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类型6.一道圆锥曲线定值问题的深度探析-殷可丁.pdf

  • 上传人(卖家):四川天地人教育
  • 文档编号:1658827
  • 上传时间:2021-08-17
  • 格式:PDF
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    关 键  词:
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    资源描述:

    1、所以 4an +2+ an=4an +1 所以 an +2= an +1 1 4 an 所以 an +2 1 2 an +1 an +1 1 2 an = an +1 1 4 an 1 2 an +1 an +1 1 2 an = 1 2 所以 an +1 1 2 an 为等比数列 评注把四个“部分和” 转化为三个“通项” , 再 利用定义证明等比数列 5数学归纳法 例 5设数列 an 的前 n 项和为 S n满足 Sn = 2nan +13n24n, nN*且 S3=15 ( 1) 求 a1, a2, a3的值; ( 2) 求数列 an 的通项公式 解析( 1) 当 n =2 时, S2=

    2、4a3 20, S3= S2+ a3 =5a320 =15, 解得 a3=7 所以 a1+ a2=8 当 n =1 时, a1=2a27, 解得 a1=3, a2=5 ( 2) 猜想 an=2n +1 由( 1) 得, n =1 时猜想成立; 假设 n = k( k2) 时假设成立, 即 ak=2k +1; 由 ak= Sk Sk 1=2kak +1 3k24k 2( k 1) ak +3( k 1) 2 +4( k 1) , 整理, 得 ak +1= ( 2k 1) ak+6k +1 2k =2( k +1)+1 所以 n = k +1 时命题成立 综上, an=2n +1 评注数学归纳法是

    3、解决此类问题的通法, 尤其 是当题目中条件不容易消元时 教学中不能简单地把此类问题 “套路化” , 要引导 学生体会 Sn与 an的双向关系, 在解题时可以根据题 目条件及要解决的问题“消部分和” 或“消通项” 消 元后通常是构造等差或等比数列 运用公式后, 是否 需要验证, 取决于项的实际意义, 项为正整数 参考文献: 1 杨二明, 罗增儒 数列公式 an= Sn Sn 1( n2) 的教 学认识 J 中学数学研究( 华南师范大学版) ,2014( 09) : 53 +1 4 ( 收稿日期: 2020 03 09) 一道圆锥曲线定值问题的深度探析 殷可丁 ( 汉中中学陕西汉中 723000)

    4、 摘要: 本文首先将 2013 年高考数学江西卷文科的一道圆锥曲线试题一般化, 并对该一般化问题尝试探究, 然后 从极点、 极线、 调和点列的角度分析了该题目的几何实质, 最后从更一般的圆锥曲线的角度对该问题进行了深度探析 关键词: 高考题; 探析; 极点; 极线; 调和点列 作者简介: 殷可丁( 1979 ) , 男, 陕西汉中人, 本科, 中学高级教师, 研究方向: 解题教学研究 1问题提出 原题( 2013 年高考数学江西卷文科) 椭圆 C: x2 a2 + y2 b2 =1( a b 0) 的离心率 e =槡 3 2 , a + b =3 ( 1) 求椭圆 C 的方程; ( 2) 如图

    5、 1, A, B, D 是椭圆 C 的顶点, P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点, 直线 DP 交 x 轴于点 N, 直线 AD 交 BP 于点 M, 设 BP 的斜率为 k, MN 的斜率为 m 证明: 2m k 为定值 41理科考试研究数学版2020 年 8 月 1 日 本题第( 1) 问答案是 x2 4 + y2= 1; 第( 2) 问答案为 2m k = 1 2 为定值 笔者发现, 第( 2) 问答案定值 1 2 正 好是 b a , 这是巧合, 还是必然?于是笔者对第( 2) 问做 了进一步的思考探究 2问题推广 笔者将原题第( 2) 问一般化为下面的结论 结论已知椭圆 C: x2

    6、 a2 + y2 b2 =1( a b 0) , 点 A, B, D 是椭圆 C 的顶点, P 是椭圆 C 上除顶点外的任意 一点, 直线 DP 交 x 轴于点 N, 直线 AD 交 BP 于点 M, 设 BP 的斜率为 k, MN 的斜率为 m, 则 2m k = b a 证法 1由题意, 设直线 BP 的方程为 y = k( x a) , k0, k b a 代入椭圆 C 的方程, 得 ( b2+ a2k2) x22a3k2x + a4k2 a2b2=0 设 P( x1, y1) , 由韦达定理, 得 ax1=a 4k2 a2b2 b2+ a2k2 所以 x1= a3k2 ab2 b2+

    7、a2k2 , y1= k( x1 a)= 2kab2 b2+ a2k2 所以 P( a3k2 ab2 b2+ a2k2 , 2kab2 b2+ a2k2) 直线 AD 的方程为 y = b a x + b, 与 y = k( x a) 联 立, 得 M( ab + a2k ak b , 2kab ak b) 设 N( x2, 0) , 由 D, P, N 三点共线, 解得 x2 = a2k ab ak + b , 所以 N( a2k ab ak + b , 0) 所以直线 MN 的斜率 m = 2kab ak b a2k + ab ak b a2k ab ak + b = ak + b 2a

    8、, 即 2m k = b a 证法 2设 P( x0, y0) ( x00, x0 a) , 则 k = y0 x0 a 直线 AD 的方程为 y = b a x + b, 直线 BP 的方程为 y = y0 x0 a( x a) , 直线 DP 的方程为 y = y0 b x0 x + b 可得 N( bx0 y0 b, 0) 由解得 M( a2y0+ abx0 a2b ay0 bx0+ ab , 2aby0 ay0 bx0+ ab) 因此, 直线 MN 的斜率 m = 2aby0 ay0 bx0+ ab a2y0+ abx0 a2b ay0 bx0+ ab + bx0 y0 b = 2ab

