射影几何在高中圆锥曲线问题中的应用-吴佐慧.pdf

1、？ 专论荟萃 ？ 数学通讯 年 第 期（下半月 ） 射影几何在高中圆锥曲线问题中的应用 吴佐慧 （广西柳州 高级中学） 摘要：高等几何为初等几何提供了丰富的理论依据，很多初等几何和解析几何的题目都有高等几何的 背景 本文先给出射影几何中的相关知识 ，然后从射影几何的视角给出文中命题的统 一证明及 推 广 ，并结合高考和竞赛真题进 一 步揭示此类问题的本质 关键词：射影几何 ； 圆锥曲线 ；统 一证 明及推广；高考和竞赛真题 引言 “ 高 等几何 ” 是高等师范院校数学专业的基础 课程之 一 ，其内容 一般是先 给出射影几何 ，然后去 掉 无穷远元素得到仿射几何 ，最后再引进度量得到欧 氏几何

2、，比如同时德国数学家克莱茵（） 应用群论的观点给出 了几何学的定义 并指出欧式 几何 是射影几何的子几何 高等几何为初等几何提供了丰富 的理论依据， 很多初等几何和解析几何的题目都有高 等几何的背 景 ，因此，掌握 一些 高等几何知识有助于我们看清很 多初等几何问题的本 质 ，对高中数学教师以及学生 数学素养的提高都是大有 裨益的文 研究了 年全国高 考数学 卷 （理）第题以及 年武汉市二月调研测试（理）第 题 ，并对其进行推 广，读后深受启发 题 （年全国高考数学卷（理）第！）题） 设楠圆： 的 右焦点为过的直线 与 （ 交于 ，两点，点的坐标为（，） （）当与：轴垂直时 ，求直线的方程；

3、（ ）设为坐标原点 ，证明 ： 题 （年武汉市二月调研 测试（理） 第 题）已知椭圆 （？ ）的长轴长 为，离心率为 （）求 捕圆（；的标 准方程 ；（ 乎 ） （） 过点 （，）作 动 贞线交椭（；于川两 点 ，为平面上 一 点 ，直线 ，的斜率 分 别 记为且满足 也 ，问点 是否在 某定直线上运动，若存在，求出该直线的方 程；若不 存在，请说明理由 本文将从射影几何的视角分别给出文 中命题的统 一证 明及推广，并结合全国 高考数学真题以及全国 高 中数学联赛预赛试题 进 一步揭示此类 问题的本质 接下来 我们 先 给出射影几何中的相关 知识本 文所有的符号都是标 准的，参考 本文二阶曲线

4、 均为非退化二阶曲线 基本知 识 定义 给 定二阶曲线 ） ，如果两点， （不在（）上）的连线与二阶曲线（）交于两点 ， 的 ，且 （） ，则称，关于二阶曲线 （ （ ）调和共轭，或者与关于二阶曲线）互为共 轭点 定理 不 在二阶曲线上的两点 ） ，（，仍 ，）关于二阶曲线三 成共轭点的充要条件是 ？ 定义 定点 关于二阶曲线的共轭点的轨 迹是 一 条直线，这条直线叫做关于此二阶曲线的 极线 点叫这条红线关丁 ？ 此二阶曲线的极点 规定 ：朽 二阶曲线 ： ，则的极线即 为 阶 肋线在 点处 的 切线 定理 （配极原则）如 果点的极线通过 点 则点的 极线通过 点 本文系广 西 教 育科学 “

5、 ？ ：厂规钊课？ （、 项编 ） 、广叫教科 丨规别课题年 度项课题 （ ：项编： 阶 段 性 成果 数 学通讯 年第期（下半月） ？ 专论荟萃 ？ 推论 两 点连线的极线是此二点极线的 交点；两直线交点的极线是此二直线极点的连线 推论 设 ，为二阶曲线的切线， 若其中 ，为切 点，则为点的极线 定 义 如 果 一 个三点形的三个顶点恰 好是 对边的极点 ，则此三角形叫做自极三点 形 注 一 个完全四点 形的四个顶点若 在 一条 二 阶曲线上 ，则这个完全四点形的对边三点形的顶点 是其对边的极 点 ，故此三点 形 为自极三点形 （ 如 图 ） 图 图 定义 如果 （户 ， ， 尸 ， ， ）

6、 ，则称点偶 调和分离点 偶 ， ，巧，或 称，与 调和共 轭 ，也称为，的第四调和点 性 质 如 图 ，在完全四点形 的对 边三点形的每条边上有 一组 调 和共轭点，其中两个 点 是对边点 ，另两个点是这条边与通 过第三个对边 点的 一对 对边的交点 ，则 （ ， 性质 角的两边与这个角的内外角平分 线调和共辄 性质 当且仅当巧为 线段，的中点 注如图 所示，线段 上 ，则 为 的 反演点当且仅当 （ ， ） 为阿波罗尼斯圆 显然（，） ，此时 ， 分别为 的内外角平分线如图 性质 对 于通常线束中以为斜率的四条 直线 ， ，），我们有 （ ： （ 一 ） （ ） （ ， 一 丨 ） 相关应

