高考数学培优专题库教师版第38讲 圆锥曲线离心率综合问题.doc

1、高考数学培优专题库教师版 第三十八讲第三十八讲 圆锥曲线的离率问题圆锥曲线的离率问题 A 组 一、选择题 1 （2017 年高考全国 3 卷理）已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab ， （ab0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且以 线段 A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则 C 的离心率为 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 【答案】A 【解析】以线段 12 A A为直径的圆是 222 xya，直线20bxayab与圆相切，所以圆心到直线 的距离 22 2ab da ab ， 整理为 22 3ab， 即 22222 323aacac， 即 2 2 2 3 c a

2、 ， 6 3 c e a ， 故选 A. 2已知双曲线 22 1 22 1(0,0) xy Cab ab ：，抛物线 2 2 4Cyx：， 1 C与 2 C有公共的焦点F， 1 C 与 2 C在第一象限的公共点为M，直线MF的倾斜角为，且 12 cos 32 a a ，则关于双曲线的离心率的 说法正确的是（） A. 仅有两个不同的离心率 12 ,e e且 12 1,2 ,4,6eeB. 仅有两个不同的离心率 12 ,e e且 12 2,3 ,4,6eeC. 仅有一个离心率e且2,3eD. 仅有一个离心率e且3,4e 【答案】C 【解析】 2 4yx的焦点为1,0，双曲线交点为1,0，即1c ，

3、设M横坐标为 0 x， 则 00000 11 ,1, 1 2 1 pa xexa xxa x a a ， 0 0 1 1 1 1 11 2 cos 1 132 1 1 1 a xa a a xa a ， 可化为 2 520aa， 2 2 11 2510,2510g eee aa ， 2 00,10,20,30,1,2510ggggeee 只有一个根在2,3内，故选 C. 3已知 12 ,F F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点，过 2 F作双曲线一条渐近线的垂线，垂 足为点A,交另一条渐近线于点B，且 22 1 3 AFF B ,则该双曲线的离心率为 A. 6 2

4、 B. 5 2 C.3D.2 【答案】A 【解析】由 2 ,0F c到渐近线 b yx a 的距离为 22 bc db ab ，即有 2 AFb ，则 2 3BFb ，在 2 AF O中， 22 , b OAa OFc tan F OA a 2 2 4 tan 1 b b a AOB a b a ，化简可得 22 2ab，即有 2222 3 2 caba，即有 6 2 c e a ， 故选 A. 4设A是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点，,0F c是右焦点，若抛物线 2 2 4a yx c 的 准线l上存在一点P，使30APF ，则双曲线的离心率的范围是（） A.2

5、,B.1,2C.1,3D.3, 【答案】A 【解析】抛物线的准线方程为 2 a x c ,正好是双曲的右准线.由于 AF=ca,所以 AF 弦,圆心 3 , 22 ac Oca ,半径Rca圆上任取一点 P,30APF ,现在转化为圆与准线相交问题.所以 2 2 aca ca c ,解得2e.填 A. 5中心为原点O的椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P为椭圆上一点， 0 90OPA，则 该椭圆的离心率e的取值范围是 （） A. 1 ,1 2 B. 2 ,1 2 C. 16 , 23 D. 2 0, 2 【答案】B 【解析】设椭圆标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，设 P(

6、x,y)，点 P 在以 OA 为直径的圆上。圆的方 高考数学培优专题库教师版 程 ： 22 2 22 aa xy ， 化 简 为 22 0 xaxy， 22 22 22 0 1(0) xaxy xy ab ab 可 得 222322 0baxa xa b。则 2 2 ,0, ab xxa c 所双 2 2 0, ab a c 可得 2 1 2 e，选 B. 6设点 12 ,F F分别为双曲线： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点 P，满足 112 PFFF，点 1 F到直线 2 PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（） A. 41

