高考数学培优专题库教师版第13讲 空间向量与立体几何综合.doc

1、高考数学培优专题库教师版 第十三讲 空间向量与立体几何综合 A 组组 一、选择题 1、已知, a b 是非零向量，若向量a 是平面的一个法向量，则“0a b ”是“向量b 所在的直线平行 于平面”的（）条件 A. 充分不必要B. 必要不充分 C. 充分必要D. 既不充分也不必要 答案：B 2、已知向量)0 , 1 , 1 (a，)2 , 0 , 1(b，且bak与ba 2互相垂直，则 k 的值是（） A1B. 5 1 C. 5 3 D. 5 7 【解析】 Dbak(1, ,2),kkba 2(3,2, 2),bak与ba 2互相垂直， (1, ,2) (3,2, 2)570,kkk解得 7 5

2、 k ，故选 D 3、在空间直角坐标系oxyz中，平面OAB的法向量为2, 2,1a , 已知P1, 3, 2，则 P 到 平面OAB的距离等于 （） A4B.2C.3D.1 【解析】B因为向量OP在平面 OAB 的法向量投影的绝对值为 P 到平面 OAB 的距离，所以 2 3 6 | | | a aOP d 4、 如图， 空间四边形CD中，G分别是C，CD的中点， 则 11 CD 22 等于 （） AD BG CG DG 【答案】C 【解析】 试题分析： 如图所示，连结BG,AG，则由G是CD的中点 可得BC+BD=2BG ，又AB+BG=2AG ，故 111 CDCD 222 GG 二、填

3、空题 5、若(2,3, 1)a ,( 2,1,3)b ,则, a b 为邻边的平行四边形的面积为 高考数学培优专题库教师版 【答案】56 【解析】 因为 2 ( 2)3 1( 1) 32 cos, 7|1414 a b a b a b ,所以 2 23 5 sin,1 () 77 a b ,故 所求的平行四边形的面积为 3 5 |sin,14146 5 7 a ba b . 6、如图，已知正方体 1111 ABCDABC D棱长为 4，点H在棱 1 AA上，且 1 1HA ，在侧面 11 BCC B内 作边长为 1 的正方形 1 EFGC，P是侧面 11 BCC B内一动点，且点P到平面 11

4、 CDDC距离等于线段PF的 长，则当点P运动时， 2 |HP的最小值是（） A21B22C23D25 【答案】B 【解析】在 1 BB上取点K，使得 1 1B K，则HK 面 11 BCC B，连结PK，则 2222 16HPHKPKPK 在平面 11 BCC B上，以 1 CC所在直线为x轴，以GF所在直线为y轴，由 题意可知，P点轨迹为抛物线， 其方程为 2 21xy ，K点坐标为0 4， 设P xy， 则 2 21xy（其 中 1 2 2 3 7 1,xy ， 2 2222 421816615PKxyyyyyy 当 1 7 , 2 2 3y 时， 2 min 6|PK，故 2 min

5、|16622HP 三、解答题 7（2017 年北京卷理）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD， 点 M 在线段 PB 上，PD/平面 MAC，PA=PD= 6 ，AB=4 （I）求证：M 为 PB 的中点； （II）求二面角 B-PD-A 的大小； （III）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值 高考数学培优专题库教师版 【解析】（I）设,AC BD交点为E，连接ME. 因为PD平面MAC，平面MAC 平面PBDME，所以PDME. 因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点. （II）取AD的中点O，连接OP，OE.

6、 因为PAPD，所以OPAD. 又因为平面PAD 平面ABCD，且OP 平面PAD，所以OP 平面ABCD. 因为OE 平面ABCD，所以OPOE. 因为ABCD是正方形，所以OEAD. 如图建立空间直角坐标系Oxyz，则(0,0,2)P，(2,0,0)D，( 2,4,0)B ， (4, 4,0)BD ，(2,0,2)PD . 设平面BDP的法向量为( , , )x y zn，则 0 0 BD PD n n ，即 440 220 xy xz . 令1x ，则1y ，2z .于是(1,1,2)n. 平面PAD的法向量为(0,1,0)p，所以 1 cos, |2 n p n p np . 由题知二

