y OM ON ab , 求证:MON的面积为定值,并求出该定值. 【解析】 ()由题意,得直线AB的方程为1 xy ab ,点0,Cb, 点C到直线AB的距离 22 2ab d ab 4 7 b,整理,得320ab. 又点2,3在椭圆上, 22 49 1 ab . 联立解得4a ,2 3b , 椭圆E的方程为 22 1 1612 xy . ( ) 设 直 线MN的 方 程 为ykxm, 代 入 椭 圆 方 程 , 并 整 理 得 22 348k
14、xkmx 2 4480m. 222 6416 34k mk 2 1248m 22 12 160km, 22 12 160km, 12 2 8 34 km xx k , 2 12 2 412 34 m x x k , 121 y ykxm 2 21212 kxmkx xkm xx 22 2 2 348 34 mk m k . 又 1 212 OM ONx xy y ,则由题意,得 1212 x xy y 22 1212 22 a x xb y y ab 1212 1612 16 12 x xy y . 整理,得 1212 340 x xy y,则 2 2 412 34 34 m k 22 2 3
15、48 0 34 mk k , 整理,得 22 68mk(满足0 ). 2 1MNk 12 xx 2 1 k 2 1212 4xxx x 22 2 2 2 48 12 16 1 34 km k k 2 1 k 22 2 2 48 2 2 mm m 高考数学培优专题库教师版 2 1 8 3 k m . 又点O到直线MN的距离 2 1 m d k . 1 2 MON SMN d 2 11 8 3 2 k m 2 4 3 1 m k ,为定值. 7已知椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ,且过点 23 , 22 P ,动直线l: ykxm交椭圆C于不同的两点A,B,且
16、0OA OB (O为坐标原点) (1)求椭圆C的方程. (2)讨论 22 32mk是否为定值?若为定值,求出该定值,若不是请说明理由. 【解析】 (1)由题意可知 2 2 c a ,所以 2222 22acab,即 22 2ab, 又点 23 , 22 P 在椭圆上,所以有 22 23 1 44ab , 由联立,解得 2 1b , 2 2a , 故所求的椭圆方程为 2 2 1 2 x y. (2)设 1122 ,A x yB xy,由0OA OB , 可知 1212 0 x xy y. 联立方程组 2 2 , 1, 2 ykxm x y 消去y化简整理得 222 124220kxkmxm, 由
17、 2222 1681 120k mmk , 得 22 12km, 所 以 12 2 4 12 km xx k , 2 12 2 22 12 m x x k , 又由题知 1212 0 x xy y, 即 1212 0 x xkxmkxm, 整理为 22 1212 10kx xkm xxm. 将代入上式,得 2 22 22 224 10 1212 mkm kkmm kk . 化简整理得 22 2 322 0 12 mk k ,从而得到 22 322mk. 8已知椭圆 22 1 22 1(0) xy Cab ab :与椭圆 2 2 2 1 4 x Cy:有相同的离心率,且经过点2, 1P. (I)
18、求椭圆 1 C的标准方程; (II)设点Q为椭圆 2 C的下顶点,过点P作两条直线分别交椭圆 1 C于AB、两点,若直线PQ平分 APB,求证:直线AB的斜率为定值,并且求出这个定值. 【解析】 (I)椭圆 22 1 1 82 xy C:; (II)由直线PQ平分APB和0, 1 ,2, 1.00 PQPAPB QPkkk,而由直线:AB ykxm与 22 222 1148480 82 xy kxkmxm ,设 1122 ,A x yB xy,则 2 1212 22 848 , 1414 kmm xxx x kk ,由 121 121 111 00 222 PAPB yykxm kk xxx
19、2 2 1212 2 1 0212410214410 2 kxm kx xmkxxmmkkk x 恒 成立 1 2 k 直线AB的斜率为定值 1 2 9已知椭圆 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 右顶点2,0A,离心率 3 2 e (1)求椭圆C的方程; (2)设B为椭圆上顶点,P是椭圆C在第一象限上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x 轴交于点N,问PMN与PAB面积之差是否为定值?说明理由 【解析】 :依题意得 222 2, 3 , 2 , a c a abc 解得 2 1 a b ,则椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. 高考数学培优专题库教师版 设 0000 ,
20、(0,0)P xyxy,则 22 00 44xy, 0 0 :2 2 y PA yx x ,令0 x 得 0 0 2 2 M y y x ,则 0 0 2 BM1-yy11 2 MM y x , 0 0 1 :1 y PB yx x ,令0y 得 0 0 x 1 N x y ,则 0 0 AN2-xx12 1 NN x y , 11 22 PMNPAB SSANOMOBANBM 22 000000000000 0000000000 2444844488111 212 212222222 xyxyx yxyx yxy yxx yxyx yxy 10平面直角坐标系中,椭圆 22 22 :1(0)
21、xy Cab ab 过点 53 , 22 ,离心率为 2 5 5 . (1)求椭圆C的标准方程; (2)过点2,0K作一直线与椭圆C交于,A B两点,过,A B点作椭圆右准线的垂线,垂足分别为 11 ,A B,试问直线 1 AB与 1 AB的交点是否为定点,若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由. 【解析】 (1)由题意得 222 22 5 53 11 44 2 2 5 5 abc a b ab c c a ,所以椭圆的标准方程为 2 2 1 5 x y. (2)当直线AB的斜率不存在时,准线 1 5 :, 2 l xAB与 1 AB的交点是 9 ,0 4 ; 当直线AB的斜率存在时,设 1
22、122 ,A x yB xy,直线AB为2yk x, 由 2222 22 2 1 5202050 55 yk x kxk xk xy , 所以 22 1212 22 20205 , 1 51 5 kk xxx x kk , 12 55 , 22 AyBy , 所以 1 21 2 1 5 : 5 2 2 AB yy lyxy x , 1 21 1 2 5 : 5 2 2 A B yy lyxy x 联立解得 2 2 122 2 2 12 2 2052525 45 1 9 1 544 205420 1 5 1 5 k x x k k x kxxk k , 代入上式可得 22 22 211221 2
23、 111 20205 94 9420 1 51 5 0 104410410 kk kk k xxk xxkx xk kk yy xxx , 综上,直线 1 AB与 1 AB过定点 9 ,0 4 . 11已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与 直线60 xy相切. (1)求椭圆C的方程: (2)设4,0P,AB、是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连结PB交椭圆C于另一点 E,证明直线AE与x轴相交于定点Q. 【解析】 (1) 1 2 c e a 222 2 22 1 4 cab e aa ,即 22 4 3 ab
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