一轮大题专练4—导数（极值、极值点问题2））-2022届高三数学一轮复习.doc

1、一轮大题专练一轮大题专练 4导数（极值、极值点问题导数（极值、极值点问题 2） 1已知函数 3 11 ( )() 62 f xxaxlnxax （1）若0a，讨论( )f x的单调性； （2）当1a时，讨论函数( )f x的极值点个数 解： （1）( )f x的定义域为(0,)， 2 11 ( ) 22 fxxalnx， 令 2 11 ( ) 22 g xxalnx， 2 ( ) axa g xx xx ， 因为0a，所以( )0g x，所以( )g x在(0,)上单调递增， 又g（1）0，所以当(0,1)x时，( )0g x ，即( )0fx，当(1,)x时，( )0g x ，即 ( )0f

2、x， 所以( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 （2）当0a时，由（1）可知( )f x在(0,)上有唯一极小值f（1） ， 所以极值点个数为 1 个 当10a时，令 2 ( )0 xa g x x ，得xa， 当(0,)xa时，( )0g x，( )g x单调递减，当(xa，)时，( )0g x，( )g x单调 递增， 所以 1 ( )()() 22 min a g xgaalna ， 令h（a） 1 () 22 a alna ，h（a） 1 () 2 lna， 因为10a， 所以h（a）0， 即h（a） 在 1，0)上单调递减， 所以h（a）( 1)0 max h，

3、（）当1a 时，( )( 1)0 min g xh，在(0,)上，( ) 0g x 恒成立， 即( ) 0fx在(0,)上恒成立，所以( )f x无极值点； （）当10a 时，01a ，h（a）0，即( )0 min g x， 易知 2 0 a ea， 2424 1113 ()0 2222 aaaa g eealnee， 所以存在唯一 2 0 ( a xe，)a使得 0 ()0g x， 且当 0 0 xx时，( )0g x ，当 0 xxa时，( )0g x ，则( )f x在 0 xx处取得极大值； 又g（1）0，所以当1a x时，( )0g x ，当1x 时，( )0g x ，即( )f

4、x在1x 处取 得极小值， 故此时极值点个数为 2 综上所述，当1a 时，( )f x的极值点个数为 0；当10a 时，( )f x的极值点个数为 2； 当0a时，( )f x的极值点个数为 1 2已知函数 2 ( )(1)()2f xln xa xx（其中常数0)a （）讨论( )f x的单调性； （）若( )f x有两个极值点 1 x、 2 x，且 12 xx，求证： 1 1 ()22 2 f xln 解： 2 ( ) ( )(1)()2I f xln xa xx，则 2 1231 ( )(21) 11 axaxa fxax xx ，1x ， 令 2 ( )231g xaxaxa，1x ，

5、 2 8aa， 当0，即08a 时，( ) 0g x ，故( )0fx，所以( )f x在( 1,) 上单调递增； 当0， 即当8a 时，( )0g x 有两个实数根 2 1 38 4 aaa x a ， 2 2 38 4 aaa x a ， 又(0)10ga ，g（1）610a ，且对称轴为 3 ( 1,0) 4 x ，故 1 x， 2 ( 1,0)x ， 所以当 1 1xx 或 2 xx时，( )0g x ，则( )0fx，故( )f x单调递增； 当 12 xxx时，( )0g x ，则( )0fx，故( )f x单调递减； 综上所述，当08a 时，( )f x在( 1,) 上单调递增；

6、 当8a 时 ，( )f x在 2 38 ( 1,) 4 aaa a 和 2 38 (,) 4 aaa a 上 单 调 递 增 ， 在 2 38 ( 4 aaa a ， 2 38 ) 4 aaa a 单调递减； （）证明：因为( )f x有两个极值点 1 x、 2 x，且 12 xx， 所以 1 x为( )f x的极大值点， 由( ) I可知， 1 3 1 4 x ， 1 ()0g x，所以 2 11 1 231 a xx ， 21 11111 2 111 1 ()(1)()2(1)2 23121 x f xln xxxln x xxx ， 令 3 ( )(1)2( 1) 214 t tln