7、面角BPDA为锐角，所以它的大小为 3 . 高考数学培优专题库教师版 A P B C D A P B C D G A P B C D x y z （III）由题意知 2 ( 1,2,) 2 M ，(2,4,0)D， 2 (3,2,) 2 MC . 设直线MC与平面BDP所成角为，则 |2 6 sin|cos,| 9| MC MC MC n n n . 所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为 2 6 9 . 8如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCDPAB面面，3 PBPA，且四边形 ABCD 为菱形， 2AD， 0 60BAD. （1）求证：PDAB ； （2）求平面 PAB 与平面 PCD

8、 所成的二面角的余弦值。 【解析】 （1）证：取 AB 边中点 G，连接 PG，DG，DB。 3 PBPAABPG 2 分 又四边形 ABCD 为菱形且 0 60BADABD为等边三角形ABDG 又GDGPGPGDAB面 又PGDPG面PDAB 5 分 （2）又ABPG ，ABCDPAB面面， 且ABABCDPAB面面 ABCDPG面 以 G 为原点，GA，GD，GP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 G(0，0，0),)2, 0 , 0(P，)0 , 3, 2(C，)0 , 3, 0(D )2, 3, 2(PC，)2, 3, 0(PD ABCDPAB面面，且ABABCDP

9、AB面面，ABDG PABDG面 GD为PAB面的法向量，且)0 , 3, 0(GD 设),( 11 zyxn 为PCD面的法向量 G 高考数学培优专题库教师版 023 0232 11 111 zy zyx 令3 1 z，则2 1 y，且0 1 x )3,2, 0(n 5 10 53 6n ,cos nGD GD nGD 又平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的平面角为锐角，故所求二面角的平面角的余弦值为 5 10 。 9、如图，在斜三棱柱 111 ABCABC中，点 O 是 11 AC的中点，AO 平面 111 ABC. 已知90BCA , 1 2AAACBC. (1)求证： 11 AB

10、AC;(2)求 11 AC与平面 11 AAB所成角的正弦值. 【解析】建立如图所示空间直角坐标系 O-xyz, 则 0 03, ,A, 1 01 0,A, 1 0 1 0, ,C, 1 2 1 0, ,B, 0 23, ,C （1） 1 2 13, ,AB , 1 0 33, ,AC , 11 0ABAC , 11 ABAC (2)设 11 0 2 0, ,AC 11 2 2 0, ,AB 1 0 13, ,A A ,设平面 11 AAB的一个法向量是, ,nx y z ， 则 11 1 0 0 AB n A A n ， 令1x ，得 3 11 3 ( ,) n 11 21 7 sincos

11、, AC n 11 AC与平面 11 AAB所成角的正弦值为 21 7 . 10、 如图， 四边形ABCD中，/ /ABCD，30ABD ，222 3ABCDAD，DE 面ABCD， / /EFBD，且 2 3 EFBD. （1）求证：/ /FB面ACE； 高考数学培优专题库教师版 （2）若二面角CBFD的大小为60，求CF与面ABCD所成角的正弦值. 【解析】 （1）证明：设AC交BD于O，连接EO，在ABD中，由余弦定理可得：3DB . 222 ADBDAB，ADDB， / /ABCD，AOBCOD. 2 BOAB DOCD ， 2 3 BOBDEF， 又/ /EFBD，四边形BOEF为平

12、行四边形. / /EOFB. 又EO 面ACE，FB 面ACE， / /FB面ACE. （2）DE 面ABCD DEDA，DEDB， 分别以,DA DB DE所在直线建立如图所示空间直角坐标系， 则 3 3 (0,3,0),(,0) 22 BC ，设DEh，则(0,2, )Fh 33 (,0) 22 BC ，(0, 1, )BFh ， 设平面BCF的法向量为 1000 (,)nxyz ，则 1 1 0 0 nBC nBF ，即 00 00 33 0 22 0 xy yhz ， 高考数学培优专题库教师版 取 0 1z ，有 1 (3 , ,1)nh h 易知平面BDEF的一个法向量 2 (1,0