7、4 B. 4 3 C. 5 4 D. 5 3 【答案】D 【解析】由题意知 212 PFFF，可知 12 PFF是等腰三角形， 1 F在直线 2 PF的投影是中点，可得 22 2 2 444PFcab，由双曲线定义可得422bca，则 2 ac b ，又 222 cab，知 22 5230aacc，可得 2 3250ee，解得 5 1 3 e 或舍去故本题答案选D 7 如图， 两个椭圆的方程分别为 22 22 1(0) xy ab ab 和 22 22 1 xy mamb （0ab，1m） ， 从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC、BD，若AC、BD的斜率之积恒为 16 25 ，则椭圆的离心

8、率 为（） A. 3 5 B. 3 4 C. 4 5 D. 7 4 【答案】A 【解析】由题意知，外层椭圆方程为 22 22 1 xy mamb ，设切线AC的方程为 1 ykxma代入 内层椭圆消去y得: 22222322422 111 20k abxmk a xm k aa b由0 化简得 2 2 1 22 1 , 1 b k am 同 理得 2 22 2 2 1 , b km a 所以 4 4 222 12 4 443 ,.1 (), 555 bbcb k ke aaaa 选 A. 8已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，左、右

9、顶点分别为A、B， 虚轴的上、下端点分别为C、D，若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且 11 BFECFE ，则双曲 线的离心率为 A.1+ 6B.1+ 5C.1+ 3D.1+ 2 【答案】C 【解析】根据双曲线C的性质可以得到，0,Cb，,0B a， 1 ,0Fc，双曲线C的渐近线方 程 b yx a ，直线BC方程： b yxb a ，联立 b yxb a b yx a 得到 2 2 a x b y ，即点, 2 2 a b E ，所以E是 线段BC的中点，又因为 11 BFECFE ，所以 11 FCFB，而 22 1 FCcb， 1 FBac，故 2 22 cbac，因为 222

10、abc，所以 22 220aacc，因为 c e a ，即 2 220ee，所以 13e ，故选 C 9已知, ,A B C是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上的三个点，AB经过原点O,AC经过右焦点 F,若BFAC且2 BFCF,则该双曲线的离心率是（） A. 5 3 B. 29 3 C. 29 2 D. 9 4 【答案】B 【解析】做出如图因为AB经过原点O,AC经过右焦点F, BFAC可得AFBF为矩形，设 AF=a,则=224AFBFmaFCma根据双曲线定义可知 高考数学培优专题库教师版 26CFma，在Rt ACF得 2 22222222 4 34(2 )(26

11、 ), 3 a ACAFCFmamamamAFFAFAFFF在中 得 22 2 10429 4 333 aa ce 10已知,F A分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点和右顶点，过F作x轴的垂线在第一 象限与双曲线交于点P，AP的延长线与双曲线在第一象限的渐近线交于点Q，若 22APAQ , 则双曲线的离心率为（） A.3B.2C.2 2D.5 【答案】B 【解析】过 Q 作 QRx 轴与 R，如图，由题意设 F（c，0） ， 则由 OA=a 得 AF=c-a，将 x=c 代入双曲线得 P 2 ( ,) b c a ，则直线 AP 的斜率为 2 () b a ca

12、 ，所以直线 AP 的方 程为 2 () () b yxa a ca ，与渐近线联立，得 x= ab abc ，所以 AR= 2 = abaca a abcabc ，根据相似 三角形及 22APAQ ，得 AF=22（）AR，即 2 22( 21) acb cabca abc 代 入 222 cab，得2 c a 11已知双曲线 22 22 1 xy ab （0a ，0b ） ，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A、B两 点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（） A. 3 1, 2 B.1,2C. 3 , 2 D.2, 【答案】D 【解析】AB是双曲线通径，

13、2 2b AB a ，由题意 2 b ac a ，即 2222 aacbca， 22 20caca，即 2 20ee ，解得2e （1e舍去） ，故选 D 12已知点 12 ,F F分别是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右两焦点，过点 1 F的直线l与 双曲线的左右两支分别交于,P Q两点，若 2 PQF是以 2 PQF为顶角的等腰三角形，其中 2 , 3 PQF ，则双曲线离心率e的取值范围为 A. 7,3 B. 1, 7 C. 5,3 D. 5, 7 【答案】A 【解析】 因为 2 PQF为等腰三角形，设 2 PQQFm， 由P为双曲线上一点， 1211 22P