7、tt t ， 则 22 11(43) ( )0 1(21)(1)(21) tt t tttt 对于 3 1 4 t 恒成立， 故( ) t在 3 ( 1,) 4 上单调递增， 所以 31 ( )()22 42 tln ， 故 1 1 ()22 2 f xln 3已知函数( )(1) x f xaeln xlna （1）当1a 时，求函数( )yf x的单调区间； （2）当1a，)时，求证：( )f x总存在唯一的极小值点 0 x，且 0 () 1f x （1）解：函数( )yf x的定义域为( 1,) 当1a 时，( )(1) x f xeln x，所以 1 ( ) 1 x fxe x ， 易

8、知( )fx在( 1,) 上单调递增，且(0)0 f 则在( 1,0)上( )0fx，在(0,)上( )0fx， 从而( )f x在( 1,0)上单调递减，在(0,)上单调递增 （2）证明：( )(1) x f xaeln xlna，所以 1 ( ) 1 x fxae x ，且1a 设( )( )g xfx，则 2 1 ( )0 (1) x g xae x ， 所以( )g x在( 1,) 上单调递增，即( )fx在( 1,) 上单调递增， 由 1 ( )0 1 x fxae x ，得 1 (1) x xe a ， 设( )(1)( )(2)0 xx h xxe h xxe，则( )h x在

9、1，)上单调递增且( 1)0h 则当1a，)时，都恰有一个 0 1x ，使得 0 0 0 1 ()0 1 x fxae x ， 且当 0 ( 1,)xx 时( )0fx，当 0 (xx，)时( )0fx， 因此( )f x总有唯一的极小值点 0 x 所以 0 0 1 1 x ae x ，从而 00 (1)lnaln xx ， 极小值 0 0000 0 1 ()(1)2 (1) 1 x f xaeln xlnaln xx x 由 00 (1)lnaln xx ，可得当1a，)时， 00 (1)0ln xx， 即 00 (1)0ln xx， 00 (1)ln xx随 0 x增大而增大，易得 0 (

10、 1x ，0 令 0 1tx，则(0t，1，设 1 ( )21tlntt t ，（1） 2 2 (1) 1 ( )0 t t t ， 所以( ) t在(0，1上单调递减，且（1）1，从而( ) 1t 即 0 () 1f x 4已知函数 2 1 ( )(1) 2 f xlnxaxax （1）若( )f x在1x 处有极大值，求a的取值范围； （2）若( )f x的极大值为M，( )f x的极小值为N，当 1 2 2 a 时，求|MN的取值范围 解： （1） 1(1)(1) ( )(1)(0) axx fxaxax xx ， （1 分） 当0a时，10ax ，故有：当01x时，( )0fx，( )

11、f x单调递增， 当1x 时，( )0fx，( )f x单调递减，此时( )f x在1x 处有极大值； （2 分） 当01a时，即 1 1 a 令( )0fx，解得： 1 ,1xx a 故有： 当01x时( )0fx，( )f x单调递增， 当 1 1x a 时，( )0fx，( )f x单调递减， 当 1 x a 时，( )0fx，( )f x单调递增 此时( )f x在1x 处有极大值： （3 分） 当1a 时，( ) 0fx，( )f x在定义域内单调递增，无极大值： （4 分） 当1a 时，即 1 01 a ，令( )0fx，解得： 1 ,1xx a 故有： 当 1 0 x a 时，(

12、 )0fx，( )f x单调递增，当 1 1x a 时，( )0fx，( )f x单调递减， 当1x 时，( )0fx，( )f x单调递增，此时( )f x在1x 处有极小值： （5 分） 综上所述，当1a 时，( )f x在1x 处有极大值， 即a的取值范围是(,1) （6 分） （2）由（1）可知，当01a时， 1 (1),( )MfNf a ，当1a 时， 1 ( ),(1)MfNf a ， 所以 11111 | |( )(1)| |(1)(1)| |(0 2222 aa MNfflnlna aaaaa 且1)a ， （7 分） 令 111 ( )(0) 2222 xx g xlnln