13、,0)n 12 12 12 | |cos,|cos60 | nn n n nn 解得 2 4 h 3 12 (,) 224 CF ，易知面ABCD的一个法向量 3 (0,0,1)n ， 3 3 3 2 |1 4 sin|cos,| 3|3 2 4 CFn CF n CFn 直线CF与面ABCD所成角的正弦为 1 3 . 11、如图，已知边长为 6 的菱形 0 ,120 ,ABCDABCAC与BD相交于O，将菱形ABCD沿对角 线AC折起，使3 2BD （1）若M是BC的中点，求证：在三棱锥DABC中，直线OM与平面ABD平行； （2）求二面角ABDO的余弦值； （3）在三棱锥DABC中，设点N

14、是BD上的一个动点，试确定N点的位置，使得4 2CN 【解析】 （1）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点， 所以O是AC的中点， 又点M是棱BC的中点， 所以OM是ABC的中位线，/ /OMAB， 因为OM 平面,ABD AB 平面ABD， 所以/ /OM平面ABD （2）解：由题意可知，3OBOD， 因为3 2BD ，所以 0 90 ,BODOBOD， 高考数学培优专题库教师版 又因为菱形ABCD，所以,OBAC ODAC， 建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示， 则 3 3,0,0 ,0,3,0 ,0,0,3ADB， 所以 3 3,0,3 ,3 3,3,0ABAD 设平面ABD的法

15、向量为, ,nx y z， 则有 0 0 AB n AD n ，即 3 330 3 330 xz xy ， 令1x ，则3,3yz，所以 1, 3, 3n 因为,ACOB ACOD，所以AC 平面BOD， 平面BOD的法向量与AC平行， 所以平面BOD的一个法向量为 0 1,0,0n ， 0 0 0 17 cos 717 n n n n nn ， 因为二面角ABDO的平面角是锐角 所以二面角ABDO的余弦值为 7 7 （3）解：设 111 ,N x y z，因为N是线段BD上的一个动点，设BNBD ， 即 111 ,30,3, 3x y z， 所以 111 0,3 ,33xyz， 则 0,3

16、,33,3 3,3 ,33NCN ， 由4 2CN ，得： 2 2 279334 2，即 2 9920， 解得： 12 33 或 高考数学培优专题库教师版 所以N点的坐标为0,1,20,2,1或 12 （2017 年全国 1 卷理）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，且90BAPCDP (1)证明：平面 PAB平面 PAD； (2)若 PA=PD=AB=DC,90APD ,求二面角 A-PB-C 的余弦值. 【解析】 （1）由已知90BAPCDP，得 ABAP，CDPD. 由于 ABCD，故 ABPD，从而 AB平面 PAD. 又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD. （

17、2）在平面PAD内做PFAD，垂足为F， 由（1）可知，AB 平面PAD，故ABPF，可得PF 平面ABCD. 以F为坐标原点，FA 的方向为x轴正方向，|AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Fxyz. 由（1）及已知可得 2 (,0,0) 2 A， 2 (0,0,) 2 P， 2 (,1,0) 2 B， 2 (,1,0) 2 C . 所以 22 (,1,) 22 PC ，( 2,0,0)CB ， 22 (,0,) 22 PA ，(0,1,0)AB . 设( , , )x y zn是平面PCB的法向量，则 高考数学培优专题库教师版 0 0 PC CB n n ，即 22 0 22 2

18、0 xyz x ， 可取(0, 1,2) n. 设( , , )x y zm是平面PAB的法向量，则 0 0 PA AB m m ，即 22 0 22 0 xz y ， 可取(1,0,1)n. 则 3 cos, |3 n m n m n m ， 所以二面角APBC的余弦值为 3 3 . B 组组 一、选择题 1、 已知平面的法向量为(2, 2,4),( 3,1,2)nAB ,点A不在内,则直线AB与平面的位置关系 为 AABBAB CAB与相交不垂直D/ /AB 【答案】D 【解析】 (2, 2,4) ( 3,1,2)6280n ABnAB ,而点A不在内,故/ /AB 2、在正方体 1111