7、用与推广 命题 直线 为点的 极线 ，过点的直线与 二阶曲线 交于、两点 ，过点作丄 于 ，分 别连接与 ，则当 、两点 在极线 的同侧 时，当、两点在极线 的异侧 时， 证明当、在极线 的同侧时 ，如图所示， 延长交 直线 于点，因为直线为点的极 线， 所以点 是点 的共轭点 ，（，） ， ，为调和线束又因为 ，所 以 当 在极线 的异侧时（如图） ，证法类似 评注 若点 在二阶曲线的对称轴上 ，则此时 点的极线 与对称轴垂直 ，则交点即为，由命题 便 得到文 中 的探究 一 、探究二和探究三的结 论同时 ，如果二阶曲线为椭圆 ，进而就得到前文的 题 （年全国高考数学卷理第 题 ） 如果二

8、阶曲线为抛物线，则得到 年全国高中数学联赛 河南省预赛题第（）问和 年全国高考数学 卷 （理）第题 ；如 果二阶曲线为 圆，则得到 年全 图图 ！ 注 若动 点 满足 则点的轨迹 为圆 进 一 步 ，已知平面内的动点满足 其中 （，）（，），则 点的轨迹为圆，称 国高考数 学陕西卷 （理）第 题和 年全国高考 数学福建 卷（文 ）第 题等 题 的第 （） 问证明如 下：过点 作垂直于轴 的直线 。 ，设直线与？交点为，显然 ： 为 准线，且是焦点 （ ，）的极线，所以点是点的 共轭点 ，（，） ，则，为调 和线束 ，又因为 ， 所以 命题 直线为点的极线，过点的直线与 二阶曲线交于 、 两点，

9、为直线上任意 一点 ， 连接 、，设直线、和的斜 ？ 专论签萃 ？ 数学通讯 年第期（下半月） 率分别为和 ， ，则 （ ） 一 ） （ 一 ） （ ） 证明由性质可得 （ ）（ ） （ ， ）（， ） 当直线与直线 相交时？设交点为 因为 直线 为关 亍二阶曲线 的极线，所以为关 于曲线的共轭点， 丨 （ ）则 （厶 ： ） 一 ） （ ）（ 一 ：） ； （ ， ， ， ， ， ） ） 当直线时， 一 ：） （ 一 ） ） （ ：） 以， ） （，） ，且此时为的中点 评注由命题 我们还可得到 ：当直线 垂直 于轴时 ， ，则 去 ；当直线 垂直于 左 轴时 ，则 ，十 于是便得到 文中

10、探究四、探究五和探究六的统 一 证明以及文 中 的结论同时得到前文 的题 （年 武汉市二月 调 研测试理第 题 ） 、 年全 国高考 数学江 西卷 （文）第 题和 年全国 髙中数学联赛陕西省预 赛题等圆锥曲线试题等 题 的第（） 问证明如 下 ：存在定直线满足题 要求点（ ，）关于椭圆 ： 苦 的极线为 ，即为所求后续过程同命题 的证明 ，不再赘述 命题 如图，圆锥曲线及其外 一定 点 若过点 作圆锥曲线的两条切 线 切 点分別为 、 ，过点的动 线 与 相交于不同的两 点 、， 对請交于 ，证明藏 瑞 证明 因为 、与曲线相 切，所以为 关于曲线（： 的极线 ，则为关于曲线 的共轭 点， （

11、歷 ， ） 评 注由命题 ，我们 清楚了年全国高中 数学联赛福建省 预赛题的本质 稍 加 变形还 以得 是 ？同丨 丨 丨“賴 麵（ ） 年全国高考数 学安徽卷 （理）第题 、年 令 高中数学联赛四川竹预赛题、（ ）年仝 丨 屮数卞 联赛湖北省预赛题第 （）问以及 年 令卨中数 学联赛陕西省预 赛题第 （） 等 圆锥曲线试题 图 图 命题 点 ，）在直线 知； 上运动，且直线与二阶曲线 ： ： 不相交 过点作二阶曲线的切 线，切 点分别为，则直线过定点 证明因为 点（ 。， ）在直线 上运动，所以， ，知 ， ；，且直线为 点 的极线 ，方程为？ 十 ） （ ， ）（ ， ，） ，则可得 （

12、） （） ？（ ） （ ） 于是（知） （ 十石；） ， 且 办） ） ？ 联立方程组，即可解出定点的坐标 评注此类定点问题经常出现比如： 年 全国高中数学联赛河南 省预赛题 第 （） 问、 年 全国高中数学联赛湖 南省预赛题第 （）问（第问即 为性质 应用）、 年全国高中数学联赛湖北省预 赛题第 （）问、 年全国髙中数学联赛（ 卷 ） 一 试第 题 、年全国高中数学联赛湖北省预赛题 第 （）问 、年全国高中数学联 赛陕西 省预赛题 第 （） 问 、 年全国高考数学广东卷 （理）第 题 以及 年 全国高 考数学福 建卷（理）第题等 性质 若 （，）（关）为椭圆（或双曲 线 ）内 一 点 ，直线

