高考数学培优专题库教师版第39讲 圆锥曲线中的离心率问题求值与范围及综合.docx
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1、高考数学培优专题库教师版 第三十九讲圆锥曲线中的离心率问题求值与范围及综合 A 组 一 选择题 1.(2017 年高考浙江卷)椭圆+=1 的离心率是() A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】 【解答】解:椭圆+=1,可得 a=3,b=2,则 c=, 所以椭圆的离心率为:= 故选:B 2.如图, 21,F F分别是双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点,以坐标原点O为圆心, 1 OF为 半径的圆与该双曲线左支交于BA,两点,若ABF2是等边三角形,则双曲线的离心率为() (A)3(B)2(C)13 (D)13 【答案】D 【解析】 依题,22 ,3 12
2、112 AFFFcAFAF所以 112 ) 13(2AFAFAFa 3 5 , 13 ) 13( 2 1 1 AF AF a c e 高考数学培优专题库教师版 3.若双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率是() A. 2B. 3C. 3 4 D. 5 3 【答案】D 【解析】 若双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列 则cab2 所以 3 5 ,)(4)()(4,)(4 22222 a c ecaaccaaccab, 4.已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x E的右焦点为F,短轴的一
3、个端点为M,直线043: yxl交 椭圆E于BA,两点若4 BFAF,点M到直线l的距离不小于 5 4 ,则椭圆E的离心率的取值范围 是 A.A. 2 3 , 0(B. 4 3 , 0(C.) 1 , 2 3 D.) 1 , 4 3 【答案】A 解析:解析:设左焦点为 1 F,连接 11,BF AF.则四边形AFBF1是平行四边形,故BFAF 1 ,所以, aAFAF24 1 , 所以2a, 设)0(bM, 则1, 5 4 5 4 b b , 从而30 , 30 , 1 222 ccca, 所以椭圆E的离心率的取值范围是 2 3 , 0(,故选 A. 5.如图, 21,F F 是椭圆 1 4
4、: 2 2 1 y x C 与双曲线 2 C的公共焦点,BA, 分别是 21,C C 在第二、四象限 的公共点若四边形 21BF AF 为矩形,则 2 C的离心率是( ) A. 2 B.3C. 2 3 D. 2 6 【答案】D 【解析】 高考数学培优专题库教师版 设双曲线实半轴长为a, 焦半距为c,nAFmAF 21 ,, 由题意知3c, 12)2( 4 222 cnm nm , 4)()(2 222 nmnmmn,82-)-( 222 mnnmnm,2,222anma,则双曲线 的离心率 2 6 2 3 a c e ,选择 D. 6.已知 1 F, 2 F是双曲线 22 22 1(0,0)
5、xy ab ab 的左,右焦点,若双曲线左支上存在一点P与点 2 F 关于直线 bx y a 对称,则该双曲线的离心率为 () A 5 2 B2C2D5 D 【解析】 bx y a 即双曲线的一条渐近线方程.过 焦 点 2 F且 垂 直 渐 近 线 的 直 线 方 程 为 : y0(c a x b ),与 bx y a 联立,解之可得 2 xy aab cc ,故 2 PF的中点坐标为( 2 aab cc ,). 由中点坐标公式可得P点的坐标为 2 22aab c cc (,),将其代入双曲线的方程可得 22222 2222 (2)4 1 aca b a cb c ,结合 222 abc,化简
6、可得 22 c5a,故5 c e a =故选D. 7已知F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点,E是双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴 的直线与双曲线交于,A B两点,若ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围为() A(1,3)B(1, 3)C(1,2)D(1,2) 【答案】C 【解析】 由于ABE为等腰三角形,可知只需45ABE即可,即 2 , b AFEFac a 22 , cacaca acac aa ,又0,1,1 1,12 ca caee a ,故选 C 高考数学培优专题库教师版 二 填空题 8.点P为椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y
7、 a x 1 上一点, 21,F F为椭圆的焦点,如果75 21F PF, 75 12F PF,则椭圆的离心率为_ 【答案】 6 3 【解析】 由题意得75sin2,75cos2,90 2121 cPFcPFPFF,所以 3 6 75cos75sin 1 ,2)75cos75(sin2 a c eac. 9.椭圆 )0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x E 的左.右焦点分别为 21,F F ,焦距为c2,若直线)(3cxy与椭 圆E的一个交点M满足 1221 2FMFFMF ,则该椭圆的离心率等于_ 【答案】 1-3 【解析】由直线方程)(3cxy直线与x轴的夹角 3 2 3 21