14、FPFPFmaQFa， 由Q为双曲线上一点， 2121 224QFQFaQFaQFa， 再 12 QFF中，由余弦定理得 22 2 12 4242 24 coscaaaaFQF , 所以 22 12 54coscaFQF，所以 2 2 12 2 54cos c eFQF a 又因为 2 , 3 PQF ，所以 2 7,9e ，所以 7,3e ，故选 A. 二、填空题 13设 1 F、 2 F分别为椭圆 22 111 22 11 :1(0) xy Cab ab 与双曲线 22 222 22 22 :1(0) xy Cab ab 的公 共焦点，它们在第一象限内交于点M， 12 90FMF，若椭圆的

15、离心率 1 3 2 2 , 43 e ，则双曲线 2 C 的离心率 2 e的取值范围为_ 高考数学培优专题库教师版 【答案】 2 14 ,2 7 【解析】设 MF1=s,MF2=t，由椭圆的定义可得 s+t=2a1， 由双曲线的定义可得 st=2a2， 解得 s=a1+a2,t=a1a2， 由F1MF2=90，运用勾股定理，可得 s2+t2=4c2， 即为 222 12 2aac， 由离心率的公式可得 22 12 11 2 ee ， 由 1 3 2 2 , 43 e ,可得 2 1 12 7 2, 9 8e ， 据此有： 2 2 14 3 2 , 72 e 由 a2b1,可得 2 2 2 2

16、12 b e a ， 则双曲线 2 C的离心率 2 e的取值范围为 2 14 ,2 7 . 14已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为,0F c，点P在双曲线C的左支上，若直 线FP与圆 2 2 2 : 39 cb Exy 相切于点M且2PMMF ，则双曲线C的离心率值为_ 【答案】5 【解析】设双曲线C的左焦点为 1 F，由圆心,0 3 c E 可知， 1 2FEEF，又2PMMF ，可知 1 / /EMPF，且 1 3PFEMb，由双曲线的定义得2PFab， 1 PFPF， 1 F PF Rt中， 2222 22 11 2225 c FFFPFPcbabba

17、e a . 15过双曲线 22 22 100 xy ab ab ， 的右焦点且垂于x轴的直线与双曲线交于A,B两点， 与双曲线的渐近线交于C,D两点，若 5 13 ABCD,则双曲线离心率的取值范围为_ 【答案】 13 12 ， 【解析】易知 2 2b AB a ，因为渐近线 b yx c ，所以 2bc CD a ，由 2 25 2 13 bbc aa 化简得 5 13 bc，即 22 25 169 bc，所以 222 25 169 cac，从而 2 169 144 c a ， 解得 13 12 c a . B B 组组 一、选择题 1已知椭圆 2 2 1(0) 1 x ym m 的两个焦点

18、是 12 ,F F，E是直线2yx与椭圆的一个公共 点，当 12 EFEF取得最小值时椭圆的离心率为（） A. 2 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 6 3 【答案】D 【解析】解：联立直线与椭圆的方程整理可得： 2 241310mxmxm， 满足题意时： 2 16112202mmm ， 当2m时，椭圆的离心率取得最小值 6 3 . 本题选择 D 选项. 2过双曲线 1 C： 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的左焦点F作圆 2 C： 222 xya的切线，设 切点为M，延长FM交双曲线 1 C于N，若点M为线段FN的中点，则双曲线 1 C的离心率为（） A.5B. 5 2 C

19、.51D. 51 2 【答案】A 【 解 析 】 取 双 曲 线 右 焦 点 1 F, 连 接 1 F N， 由 题 意 可 知 ， 1 NFF为 直 角 三 角 形 ， 且 11 2 ,4 ,2 ,NFa NFa FFc由勾股定理可知， 2 222 2 1644,5,5 c aace a ，选 A. 高考数学培优专题库教师版 3已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的右顶点为,A O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某 一条渐近线交于两点,P Q,若 3 PAQ 且5OQOP ,则双曲线C的离心率为 A.2B. 21 3 C. 7 2 D.3 【答案】B 【解析】 由图知APQ是