    9、y0( y0 b) a2y2 0+2abx0y02a 2by 0+ ( a 2b2 b2x2 0) = 2aby0( y0 b) 2a2y2 0+2abx0y02a 2by 0 = b( y0 b) ay0+ bx0 ab 所以 2m k = 2b( y0 b) ay0+ bx0 ab y0 x0 a = bx0y02b2x0 aby0+2ab2 ay2 0 ax0y02abx0 a2y0+ bx2 0+ a 2b = b( bx0y02b2x0 aby0+2ab2 ay2 0) abx0y02ab2x0 a2by0+ ( b2x2 0+ a 2b2) = b( bx0y02b2x0 aby0

    10、+2ab2 ay2 0) abx0y02ab2x0 a2by0+ ( 2a2b2 a2y2) = b( bx0y02b2x0 aby0+2ab2 ay2 0) a( bx0y02b2x0 aby0+2ab2 ay2 0) = b a 接着, 笔者又产生了一系列问题 问题 1在双曲线和抛物线中是否有类似结论? 图 1 中有三个顶点分别是 A, D, B, 而双曲线中只 有两个顶点, 抛物线只有一个顶点, 显然, 从这一角度 将椭圆中这一结论推广到双曲线和抛物线不现实 问题 2图 1 的特征是椭圆上有一个四边形 AB- PD, 其中四边形四个点中三个点固定, 另一个点运动, 图 1 的这一几何特征

    11、与该结论有什么联系? 于是, 笔者先带着问题 2 从几何的角度进行了探 究思考, 以揭示结论的几何特征 在完全四点形的每条边上有一组调和共轭点, 其 中两个点是顶点, 另外一对点里, 一个点是对边点, 另 一个点是这条边与对边三点形的边的交点 注意到图 1 中有一个完全四点形 ABPD, 于是, 连接 AP, BD 交于 点 Q, 连接 MQ, 交 x 轴于点 H, 如图 2 所示 则图 2 中 点 A, B, H, N 是调和点列, 同时QMN 是一个自极三 512020 年 8 月 1 日理科考试研究数学版 角形 由QMN 是一个自极三角形, 则点 N 的极线是 MH 而点 N 在 x 轴

    12、上, 可知过点 N 作椭圆的两条切 线, 其切点弦垂直于 x 轴, 该切点弦所在直线也是点 N 的极线, 因此可知 MHx 轴 由 A, B, H, N 是调和点列, 所以 HA HB = NA NB 即 HA (HN HB )= HB (HN + HA ) 所以 HA HN HB HN =2 HB HA 所以 1 HB 1 HA = 2 HN 则 2m k =2tan( MNH) tan( MBH) =2tanMNH + tanMBH =2 HM HN + HM HB = ( 2 HN + 1 HB ) HM = HM HA = OD OA = b a 到此, 问题 2 基本有了答案 进一步

    13、观察思考, 笔 者又产生了如下问题 问题 3直线 AD 的斜率恰好为 b a , 记直线 AD 的 斜率为 kAD, 则等量关系 2m k = b a 变成了 kAD+ k = 2m 成立 也就是说, 四边形 ABPD 中, 如果 A, D 不是 固定点, 那么 kAD+ k =2m 是否依然成立? 问题 4图 1 中, 四边形 ABPD 的一条边在 x 轴 上也显得有些特殊, 如果四边形 ABPD 的四条边不在 坐标轴上, 那么 kAD+ k =2m 是否成立? 带着这些问题, 笔者从更一般的圆锥曲线的角度 进行了深入思考 如图 3, 四边形 ABPD 是圆锥曲线 C 上的四边形 因为完全四

    14、点形的每条边上有一组调和共轭点, 其中 两个点是顶点, 另外一对点里, 一个点是对边点, 另一 个点是这个边与对边三点形的边的交点 所以, 点 A, B, H, N 是调和点列, MA, MB, MH, MN 是调和线束 所以sinAMH sinBMH sinBMN sinAMN =1 设直线 MA, MB, MH, MN 的倾斜角分别为 1 , 2, 3 , 4, 则AMH = 3 1, BMN = 4 2, BMH = 2 3, AMN = 4 1 则 sin( 3 1) sin( 4 2)= sin( 2 3) sin( 4 1) 可见, 这一等量关系就是所有问题的关键 所在 由此, 也

    15、可以看出原题的命题背景及本文中结论 的几何实质 在图 2 中, 3= 2 , 则有 sin( 2 1) sin( 4 2) = sin( 2 2 ) sin( 4 1) 所以 cos1( sin4cos2 cos4sin2) = cos2( sin4cos1 sin1cos4) 去括号, 整理得 2cos1cos2sin4= cos1cos4sin2 +cos2cos4sin1 化简, 得 2tan4= tan1+ tan2 即直线 MA 的斜率 kAM, 直线 MB 的斜率 k, 直线 MN 的斜率 m 满足 kAM+ k =2m 再回到图 1 中, 当 A, D 两点固定, 则 kAM为定值, 即 2m k 为定值, 这就是 原题 参考文献: 1 梅向明, 刘增贤, 王汇淳, 王智秋 高等几何M 北 京: 高等教育出版社, 2008 ( 收稿日期: 2020 04 07) 61理科考试研究数学版2020 年 8 月 1 日

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