8、 orFMF ,且过点 )(0 , 1 cF 1221 2FMFFMF 3 2 1221 FMFFMF 即 MFMF 21 在 21MF FRt 中, cMFcMFcFF3,2 2121 由椭圆的第一定义可得13 31 2 32 a c ecca 10.已知双曲线的渐近线与圆有交点, 则该双曲线的离 心率的取值范围是_ 答案: 【解析】 由双曲线的方程为,可得它的渐近线方程为,由圆的方程 可得,所以它是以为圆心,以为半径,又因为圆与渐近 高考数学培优专题库教师版 线有交点,由点到直线距离公式可得,又因为,从而可得 ,双曲线的离心率为,又因为双曲线的离心率大于 1,所以双曲线的离心 率的取值范围
9、为 B 组题 一 选择题 1.(2017 年高考新课标理)已知椭圆 C:=1(ab0)的左、右顶点分别为 A1, A2, 且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为() A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】 【解答】解:以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切, 原点到直线的距离=a,化为:a2=3b2 椭圆 C 的离心率 e= 故选:A 2.已知双曲线左右焦点分别为 21,F F ,点P为其右支上一点, 60 21PF F ,且 32 21 PFF S ,若 | 2211 , 4 1 ,PFFFPF 成等差数列,则该双曲线的
10、离心率为() A.3B32C2D. 2 【答案】A 【解析】 设)(, 21 nmnPFmPF,双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x ,因此有 高考数学培优专题库教师版 32 2 3 2 1 ,2,2 21 21 nmScFFanm FPF ,8nm 又 4222 4)(24 2 1 cnmccnm 由余弦定理 2 1 2 4 2 cos 222 21 2 21 2 2 2 1 21 mn cnm PFPF FFPFPF PFF 222 48cnm 244)( 22 cnm 两式联立解得33 2 cc, 所以3, 1, 22 2 4 6 8 a c eaa n m nm mn 3.如
11、图, 21,F F是双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左、右焦点,过 1 F的直线l与双曲线的左右两支分别 交于点A、B.若 2 ABF为等边三角形,则双曲线的离心率为() A.4B. 7 C. 3 32 D. 3 【答案】B 【解析】根据双曲线的定义,可得aBFBF2 21 ,若 2 ABF为等边三角形,即ABBF 2 , aBFBF2 21 ,即aAFABBF2 11 ,又 aAFAF2 12 ,aaAFAF42 12 , 21F AF中,aAF2 1 ,aAF4 2 ,120 21AF F,120cos2 21 2 2 2 1 2 21 AFAFAFAFFF
12、,即 2222 28) 2 1 (4221644aaaaac, 解之得:ac7,由此可得双曲线的离心率为7 a c e. 高考数学培优专题库教师版 4.设直线)0(03mmyx与双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两条渐近线分别交于点BA,若点 )0 ,(mP满足PBPA ,则该双曲线的离心率是() (A) 2 5 (B) 2 3 (C) 2 5 (D)15 【答案】A 【解析】由双曲线的方程可知,渐近线为x a b y ,分别于 )0(03mmyx 联立,解得 ) 3 , 3 (), 3 , 3 ( ba bm ba am B ba bm ba am A ,由PB
13、PA 得,设 AB 的中点为Q,则 )( 2 33 , 2 33ba bm ba bm ba am ba am Q ,PQ 与已知直线垂直,故 3 Q Q x y ,则 2 5 a c e . 故选 A. 5.斜率为 1 的直线l与椭圆1 4 2 2 y x 相交于BA,两点,则AB的最大值为() A、 2B、 5 54 C、 5 104 D、 5 108 【答案】 C 【解析】【解析】弦长 5 104 5 54 2 2 t AB 6F 是双曲线 C: 22 22 1 xy ab (0,0)ab的右焦点,过点 F 向 C 的一条渐近线引垂直,垂足为 A, 交另一条渐近线于点 B,若2AFFB
14、,则 C 的离心率是() A2B 2 3 3 C2D 14 3 【答案】B 高考数学培优专题库教师版 【解析】 由已知渐近线为 1: b lyx a , 2: b lyx a ,由条件得,F 到渐近线的距离|FAb,则| 2FBb, 在Rt AOF中,|OFc, 则 22 |OAcba, 设 1 l的倾斜角为, 即AOF, 则2AOB, 在Rt AOF中,tan b a ,在Rt AOB中, 3 tan2 b a ,而 2 2tan tan2 1tan ,即 2 2 2 3 1 b b a ba a ,即 22 3ab, 222 3()aca, 2 2 2 4 3 c e a ,即 2 3 3
15、 e . 7已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一个焦点到一条渐近线的距离为c 3 5 (c为双曲线的半焦 距长) ,则双曲线的离心率为() A 3 7 B 2 73 C 7 73 D73 【答案】C 【解析】 任取一焦点)0 ,(cF到一条渐近线x a b y 的距离为b,则cb 3 2 ,有cb23 22 29cb 7 73 7 9 972)(9 2 2 22222 e a c accac 二 填空题 8. 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ,右焦点为F,右准线 为l,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距
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