20、等边三角形， 设PQ中点是H， 圆的半径为r， 则AHPQ， 3 2 AHr， PQr， 因 为5OQOP ， 所 以 1 4 OPr， 1 2 PHr， 即 113 424 OHrrr， 所 以 2 3 tan 3 AH HOA OH ，即 2 3 3 b a ， 222 22 4 3 bca aa ，从而得 21 3 c e a ，故选 B 4 在 平 面 直 角 坐 标 系xoy中 ， 双 曲 线 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab 的 渐 近 线 与 抛 物 线 2 2: 2(0)Cypx p交于点, ,O A B,若OAB的垂心为 2 C的焦点，则 1 C的离心率为（

21、） A. 3 2 B.5C. 3 5 5 D. 5 2 【答案】C 【 解 析 】 设 11 ,A x y， 11 ,B xy， 2 C焦 点 为,0 2 p F ， 由 题 意0FA OB ， 即 1111 ,0 2 p xyxy ， 所 以 2 111 0 2 p xxy ， 又 2 11 2ypx， 111 20 2 p xxpx ， 1 5 2 p x ， 22 11 5 225 2 ypxppp， 1 5yp，而 11 b yx a ，即 5 5 2 b p a ， 2 5 5 b a ， 222 22 4 5 bca aa ， 2 2 9 5 c a ，所以 3 5 5 c e a

22、 ，故选 C 5已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右顶点分别为 12 AA、，M是双曲线上异于 12 AA、的 任意一点，直线 1 MA和 2 MA分别与y轴交于,P Q两点，O为坐标原点，若,OP OMOQ依次成等比 数列，则双曲线的离心率的取值范围是（） A. 2,B. 2, C. 1,2D.12 ， 【答案】A 【解析】设 00 ,M xy，因为 2 ,0A a，所以 2 0 0 A M y k xa ，直线 2 MA方程为 0 0 y yxa xa ， 令0 x 得， 0 0 ay y xa ，即 0 0 ay OQ xa ，同理得 0 0 ay OP xa

23、，由于,OP OMOQ成等比数 列，则 2 OMOP OQ，即 22 22 0 00 22 0 a y xy xa ，M是双曲线上的点，则 22 00 22 1 xy ab ，所以 22222 00 a ybxa，即 22 2 0 22 0 a y b xa ，所以 222 00 xyb，OMb，而OMa，从而ba， 2222 2caba，所以2 c e a ，故选 A 6已知点F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于 x轴的直线与双曲线交于,A B两点，若ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（） A.1,B.1,2

24、C. 1,12D.2, 【答案】D 【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若ABE是钝角三角形，显然AEB为钝角，因此 0EAEB ，由于AB过左焦点且垂直于x轴，所以 2 , b Ac a ， 2 , b Bc a ，,0E a，则 2 , b EAca a ， 2 , b EBca a ， 所 以 4 2 2 0 b EAEBca a ， 化 简 整 理 得 ： 2 a acb， 所以 222 aacca， 即 22 20caca， 两边同时除以 2 a得 2 20ee ， 解得2e 或1e （舍） ，故选择 D. 高考数学培优专题库教师版 7 双曲线 22 22 :1(0,0) xy C

25、ab ab 的右焦点和虚轴上的一个端点分别为,F A， 点P为双曲线C左 支上一点，若APF周长的最小值为6b，则双曲线C的离心率为（） A. 56 8 B. 85 7 C. 85 6 D. 10 3 【答案】B 【解析】设双曲线的右焦点为F，AFP的周长为2AFAPPFAFAPPFa， 而APPFAF，所以三角形周长的最小值是2AFAFa 22 226bcab，解得： 76ba， 2 22222 2 85 49364936 49 c bacaa a ，解得： 85 7 c e a ，故选 B. 8已知椭圆 1 C和双曲线 2 C焦点相同，且离心率互为倒数， 12 ,F F是它们的公共焦点，P