19、 ABCDABC D中,若E是AD的中点,则异面直线 1 AB与 1 C E所成角的大小是() A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 如图建系,设正方形棱长为 2,则 11 (0,0,2), (2,0,0),(2,2,2)ABC,(0,1,0)E, 则 1 (2,0, 2)AB , 1 ( 2, 1, 2)C E , 11 4040AB C E , 即 高考数学培优专题库教师版 11 ABC E , 即异面直线 1 AB与 1 C E所成角为 2 . 3、 空间四边形C中,a ,b ,Cc ,点在上,且 2 3 ,点为C中点, 则 等于（） A 121 232 abc

20、B 211 322 abc C 111 222 abc D 221 332 abc 【答案】B 【解析】 由 题 意MNMAABBN 11 32 OAOBOABC 211 322 OAOBOCOB 211 322 OAOBOC ；又a ,b ,Cc , 211 322 MNabc 故选 B 4、正四棱柱 1111 CDC D 中， 1 2 ，则CD与平面 1 DC所成角的正弦值等于（） A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 【答案】A 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则 11 D 0,0,2 ,0,1,0 ,1,1,2 ,0,1,2 ,1,1,0 ,0,1, 2 ,0,1,0

21、CBCDBDCDC ，设, ,nx y z 为平面 1 BDC的一个法向量，则 0 20 xy yz ，取 2,2,1n ，设CD与平面 1 DC所成的角为，则 2 sin 3 Dn n C DC 二、填空题 5、如图 3，在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D内（含正方体 表面）任取一点M，则 1 1AA AM 的概率p . 【解析】由几何概型的计算公式得 2 2 24 33 6 24 p . A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M 图 3 高考数学培优专题库教师版 6、在直三棱柱 111 ABCABC中,底面 ABC 为直角三角形, 2 BAC , 1 1ABACAA

22、. 已知 与分别为 11 AB和 1 CC的中点,与分别为线段AC和AB上的动点 （不包括端点） . 若GDEF,则线 段DF的长度的最小值为. 【答案】 5 5 【解析】 建立直角坐标系,以为坐标原点,为轴,为轴,为轴,则 1 ( ,0,0)F t（ 1 01t） , 1 (0,1, ) 2 E, 1 ( ,0,1) 2 G, 2 (0, ,0)Dt（ 2 01t） .所以 1 1 ( , 1,) 2 EFt , 2 1 (, , 1) 2 GDt . 因为GDEF,所以 12 21tt,由此推出 2 1 0 2 t.又 12 ( ,0)DFtt , 22 12 DFtt 22 222 21

23、 5415() 55 ttt ,从而有 min 5 5 DF . 三、解答题 7、如图，在三棱柱 111 ABCABC中，已知 0 90BAC，1ABAC， 1 2BB ， 0 1 60ABB. （1）证明： 1 ABBC； （2）若 1 2BC ，求二面角 11 BCCA的余弦值. 【解析】 （1）连结 1 B A，在 1 ABB中， 222 1111 2cos3ABABBBAB BBABB 1 3AB . 又 1 1,2ABBB，由勾股定理的逆定理，得 1 ABB为直角三角形. 1 B AAB. CAAB， 1 B AAB， 1 CAB AA, 高考数学培优专题库教师版 AB 平面 1 A

24、BC. 1 BC 平面 1 ABC AB 1 BC （2） 在 1 ABC中， 11 2,3BCAB,1AC ,则由勾股定理的逆定理， 得 1 ABC为直角三角形， 1 B AAC. 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴， 1 AB所在直线为z轴建立如图所示 的空间直角坐标系Axyz. 则(0,1,0)AC ， 1 ( 1,1, 3)AC ， 1 (0,1,3)BC ， 1 (1,0,3)CC . 设平面 1 ACC的法向量为 1111 ( ,)nx y z . 由 1 11 0 0 ACn ACn 11 11111 00 303 yy xyzxz . 令 1 1z ，则平

25、面 1 ACC的一个法向量为 1 ( 3,0,1)n . 设平面 11 BCC的法向量为 2222 (,)nxyz . 由 122222 122222 0303 0303 BCnyzyz CCnxzxz . 令 2 1z ，则平面 11 BCC的一个法向量为 2 ( 3, 3,1)n . 设二面角 11 BCCA的平面角为，易知为锐角. 12 12 2 7 cos 7 nn nn . 高考数学培优专题库教师版 D C B A P 8、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA 平面ABCD， 2PAABAD，PC与底面ABCD所成角为30. （I）证明：平面PBD 平面PAC；

