6.一道圆锥曲线定值问题的深度探析-殷可丁.pdf
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1、所以 4an +2+ an=4an +1 所以 an +2= an +1 1 4 an 所以 an +2 1 2 an +1 an +1 1 2 an = an +1 1 4 an 1 2 an +1 an +1 1 2 an = 1 2 所以 an +1 1 2 an 为等比数列 评注把四个“部分和” 转化为三个“通项” , 再 利用定义证明等比数列 5数学归纳法 例 5设数列 an 的前 n 项和为 S n满足 Sn = 2nan +13n24n, nN*且 S3=15 ( 1) 求 a1, a2, a3的值; ( 2) 求数列 an 的通项公式 解析( 1) 当 n =2 时, S2=
2、4a3 20, S3= S2+ a3 =5a320 =15, 解得 a3=7 所以 a1+ a2=8 当 n =1 时, a1=2a27, 解得 a1=3, a2=5 ( 2) 猜想 an=2n +1 由( 1) 得, n =1 时猜想成立; 假设 n = k( k2) 时假设成立, 即 ak=2k +1; 由 ak= Sk Sk 1=2kak +1 3k24k 2( k 1) ak +3( k 1) 2 +4( k 1) , 整理, 得 ak +1= ( 2k 1) ak+6k +1 2k =2( k +1)+1 所以 n = k +1 时命题成立 综上, an=2n +1 评注数学归纳法是
3、解决此类问题的通法, 尤其 是当题目中条件不容易消元时 教学中不能简单地把此类问题 “套路化” , 要引导 学生体会 Sn与 an的双向关系, 在解题时可以根据题 目条件及要解决的问题“消部分和” 或“消通项” 消 元后通常是构造等差或等比数列 运用公式后, 是否 需要验证, 取决于项的实际意义, 项为正整数 参考文献: 1 杨二明, 罗增儒 数列公式 an= Sn Sn 1( n2) 的教 学认识 J 中学数学研究( 华南师范大学版) ,2014( 09) : 53 +1 4 ( 收稿日期: 2020 03 09) 一道圆锥曲线定值问题的深度探析 殷可丁 ( 汉中中学陕西汉中 723000)
4、 摘要: 本文首先将 2013 年高考数学江西卷文科的一道圆锥曲线试题一般化, 并对该一般化问题尝试探究, 然后 从极点、 极线、 调和点列的角度分析了该题目的几何实质, 最后从更一般的圆锥曲线的角度对该问题进行了深度探析 关键词: 高考题; 探析; 极点; 极线; 调和点列 作者简介: 殷可丁( 1979 ) , 男, 陕西汉中人, 本科, 中学高级教师, 研究方向: 解题教学研究 1问题提出 原题( 2013 年高考数学江西卷文科) 椭圆 C: x2 a2 + y2 b2 =1( a b 0) 的离心率 e =槡 3 2 , a + b =3 ( 1) 求椭圆 C 的方程; ( 2) 如图
5、 1, A, B, D 是椭圆 C 的顶点, P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点, 直线 DP 交 x 轴于点 N, 直线 AD 交 BP 于点 M, 设 BP 的斜率为 k, MN 的斜率为 m 证明: 2m k 为定值 41理科考试研究数学版2020 年 8 月 1 日 本题第( 1) 问答案是 x2 4 + y2= 1; 第( 2) 问答案为 2m k = 1 2 为定值 笔者发现, 第( 2) 问答案定值 1 2 正 好是 b a , 这是巧合, 还是必然?于是笔者对第( 2) 问做 了进一步的思考探究 2问题推广 笔者将原题第( 2) 问一般化为下面的结论 结论已知椭圆 C: x2
6、 a2 + y2 b2 =1( a b 0) , 点 A, B, D 是椭圆 C 的顶点, P 是椭圆 C 上除顶点外的任意 一点, 直线 DP 交 x 轴于点 N, 直线 AD 交 BP 于点 M, 设 BP 的斜率为 k, MN 的斜率为 m, 则 2m k = b a 证法 1由题意, 设直线 BP 的方程为 y = k( x a) , k0, k b a 代入椭圆 C 的方程, 得 ( b2+ a2k2) x22a3k2x + a4k2 a2b2=0 设 P( x1, y1) , 由韦达定理, 得 ax1=a 4k2 a2b2 b2+ a2k2 所以 x1= a3k2 ab2 b2+
7、a2k2 , y1= k( x1 a)= 2kab2 b2+ a2k2 所以 P( a3k2 ab2 b2+ a2k2 , 2kab2 b2+ a2k2) 直线 AD 的方程为 y = b a x + b, 与 y = k( x a) 联 立, 得 M( ab + a2k ak b , 2kab ak b) 设 N( x2, 0) , 由 D, P, N 三点共线, 解得 x2 = a2k ab ak + b , 所以 N( a2k ab ak + b , 0) 所以直线 MN 的斜率 m = 2kab ak b a2k + ab ak b a2k ab ak + b = ak + b 2a
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