26、是椭圆和 双曲线在第一象限的交点，若 12 60FPF，则椭圆 1 C的离心率为（） A. 3 3 B. 3 2 C. 2 2 D. 1 2 【答案】A 【解析】设 11 PFr， 22 PFr在椭圆 1 C中 2 22 121 2 22cos60Crrrr 22 121 211 2 323rrrrarr， 222 1 211 3444rracb，即 2 1 21 4 3 rrb 在双曲线 2 C中 2 22 121 2 22cos60Crrrr 22 121 221 2 2rrrrarr 222 1 222 444rrcab， 22 12 4 4 3 bb即 22 12 3bb，则 2222

27、 12 3acca 所以 222 12 +34aac，由题知 2 1 2 1 1 34 e e，则椭圆离心率 1 3 3 e ，选 A. 9已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为 2, F O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直 线 2 MF与椭圆C的一个交点，且 2 2OAOFOM，则椭圆C的离心率为（） A. 1 3 B. 2 5 C. 5 5 D. 5 3 【答案】D 【解析】如图： 因为 12 OAOFOF， 所以 12 2 F AF ， 2 1 tan 2 OF M， 所以 122 F AFMOF， 12 2FFc， 12 24 , 55 AFc AFc，由

28、椭圆定义，可得 21 65 2 , 35 AFAFca e，选 D. 10设椭圆 22 :1 42 xy C与函数 3 yx的图象相交于,A B两点，点P为椭圆C上异于,A B的 动点，若直线PA的斜率取值范围是3, 1 ，则直线PB的斜率取值范围是（） A.6, 2B.2,6C. 11 , 26 D. 1 1 , 6 2 【答案】D 【解析】设，因为椭圆和函数的图象都关于原点对称，则 从而有 由，得，即有 高考数学培优专题库教师版 则，因为，则有,选 D. 11已知 1 F、 2 F为双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，点P在C上， 12 3PFPF，且 1

29、2 1 cos 3 FPF，则双曲线的离心率e （） A.2B.3C.2D.3 【答案】A 【解析】由双曲线定义及，得 由余弦定理得，得,选 A. 二、填空题 12过双曲线 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的左焦点向圆 222 xya作一条切线，若该切线 与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、 二象限， 且被双曲线的两条渐进线截得的线段长为3a， 则该双曲线的离心率为_ 【答案】2 【解析】设该切线与双曲线的两条渐近线交点,P Q,分别联立切线与两条渐近线: a yxc b b yx a , 解 得 2 22 P a c x ba , a yxc b b yx a , 解 得 2

30、Q a x c , 根 据 弦 长 公 式 得 : 2222222 2222222 2 113 aa cac acab PQa bbacb c bab ba ,两边平方得: 222 22 22 2222 4 4 3 2 aca a b abac ,即 2 42 2 2 41 3316160 2 e ee e ,解得: 2 3 3 e 或2,又因为 切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限，所以2e ,故填2. 13已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 FF、，过 1 F且与x轴垂直的直线交 椭圆于AB、两点，直线 2 AF与椭圆的另一个交点为C，若

31、2 3 ABCBCF SS ，则椭圆的离心率为 _ 【答案】 5 5 【解析】设椭圆的左、右焦点分别为 12 ,0 ,0FcF c,将xc 代入椭圆方程可得 2 b y a ， 可设 2 , b AcC x y a ,由 2 3 ABCBCF SS ，可得 22 2AFF C ，即有 2 2 ,2, b cxc y a ，即 2 222 ,2 b cxcy a ， 可 得 2 2 , 2 b xc y a ， 代 入 椭 圆 方 程 可 得 22 22 4 1 4 cb aa ， 由 222 , c ebac a ,即有 22 11 41 44 ee，解得 5 5 e . 14椭圆 22 22