26、 （II）求平面APB与平面PCD所成二面角（锐角）的余弦值. 【解析】 （I）底面ABCD是平行四边形，且ABAD,ACBD 又 PA Q平面ABCD，PABD ACPAA，BD面PAC 平面PBD 平面PAC （II）PA Q平面ABCD，PC与底面ABCD所成角为30PCA 在Rt PAC中，cot2 3ACPAPCA 在ABC中， 222 44 121 cos 282 ABBCAC B AB BC 120B ，故60DAB ，2BD 设AC与BD相交于点O，取PC的中点Q，连结OQ，则/ /OQPA PA 平面ABCD，OQ平面ABCD 以,OB OC OQ分别为, ,x y z轴方向

27、建立空间直角坐标系，则 0,3,0A，1,0,0B, 0, 3,0C，1,0,0D ， 0,3,2P 设平面APB的法向量, ,nx y z 由 0 0 n AB n PB 得 30 320 xy xyz ，取3x ， 则1,0yz 故平面APB的一个法向量为 3, 1,0n 由 0 0 n CD n PD 得 30 320 xy xyz ，取3x ，则1,3yz 平面PCD的一个法向量 3, 1,3m 高考数学培优专题库教师版 3 1 02 7 cos, 727 n m 设平面APB与平面PCD所成二面角为，且因为为锐角. 2 7 cos 7 ，即平面APB与平面PCD所成二面角的余弦值为

28、2 7 7 9、如图，在空间几何体ABCDE中，平面ACD平面ACB，ACD与ACB都是边长为 2 的等 边三角形，2BE， 点E在平面ABC上的射影在ABC的平分线上， 已知BE和平面ACB所成角为 60. （1）求证：/DE平面ABC； （2）求二面角ABCE的余弦值. 【解析】 证明： 由题意知，ABC与ACD都是边长为 2 的等边三角形， 取AC中点O， 连接DOBO,， 则ACDOACBO,.又平面ACD平面ABC，DO平面ABC,作EF平面ABC,那么 DOEF /，根据题意，点F落在BO上，BE和平面ABC所成角为 60， 60EBF.2BE， 3 DOEF，四边形DEFO是平行

29、四边形，OFDE /.DE平面ABC，OF平面 ABC，/DE平面ABC （2）由已知，ODOBOA,两两互相垂直，故以ODOBOA,为x轴，y轴，z轴建立如图所示的 空间直角坐标系xyzO ，得)3, 13, 0(),0 , 0 , 1(),0 , 3, 0(ECB. )3, 1, 0(),0 , 3, 1(BEBC,设平面BCE的一个法向量为),( 2 zyxn . 高考数学培优专题库教师版 0 0 2 2 BEn BCn , 03 03 zy yx .令取) 1 , 3, 3( 2 n 又平面ABC的一个法向量) 1 , 0 , 0( 1 n， 13 13 | ,cos 21 21 21

30、 nn nn nn. 又由图知，所求二面角的平面角为锐角，二面角ABCE的余弦值 13 13 . 10、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，90ADC，平面PAD 底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点， 2PAPD， 1 1 2 BCAD，3CD （1）求证：平面MQB平面PAD； （2）若二面角MBQC大小的为60，求QM的长 【解析】 （1）AD / BC，BC= 1 2 AD，Q 为 AD 的中点， 四边形 BCDQ 为平行四边形，CD / BQ(2 分) ADC=90AQB=90即 QBAD 又平面 PAD平面 ABCD 且平面 PAD平面 ABCD

31、=AD， BQ平面 PADBQ平面 MQB，平面 MQB平面 PAD (5 分) （2）PA=PD，Q 为 AD 的中点，PQAD 平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCD=AD， PQ平面 ABCD (6 分) 如图，以 Q 为原点建立空间直角坐标系 则(0,0,0)Q，(1,0,0)A，(0,0, 3)P，(0, 3,0)B，( 1, 3,0)C 由( 1, 3,3)PMPC ，且01，得 (, 3 , 33 )M 所以(, 3 , 3(1)QM 又(0, 3,0)QB ， 平面 MBQ 法向量为 1 ( 3,0,)m 由题意知平面 BQC 的法向量为(0,0,1)n 二面