13、xx xxx ， 则 22 222 11121(1) ( )0 2222 xxx g x xxxx ， 所以( )g x在(0,)上单调递增， （8 分） 又g（1）0，所以|( )|g x在01x单调递减，在1x 单调递增， （9 分） 于是| |MNg（a）|， 所以| |MNg（a）|在 1 2 a 或2a 处取得最大值， 133 |( )|2,|(2)|2 244 glngln， （10 分） 由于0a 且1a ，| |MNg（a）|g（1）0， （11 分） 所以 3 0 |2 4 MNln， 即|MN的取值范围是(0， 3 2 4 ln （12 分） 5已知函数( )() a f

14、xlnxaR x （1）若1a ，求( )f x的极值； （2）讨论函数( )f x的单调区间； （3）若 2 2 ( )( )2 a g xaf xxx x 有两个极值点 1 x， 212 (0)xxx，且不等式 12 ()g xmx恒 成立，求实数m的取值范围 解： （1）1a 时， 1 ( )f xlnx x ，定义域是(0,)， 22 111 ( ) x fx xxx ， 当(0,1)x时，( )0fx，( )f x递减， (1,)x时，( )0fx，( )f x递增， 故当1x 时函数有极小值f（1）1，无极大值； （2）( )f x的定义域是(0,)， 22 1 ( ) axa f

15、x xxx ， 0a时，0 xa，则( )0fx，( )f x在(0,)递增， 0a 时，令( )0fx，解得：xa，令( )0fx，解得：xa， 故( )f x在(0, )a递减，在( ,)a 递增； 综上：0a时，( )f x在(0,)递增， 0a 时，( )f x在(0, )a递减，在( ,)a 递增； （3） 2 2 ( )( )2 a g xaf xxx x 2 2alnxxx，定义域是(0,)， ( )g x有 2 个极值点 1 x， 212 ()xxx， 即 2 22 ( )220 axxa g xx xx ， 则 2 220 xxa有 2 个不相等实根 1 x， 212 (0)

16、xxx， 480a，0a ，解得： 1 0 2 a，且 12 1xx， 2 11 22axx 从而 12 1 01 2 xx， 由不等式 12 ()g xmx恒成立， 得 22 111111 111 211 ( )2(22)1 (1)2 11 g xxxxxlnx mxxlnx xxx 恒成立， 令 11 ( )12(0) 12 h tttlntt t ， 当 1 0 2 t 时， 2 1 ( )120 (1) h tlnt t 恒成立， 故函数( )h t在 1 (0, ) 2 上单调递减， 13 ( )( )2 22 h thln ， 故实数m的取值范围是(， 3 2 2 ln 6已知函数

17、 1 ( )f xlnxa x （1）当 1 2 a 时，求函数( )f x在(2，f（2）)处的切线方程； （2）当(0,2)aln，证明：函数( )( ) x g xe f x存在唯一极值点 0 x，且 0 ()0g x 解： （1）当 1 2 a 时， 11 ( ) 2 f xlnx x 22 111 ( ) x fx xxx ， f （2） 1 4 ，f（2）2ln， 函数( )f x在(2，f（2）)处的切线方程为： 1 2(2) 4 ylnx， 整理为：44 220 xyln （2）证明：函数 1 ( )( )() xx g xe f xe lnxa x ，(0,)x 2 21 (

18、 )() x g xe lnxa xx ， 设 2 21 ( )h xlnxa xx ， xR ，0 x e ，因此( )g x与( )h x的符号相同 2 233 122(1)1 ( ) x h x xxxx ， 显然，当0 x 时，( )0h x，函数( )h x单调递增 又h（1）02110aa ， 11 ( )4420 22 hlnaaln(0,2)aln， 存在唯一 0 1 (2x ，1)，使得 0 ()0h x 对于( )g x，则有 0 (0,)xx时，( )0g x； 0 (xx，)时，( )0g x 函数( )( ) x g xe f x存在唯一极值点 0 x， 0 1 (2x ，1) 由 0 ()0h x，可得： 0 2 00 21 0lnxa xx ，解得 0 2 00 21 alnx xx ， 000 0 000 222 000000 111211 ()()() xxx x g xelnxlnxee xxxxxx ， 0 1 (2x ，1)， 0 ()0g x