13、（非 ：轴 ）过点，）且与 椭 圆 （？） （或双曲线 （ ）交于不同的两点 、 ，则直线 与 轴 所 成的角相 等 性质 若（ ，）（ 关 ）为抛物线内 一 点 直线 （非轴）过点（ ） 抛物线 ？ （ ） ）交 不同的两点 、则 线 、叩 轴所成的角相等 性质 和性质适文中得到的两个结果 作 荇应 州 解 析法 分別给出厂两个性质的证明接下来 我们将应用射影儿何的 知 给； 其统 一 证明 （下转页） 数学通讯 年第 期（下半月） ？ 专论荟萃 ？ 至此，我们的猜想得到了证实，由此可见题 中 的解法二仅仅是题目的 “ 个性 ” 产生的巧合而已 ，题 与题 的解 法二均需要进行调整 问题的再

14、思考 我们接着 来审视上述结论 ，不难 发现利用导数 刻画函数的单调性问题是上述结论的特 殊情形即 是。 以单调递增函数为例： 已知函数（）在区间 ， 连续 ，在 （ ，）可 导 ，且（ ）在区间（，）单调递 增，则对于 （“ ， 山总有 丨 恒成立 已知函数（）在区间？， ； 连续 ，在 （ ，）可 导 ，对于 （？ ，）， （？！ ）恒成立 （ （） 不 恒等于），则（）在区间（，）单调递增 参 考文献： 查晓 东 ，陶晖 分享探究 一 个模 拟题的心路历程 数学通讯 （下半月 ）， （ ） （上接第页） 命题 点和点在圆锥曲线的对称 轴 上，且互为共轭点，过点作直 线与圆锥曲线交于 不同

15、的两点 、，则直 线与圆锥曲线的 对称轴所成的 角相等 证明 如图所示 ，设 、关于圆锥曲线的 对称轴的对称点分别为 。 、 （） ，设 。与 ？交于 点，由对称性可知点 在圆锥曲线的对称轴上 ， 延长与？。 ，设其交点为。，可 知 点 也在圆 锥曲线的对称轴上 又因为 。与 。均垂直于 圆锥曲线 的对 称轴 ，且由第二部分的 注 可得，过 点。且垂直于对称轴的直线为点 的极线 ，则点 与点 。互为共轭点 ，又因为。也在圆锥曲线的 对称轴上且点 为点的共轭点 ，所以。与重 合，因此直线、与圆锥曲线 的对称轴所成 的角相等 其他情况类似 评注 由命题即可得性 质 和性质的统 一 证明本质上命题是

16、命题 的特 例同时也可由命 题 得到 年全国高考数学 卷（理）第 题和 年全国高考数学陕西卷（理 ） 第 题 ？此外，第 二部分的注 也在高考中 多次出现 ：如 年全国 高 考数学江苏卷 （理） 第 题、 全国高考数学 北京卷（理 ）第题以及 全国高 考数学四川卷 （理） 第 题等 限于篇幅 ，文中出现的高考原题以及 全国高中 数学联赛预赛题就不再 一一 列出 ，如有需要请读者 自行查阅 结语 圆锥曲线是高中阶段的重 点和难点 ，且全国高 中数学联 赛以及高 考数学中必有圆锥曲线的题目 ， 一般 运算量较大且得分率低？在文和中 ，我 们 给出伸缩变化和平移坐标系在高中圆锥曲线中 的 应 用 ，

17、解决了部分问题本文给出了射影几何在 高中 数学圆锥曲线中的应用，更具体的是应用极点极线 给出高中数学联赛预赛及全国高考数 学圆锥曲线的 部分真题的统 一 证明及推广 通过研究不难发现 ，高中圆锥曲线试题大部分 都有高等几何的背景 ，且突出数学基本思想方法、体 现数学 核心素养作为高中数学老师，在圆锥曲线内 容平时教学及试题命制的过程中 一定要 多加关注其 高等几何背景，这样不仅能够提升我 们自己的数学 素养 ，而且更能开阔学生的眼界 、拓展学生 的思维， 引导学生以更高的观点去理解 、分析高中数学知识 与习题，引导学生去发现数学试题的本质 、体会圆锥 曲线众多规律的统 一性 ，进 而提高学生对

18、数学的兴 趣以及培 养学生的学术志趣 ，为以后的学术科研打 下 一定基 础 参考文献： 梅向明 ，刘增贤，王汇淳，王智秋 高 等几何 （第 三版）北京：高等教育出版社， 韩智明 一道 调研试题的有缘 “前 世 ” 和美 妙的 “ 今生 ” 数学通讯（下半月 ），（） ： 漆赣湘 关于椭圆准线的若干性质再探究 门 数学通 讯（下半月 ） ， （） ： 俞永锋 与 圆锥曲线极点和极线有关的 一个 等角 定理 数学通讯（下半月），（） ： 吴佐慧 ，林军，刘合国仿射变换在高中数学中 的应用数学通讯 （下半月） ， （）： 吴佐慧平移坐标系法在圆锥曲线问题中 的应 用 中学数学， （ ） ： （收稿日期 ）