数学通讯2020第10期一道解析几何问题的几何证法.pdf

1、数学通讯数学通讯 20202020 第第 1010 期一道解析几何问题的几何证法期一道解析几何问题的几何证法 在此处对在此处对数学通讯数学通讯 2020 第第 10 期期中一篇中一篇对一道武汉市质检试题的推广与变式对一道武汉市质检试题的推广与变式文章进文章进 行一些平面几何角度的分析和证明行一些平面几何角度的分析和证明. 题目呈现：过椭圆题目呈现：过椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C的右焦点的右焦点)0 ,( 2 cF的直线交椭圆于的直线交椭圆于BA,两两 点，已知点，已知)0)(,( 2 tt c a P是直线是直线 c a xl 2 :上的一动点，若上的一动点，若P

2、BPA,分别于分别于x轴分别交于点轴分别交于点 )0 ,(),0 ,( NM xNxM，记椭圆，记椭圆C的右焦点到准线的距离为的右焦点到准线的距离为p，则，则 pcxcx NM 211 . 注：代数证法参见该期杂志，这里仅给出几何证明注：代数证法参见该期杂志，这里仅给出几何证明. 先给出一个引理先给出一个引理1: :设点设点F关于圆锥曲线关于圆锥曲线C的极线为的极线为l， 过过F作曲线作曲线C的任一割线交的任一割线交C 于于BA,两点，交两点，交l于于K，则，则KF,调和分割调和分割BA,，即四点成调和点列，即四点成调和点列. . 证明：如图，由引理可得：证明：如图，由引理可得：KAFB,为调

3、和点列，则为调和点列，则PKPAPFPB,为调和线束为调和线束， 直线直线x轴与调和线束分别交于轴与调和线束分别交于QNFM,四点，根据调和线束的性质可得：四点，根据调和线束的性质可得：QNFM, 四 点 是 调 和 点 列 ， 即四 点 是 调 和 点 列 ， 即)()(FNFQMFFQMFFN FNFQ FQMF FN MF ， 即， 即 FNMF2FQFNFQMF，即，即 FQMFFN 211 ，代入各点坐标可得：，代入各点坐标可得： pcxcxpxccx NMMN 211211 ，证毕，证毕. 参考文献：参考文献：1王文彬王文彬. .极点，极线与圆锥曲线试题的命制极点，极线与圆锥曲线试题的命制J.J.数学通讯，数学通讯，2015(4):62-66.2015(4):62-66.