32、 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，上、下顶点分别为 12 B B，右顶 点为A，直线 1 AB与 21 B F交于点D.若 11 23ABB D，则C的离心率等于_ 【答案】 1 4 【解析】 如图： 设 00 (,)D xy， 由 11 23ABB D， 得 1 3 5 AB AD 根据相似三角形得： 00 3 , 5 ab axy 求 得 00 25 , 33 xa yb， 又 直 线 21 B F方 程 为 ：1 xy cb ， 将 点D 代 入 得 ： 25 2581 33 1,1 3334 ab e cbe C C 组组 一、选择题 1已知Rt A

33、BC中， 2 A ，以,B C为焦点的双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab）经过点A， 高考数学培优专题库教师版 且与AB边交于点D，若2ADBD，则该双曲线的离心率为（） A. 10 2 B.10C. 5 2 D.5 【答案】D 【解析】设,2BDx ADx，根据双曲线的定义的定义可得32 ,2ACxa CDax，又知 2 ,BCc在直角三角形ACD中，根据勾股定理可得 222 2322xxaax可得 4 3 xa， 4 ,2ABa ACa在直角三角形ACD中，根据勾股定理可得 222 22 422,5,5 c aacace a ，故选 D. 2已知,A B分别为双曲线C： 22

34、 22 1 xy ab (0,0ab)的左、右顶点，不同两点,P Q在双 曲线C上，且关于x轴对称，设直线,AP BQ的斜率分别为, ，则当 16 取最大值时，双 曲线C的离心率为（） A.5B.3C.2D.2 2 【答案】A 【解析】解：由题意可知，满足题意时4 ，结合对称性可知：4 APBP kk， 设点P的坐标为,P m n，则： 222 44 nn nma mama ， 点P在双曲线上，则： 222 222 222 1 mnb nma aba ， 据此有： 2 2222222 2 4,5,5,5 c bacabaee a . 本题选择 A 选项. 3已知双曲线 22 22 1 xy a

35、b （0a ，0b ）的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P在双曲线的 右支上，若 12 1 tan 2 PFF， 21 tan2PF F ，则双曲线的离心率为（） A. 2 5 5 B.5C. 3 5 5 D. 5 5 【答案】C 【解析】由题意，得 121221 1 2 3 2 tantan 1 14 FPFPFFPF F ，则 122112 52 53 sin,sin,sin 555 PFFPF FFPF，由 正弦 定理 ，得 12 2 3 2 55 5 55 PFPFc ，解 得 12 4 52 52 5 2 333 ccc aPFPF，即该双曲线的离心率为 3 5 5 c e a

36、 ；故选 C. 4已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 FF、，过点 1 F且垂直于x轴的直 线与该双曲线的左支交于AB、两点， 22 AFBF、分别交y轴于PQ、两点， 若 2 PQF的周长 12， 则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（） A.2B.3C.2 2D. 2 3 3 【答案】D 【解析】解：由题意,ABF2的周长为 24， |AF2|+|BF2|+|AB|=24， |AF2|+|BF2|AB|=4a,|AB|= 2 2b a ， 2 4b a =244a,b2=a(6a)， y=a2b2=a3(6a),y=2a2(92a)， 0a0,

37、a4.5,y0， a=4.5 时,y=a2b2取得最大值,此时 ab 取得最大值, 3 3 2 b ， 故： 2 3 3 3, 3 c ce a . 本题选择 D 选项. 5若直线 1 l和直线 2 l相交于一点，将直线 1 l绕该点依逆时针旋转到与 2 l第一次重合时所转的 角为， 则角就叫做 1 l到 2 l的角， 21 12 tan 1 kk k k ， 其中 12 ,k k分别是 12 ,l l的斜率， 已知双曲线E： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为F，A是右顶点，P是直线 2 a x c 上的一点，e是双曲线 的离心率，APF，则tan的最大值为（） 高考数学