32、角 M-BQ-C 为 60 1 cos60| 2 n m n m ， 1 2 高考数学培优专题库教师版 |QM 7 2 （C 组） 二、选择题 1、在空间直角坐标系Oxyz中,已知(2,0,0) (2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)ABCD.若 123 ,S SS分别是三棱 锥DABC在,xOy yOz zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（） A 123 SSSB 21 SS且 23 SS C 31 SS且 32 SSD 32 SS且 31 SS 【答案】D 【解析】 三棱锥ABCD在平面xoy上的投影为ABC，所以2 1 S， 设D在平面yoz、zox平面上的投影分别为 2 D

33、、 1 D，则ABCD在平面yoz、zox上的投影分别 为 2 OCD、 1 OAD，因为)2, 1 , 0( 1 D，)2, 0 , 1 ( 2 D，所以2 12 SS， 故选 D. 2、已知棱长为 2 的正方体 1111 ABCDA BC D，P是过顶点 11 ,B D D B圆上的一点，Q为 1 CC中点， 则PQ与面ABCD所成角余弦值的取值范围是（） A 5 0, 5 B 5 ,1 5 C 10 ,1 5 D 15 ,1 5 【答案】C 【解析】 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直角坐标系，连结 11 BDDB，交于 高考数学培优专题库教师版 点O，过O

34、作 11 B D的垂线交延长，交 11 B D于E，结合图形得QE与面ABCD所成角余弦值是PQ与面 ABCD所成角余弦值的最小值，过Q作BC的平行线交圆于F，此时PQ与面ABCD所成角余弦值的取 最大值，由此能求出PQ与面ABCD所成角余弦值的取值范围 3、如图，正方体 1111 ABCDABC D中，E是棱BC的中点，F是侧面 11 BCC B上的动点，且 1 / /AF 平面 1 AD E，则 1 AF与平面 11 BCC B所成角的正切值t构成的集合是（） A 22 3 |5 53 tt B |22 3tt C 2 |52 3 5 tt D |22 2tt 【答案】D 【解析】 建 立

35、 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 , 则), 1 ,(),0 , 1 , 2 1 (),1 , 0 , 0(),0 , 0 , 1 ( 1 nmFEDA, 所 以 ) 1, 1 , 1(),0 , 1 , 2 1 (),1 , 0 , 1( 11 nmFAAEAD,设平面EAD1的法向量为),(zyxn ,则由题设 0 0 1 AEn nAD ,即 0 2 1 0 yx zx ,令2x,则)2 , 1 , 2(n,所以由/ 1F A平面EAD1,则0 1 FAn,即 0) 1(21) 1(2nm,也即 2 3 nm,所以1) 1() 1(| 22 1 nmFA.因平面 11 B

36、CC B的法向 量为)0 , 1 , 0(n,故 1 AF与平面 11 BCC B所成角的正弦值 1) 1() 1( 1 | sin 22 1 1 nmFAn FAn , 正 切 值) 2 1 0( 4 5 32 1 ) 1() 1( 1 tan 2 22 m mm nm t, 令 4 5 32 2 mmu, 则 2 1 , 8 1 maxmin uu,所以22tan2,即222 t,所以应选 D. 高考数学培优专题库教师版 4、在正三棱锥PABC中，底面边长2AB ，侧棱1PA ，M，N分别是线段PA，BC上的 动点（可以和端点重合） ，则|MN的取值范围是（） A. 2 ,2 2 B. 1

37、 ,2 2 C. 2 , 3 2 D. 1 , 3 2 【答案】A. 【解析】如下图所示，设 1 MAt PA ， 1 0,1t ， 2 BNt BC ， 2 0,1t ， 222 2222 121212 |22MNMAABBNt PAABt BCt PAABtBCt PA ABt AB BC 2222 1 2121212 11 22222(1)2() 22 t t PA BCtttttt ，当 1 1t ， 2 1 2 t 时， min 2 | 2 MN，当 1 0t ， 2 0t 或1时， max |2MN，即|MN的取值范围是 2 ,2 2 ，故选 A. 二、填空题 5、直三棱柱 ABC

38、A1B1C1中，BCA90，M、N 分别是 A1B1、A1C1 M N A C B z x y C1B1 A1 高考数学培优专题库教师版 的中点，BCCACC1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为 【解析】 如图，分别以 C1B1，C1A1，C1C 为 x，y，z 轴，建立坐标系， 令 CA2，则 A（0，2，2） ，B（2，0，2） ， M（1，1，0） ，N（0，1，0） BM（1，1，2） ， AN（0，1，2） cos ANBM ANBM 56 410 10 30 ， 6、如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上，E、 F

39、 分别为 AB、BC 的中点.设异面直线 EM 与 AF 所成的角为，则cos的最大值为. 【解答】 ： 2 5 （求解对照）以 A 为坐标原点，AB 为x轴，AQ 为y轴建立空间直角坐标系如图所示， 设正方形的边长为 2，则 0,0,0 ,1,0,0 ,2,1,0 ,AEF 设 0, ,2My ，其中0 2y ， 2,1,0 ,1, ,2AFEMy ， 22222 2012 coscos, 5 21 125 yy AF EM yy ，令 2my ，则 222 2 1111112 cos 5559455 94 532532 1 93923 mm mm mm m 当2m ，即 M 在 Q 时，c

40、os取最大值 2 5 . 三、解答题 7、三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图所示设M，N分别是线段AD，AB的中点，P为 线段BC上的点，且MNNP （1）证明：P为线段BC的中点； （2）求二面角ANPM的余弦值 高考数学培优专题库教师版 【解析【解析】 （1）由三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图知，在三棱锥ABCD中： 平面ABD 平面BCD，2ABADBDCDCB设O为BD的中点，连接OA，OC于 是OABD，OCBD且OAOCO，所以BD 平面OAC，进而BDAC 因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以/ /MNBD，又MNNP，于是BDNP 假设P不是线段BC的中点， 则直线NP

41、与直线AC是平面ABC内相交直线， 从而BD 平面ABC， 这与60DBC 矛盾所以P是线段BC的中点 （2）过N作NQAC交AC于Q，因为/ /NPAC，所以NQNP；又因为MNNP，所以 QNM即为二面角ANPM的平面角连接QM，在QMN中，1MN ， 5 8 QMQN（其 中 22 =6ACAOCO） ，所以 222 55 1 10 88 cos 255 2 8 QNMNQM QNM QNMN 8、如图，矩形ABCD中， AB AD （1） ，将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且二面角 CABE的直二面角. （1）求证：平面ACE 平面BCE； （2）设F是BE的中点，二面角EACF

42、的平面角的大小为，当2,3时，求cos的取值 范围. 【解析】 （）二面角EABC为直二面角，BCAB BC平面ABE AEBC CCEBCCEAE, AE平面BCE 平面ACE平面BCE 高考数学培优专题库教师版 （）解法 1：如图，以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度， 建立如图空间直角坐标系， 则AB)0 , 0 , 2 1 (),0 , 0 , 0(),1 , 0 , 1(),0 , 0 , 1(),0 , 1 , 0( 2 22 FECBA 则) 1 , 0 , 1(),0 , 1 , 0( 2 ECEA 设平面EAC的法向量为),(zyxm 则 01 0 2 zx y ，取1x，

43、则)1, 0 , 1 ( 2 m 同理设平面FAC的法向量为)1, 1, 2( 22 n 2 2 2 121 cos1 2| | 2(1) m n mn 4 10 , 3 5 cos3 , 2 解法 2：过F作CEFG 于G，过G作ACGH 于H，连FH，则ACFG 则二面角FACE的平面角为FHG 2 3 ) 2 1 (1 2 2 2 CFAFH为AC的中点 2 2 ) 2 1 () 2 3 ( 2 2 2 2 FH 高考数学培优专题库教师版 由 BCECEF SS 2 1 ，得 2 1 2 1 22 GHFG 2 1 1 2 2 cos 4 10 , 3 5 cos3 , 2 9、 如图，