38、培优专题库教师版 A. 1 e B. 1 e e C. 2 1 e e D. 2 e 【答案】C 【解析】解：设,PA PF的斜率为 12 ,k k，由题意可知： 21 12 tan 1 kk k k ， 不妨设 2 ,(0) a Pyy c ，当0y 时由对称性可知结果一致， 则： 12 22 , yy kk aa ac cc ， 令 22 , aa ma nc cc ， 则tan 1 yy mn nm yymn y nmy ， 当 mn y y 取得最大值时满足题意， 很明显0,0ymnca，则：2 mn ymn y ， 当且仅当ymn时等号成立， 此时： 22 tan 22 1 2 mn

39、cae mne aa ac cc . 本题选择 C 选项. 6已知双曲线： 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的一条渐近线为l，圆C： 2 2 8xay 与l交于A，B两点，若ABC是等腰直角三角形，且5OBOA （其中O为坐标原点） ，则双曲 线的离心率为（） A. 2 13 3 B. 2 13 5 C. 13 5 D. 13 3 【答案】D 【解析】双曲线渐近线为 b yx a ，圆 2 2 8xay的圆心为,0a，半径2 2r ，由于 2 ACB，由勾股定理得 22 2 22 24AB ，故 1 1 4 OAAB，在,OACOBC中， 由余弦定理得 222 1 858 cos

40、 210 aa BOC aa ，解得 2 13a .根据圆心到直线 b yx a 的距离为2， 有2 ab c ，结合 222 cab解得 13 3 c ，故离心率为 13 13 3 313 c a . 7已知 12 ,F F为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，以 12 FF为直径的圆与双曲线右 支的一个交点为P， 1 PF与双曲线相交于点Q，且 1 2PQQF，则该双曲线的离心率为（） A.5B.2C.3D. 5 2 【答案】A 【解析】依题意设 1 QFm，则根据双曲线的定义，有 22 2 ,32 ,2PQm PFma QFma，分 别在两个直角三角形 2

41、PQF和 12 PFF中利用勾股定理有 22 2 222 3324 2322 mmac mmama ，解得 4 3 ma，且 22 5ac，故离心率为5 c a . 高考数学培优专题库教师版 8已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，焦距为2 (0)c c ，抛物线 2 2ycx的准线交双曲线左支于,A B两点，且120AOB ，其中O为原点，则双曲线的离心率 为（） A.2B.12C.13D.15 【答案】C 【解析】如下图： ， 2 c OD , 3 , 22 cc A ,代入双曲线方程，可得 22 22 3 1 44 cc ab ，解得

42、31e ，选 C. 对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于, a b或, a c的等式，再进一步求出 离心率。 9已知F为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点，点A为双曲线虚轴的一个端点，过F， A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若 21FAAB ，则此双曲线的离 心率是（） A.2B.3C.2 2D.5 【答案】A 【解析】由双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab ，可设0,Ab，易知左焦点,0Fc，过FA、的直 线方程斜率为 b k c ，所以直线FA方程为() b yxc c ，双曲线的一条渐近线方程为 b yx a

43、 ，联 立这两式可得, acbc B ca ca ，根据 21FAAB ，代入得( 21) ac c ca ，整理得 22 c cae a 10已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F的直线与椭圆交于A， B两点，若 1 F AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（） A.63B.23C.52D. 2 2 【答案】A 【解析】 如图所示，设 1 AFm，则 221 2,22 ,42AFam BFma BFam， 因为 1 F AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形， 所以 2 22 24mamc， 2 22 42mmam 联

44、立解得 2 42 2,96 2ma e， 解得63e ，故选 A. 高考数学培优专题库教师版 11设 P 为双曲线 C： 22 22 1(0 xy a ab ，0)b 上且在第一象限内的点，F1，F2分别是双曲的左、 右焦点， PF2F1F2， x 轴上有一点 A 且 APPF1， E 是 AP 的中点， 线段 EF1与 PF2交于点 M 若 2 2PMMF， 则双曲线的离心率是 A.12B.22C.32D.42 【答案】A 【解析】由题设条件知 1 ,0Fc， 2 ,0F c， 2 , b P c a ， 12 2FFc 在 RtPF1A中，由射影定理得 2 2122 PFFFAF，所以 4