44、 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为正方形，PA 底面ABCD，ABAP,E为棱PD 的中点. （）证明:AECD； （）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值； （）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得 FMAC，若存在，求出 PM MC 的值，若不存在，说明理由. 【解析】 （）证明：因为PA 底面ABCD， 所以PA CD 因为ADCD， 所以CDPAD面. 由于AEPAD面， 所以有CDAE 分 （）解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图） ， 不妨设2ABAP，可得(2,0,0)B，(2,2,0)C，()0,2,0D， ()0,0,2P. 由E为棱PD的中点，得(

45、0,1,1)E.(0,1,1)AE uuu v 向量( 2,2,0)BD uuu r , (2,0, 2)PB uur . 设( , , )nx y z r 为平面PBD的法向量，则 0 0 PBn BDn即 022 022 zx yx 不妨令1y =，可得n（1,1,1）为平面PBD的一个法向量. z y x E B C D A P 高考数学培优专题库教师版 所以 6 cos, 3 AE EF uuu v uuu v . 所以，直线EF与平面PBD所成角的正弦值为 6 3 . （）解：向量( 2, 2,2)CP uur ，(2,2,0)AC uuu r ，(2,0,0)AB uuu r .

46、由点M在棱PC上，设, (01)CMCP uuuruur . 故(12 ,22 ,2 )FMFCCM uuuruuu ruuur . 由ACFM ，得0 ACFM， 因此，(1-2 )2(2-2 )20，解得 3 4 . 所以 1 3 PM MC . 10、如图 1，在等腰梯形ABCD中，/BCAD， 1 2 2 BCAD，60A ，E为AD中点，点 ,O F分别为,BE DE的中点将ABE沿BE折起到 1 ABE的位置，使得平面 1 ABE 平面BCDE（如 图 2） （）求证： 1 AOCE； （）求直线 1 AB与平面 1 ACE所成角的正弦值； （）侧棱 1 AC上是否存在点P，使得/

47、BP平面 1 AOF? 若存在，求出 1 1 AP AC 的值；若不 存在，请说明理由 【解析】 （）如图 1，在等腰梯形ABCD中， 由/BC AD， 1 2 2 BCAD，60A ，E为AD中点， 所以ABE为等边三角形如图 2, 高考数学培优专题库教师版 因为O为BE的中点，所以 1 AOBE 又因为平面 1 ABE 平面BCDE， 且平面 1 ABE 平面BCDEBE， 所以 1 AO 平面BCDE，所以 1 AOCE （）连结OC，由已知得CBCE，又O为BE的中点， 所以OCBE 由（）知 1 AO 平面BCDE， 所以 11 ,AOBE AOOC， 所以 1, ,OA OB OC

48、两两垂直 以O为原点， 1 ,OB OC OA分别为, ,x y z轴建立空间直角坐 标系（如图） 因为2BC ，易知 1 3OAOC 所以 1(0 0 3),(10 0),(03 0),( 10 0)ABCE ， ， ， ， ， 所以 111 (103),(033),( 103)ABACAE ， ， ， ， 设平面 1 ACE的一个法向量为( , , )x y zn， 由 1 1 0, 0 AC AE n n 得 330, 30. yz xz 即 0, 30. yz xz 取1z ，得(3,1,1) n 设直线 1 AB与平面 1 ACE所成角为， 则 1 33315 sincos, 525

49、5 AB n A1 x z y z z z F O B C DE P 高考数学培优专题库教师版 所以直线 1 AB与平面 1 ACE所成角的正弦值为 15 5 （）假设在侧棱 1 AC上存在点P，使得/BP平面 1 AOF 设 11 APAC ，0,1 因为 1111 BPBAA PBAAC ， 所以( 103)(033)( 1, 3 , 33 )BP ， ， ， 易证四边形BCDE为菱形，且CEBD， 又由（）可知， 1 AOCE，所以CE 平面 1 AOF 所以( 1,3,0)CE 为平面 1 AOF的一个法向量 由( 1, 3 , 33 ) ( 1,3,0)1 30BP CE ，得 1 0,1 3 所以侧棱 1 AC上存在点P，使得/BP平面 1 AOF，且 1 1 1 3 AP AC