45、 2 2 2 b AF a c 所以 4 2 ,0 2 b A c a c ， 42 2 , 42 bb E c a ca . 1 2 2 4422 2 0 2 2 8 2 4 EF b ab c a k bba c c a c 所以EF1的直线方程是 1 EF ykxc，当x = c时 1 222 422 4 2 83 EF ab cb yck ba ca 即 6222222 812ba b ca b c， 422 4ba c， 又 222 bca， 所 以 2 2222 4caa c， 即 4224 60ca ca，同除以a4得 42 610ee ，得 2 32 2e 或 2 32 2e

46、舍 所以12e 12已知点 6 3, 2 A 是抛物线C： 2 2(0)ypx p准线上的一点，点F是C的焦点，点 P在C上且满足PFm PA，当m取最小值时，点P恰好在以原点为中心，F为焦点的双曲 线上，则该双曲线的离心率为 A.3B. 3 2 C.21D. 21 2 【答案】A 【解析】 由点A在抛物线的准线上，所以36 2 p p ，所以抛物线的方程为 2 12yx， 所以抛物线的焦点3,0F，准线方程为:3l x ， 过点P作准线的垂线，垂直为N， 由抛物线的定义可知PFPN, 因为PFm PA，则 PF m PA ，当直线PA与抛物线相切时，此时m取得最小值， 设直线PA的斜率为k，

47、则直线PA的方程为 6 3 2 yk x， 联立方程组 2 6 3 2 12 yk x yx ，整理，由0 ，解得 6 2 k ， 此时直线的方程为 666 36 222 yxyx， 由 6 6 2 yx与抛物线方程 2 12yx联立，解得点 2,2 6P， 此时双曲线的焦点坐标为 1 3,0 ,3,0FF，且过点 2,2 6P 根据双曲线的定义可知 22 22 1 22232 6232 62PFPFaa， 所以1a ，所以双曲线的离心率为3 c e a ，故选 A。 二、填空题 13已知椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F,点P在椭圆C上， 线

48、段 2 PF 与圆： 222 xyb相切于点Q，若Q是线段 2 PF的中点，e为C的离心率，则 22 3 ae b 的最小值 是_ 【答案】 5 3 【解析】 连接 1, PF OQ, 由OQ为中位线，可得 1 / /OQPF, 1 1 2 OQPF, 圆 222 xyb，可得OQb且 1 2PFb， 由椭圆的定义可得 12 2PFPFa，可得 2 22PFab， 高考数学培优专题库教师版 又 2 OQPF，可得 12 PFPF， 即有 222 2222babc，即为 222222 2baabbcab， 化为23ab，即 2 3 ba， 22 5 3 caba，即有 5 3 c e a ， 则

49、 2 22 5 15155 9 2 3229293 a ae aa baaa ， 当且仅当 5 9 a a 时，即 5 3 a 时等号成立，所以 22 3 ae b 的最小值为 5 3 . 14已知椭圆： 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为3,0F，上、下顶点分别为A，B， 直线AF交于另一点M，若直线BM交x轴于点12,0N，则的离心率是_ 【答案】 1 2 【解析】由题意，得0,0,AbBb，则直线AMBN、的方程分别为1,1 312 xyxy bb ，联 立两直线方程，得 243 , 55 b M ，则 2 2 249 1 2525a ，解得6a ，则该椭圆的离心率为 3

50、1 62 e . 15已知点A是抛物线 2 4xy的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满 足PAm PB，当m取最大值时，点P恰好在以,A B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 _ 【答案】21 【解析】过P作准线的垂线，垂足为N， 则由抛物线的定义可得 1PN PNPBPAm PBPAm PN mPA ， 设PA的倾斜角为，则 1 sin m ， 当m取得最大值时，sin最小，此时直线PA与抛物线相切， 设 直 线PA的 方 程 为1ykx， 代 入s 2 4xy，可 得 2 41xkx（），即 22 44016160121xkxkkP ， （ ， ），双曲线的实轴长