关联椭圆准线若干性质探究-姚先伟.pdf

1、得（ ） 又 为正整数， 取， 则 （） ， 故 （ ） ， 令 （ ） ， 得 易得 （） （） ， 因此 满足题意， 所以正整数的最大值为 这种方法也适合例 不难发现， 如果我们对自 变量取值不当， 那么可能造成参数的范围过大， 给后续的验证带来困难 【 结束语】 函数中的任意性问题通常可转化为函数的最值 问题 解题中要注意数学思想方法的应用， 如转化与 化归思想、 分类讨论思想、 数形结合思想等 解题是一种认识活动， 是对数学知识的继续学 习过程， 寻找解题思路的过程就是寻找条件与结论 之间的逻辑联系或转化轨迹的过程 对于解题教学， 教师的主要任务不在于提供解法或结论， 也不在于 解法有

2、多么的高超精妙， 而应是揭示解法的神秘面 纱， 给得到的解法一个说法， 寻求一个合情合理的诠 释， 必要时还要上串下连， 适当的拓展引申， 引导学 生发现解决问题的最本质最一般的方法， 也就是“ 通 性通法”只有这样， 学生才能掌握解题的基本方法， 才能提高解题教学的有效性 在解题教学中， 有些教师一堂课能讲很多题目， 有些题目点到为止， 其“ 含金量” 会有多少？因为学 生缺少了各种体验的机会， 没有了比较分析， 一旦遇 到了不同的问题， 当然不会随机应变， 因此考场上经 常出现教师讲过的题学生仍然不会做的现象就不足 为奇了 课堂上教师、 学生都花了时间， 却没得到相 应的效果， 得不偿失

3、所以， 草草讲 道题， 不如讲 透一道题， 解题教学要讲究质量， “ 题不在多， 经典就 行” 一道题讲完后让学生多些反思， 多些探究， 一定 会有惊喜出现， 这样数学学习就不会成为一种负担， 而是一种乐趣 参考文献： 杨发廷一类含有“ 任意性、 存在性” 问题的求解策略 中学数学教学， （） ： 陈晓明对几道高考数学全国卷导数试题命题规律的 探究 中学数学教学， （） ： 陈荣桂提高高三数学总复习的有效性的几点思考 数学通报， （） ： 陈晓明对一道教材习题的探究中学数学教学参 考， （ ） ： （ 收稿日期： ） 关联椭圆准线若干性质探究 姚 先 伟 （ 四川省绵阳东辰国际学校高中部， ）

4、 在椭圆的学习研究中， 我们发现与椭圆的准线 有关的若干性质， 现分述如下 为行文方便， 本文以椭圆 （ ） 为例， 当涉及一条准线时以左准线为例， 、分别 表示椭圆的长半轴长、 短半轴长、 半焦距 性质如图， 设椭圆 （ ） 长轴的左、 右两端点为、，为左准线上任一 点， 、 分别交椭圆于、 ， 则 恒过椭圆 图 的左焦点（，） 证明设（， ） ，（，） ，（，） ， （，） ， 设直线 的方程为 （） ， 直线 的方程为 （ ） 将 （） 与 数学通讯 年第 期（ 下半月） 专论荟萃 联立， 消去得 （ ） 因为 与是此方程的两根， 所以 ， 即 ， 所以 （） 于是（ ， ） 同理可得（

5、 ， ） 由于、 交左准线 于， 所以 （ ）（ ） ， 即 又 （ ） ， 所以直线 的方程 是 （ ） （ ） 现在只需验证点（， ） 在直线 上 将， 代入， 并利用知（， ） 在 直线上， 故过左焦点（，） 推论设、是椭圆 （ ） 长 轴的左、 右两端点，是过椭圆的左焦点（ ， ） 的弦， 则直线、 的交点在椭圆的左准线 上 图 性质如图 ， 是椭圆 （ ） 左准线上一点， 过 作 椭 圆 的 切 线、 ，、为切点， 则直 线过椭圆的左焦点 （，） ， 且 证明设（， ） ， （，） ，（，） 则切线的方程为 ， 又 （， ） 满足此直线方程， 所以 同理有 于是可知直线的方程是 因为

6、 ， 所以 ， 令 ， 得， 即直线过椭圆的左焦点（，） 又由（ ， ） ，（，） ， 可得 （ ） 又 （ ） ， 所以 ， 即 推论设是过椭圆 （ ） 左焦点（，） 的弦， 分别过点、作椭圆的切 线， 则两切线交点在椭圆的左准线上， 且 性质如图，是椭圆 （ ） 左准线上任意一点， 以（是坐标原点） 为 直径的圆与圆 交于、两点， 则直线 恒过椭圆的左焦点 证明设（ ， ） ， 则以为直径的圆的 方程是（ ） （） ， 此圆与圆 相交于、 两点， 两圆方程相减得直线 的方 程是 显然， 不论取何值直线 均过定点（， ） ， 即 恒过椭圆的左焦点（，） 图图 性质如图， 过椭圆 （ ） 的左

7、焦点（，） 作一直线交椭圆于、两点， 专论荟萃 数学通讯 年第 期（ 下半月） 是椭圆左准线与轴的交点， 则 平分 证明当 轴时， 结论显然成立 当 不垂直于轴时， 过、作的垂线， 垂足分别为、 ， 过 、作轴的垂线， 垂足分别 为、 由 得 ， 由椭圆第二 定义有 ， 又 ， ， 所以 ， 故 于是 ， 所以 ， 即 平分 推论 是过椭圆 （ ） 左焦 点（，） 且不与长轴垂直的弦，是轴负半轴 上一点， 若 ， 则是椭圆左准线 与轴的交点 图 性质如图， 设 、是椭圆 （ ） 的左、 右焦点， 过椭圆右焦点且与 轴垂直的直线与椭圆交 于、两点， 连结 与椭圆交于，连结 交轴于， 则是椭圆 左

8、准线与轴的交点 证明设（，） ，（，） ，（， ） ， 易 知（， ） ， （， ） 直线 的方程是 （ ） ， 与椭圆方 程 联立， 消去得 （ ） ， 则与是 此 方 程 的 根，所 以 ， 故 ， ， 即（ ， ） 所以直线的斜率为 （ ） ， 于是 的方程是 （ ） （ ） 令解得 ，所以与 轴的交点坐 标是（ ， ） ， 此即为椭圆左准线与轴的交点 推论设、是椭圆左、 右焦点，是椭圆 （ ） 的左准线与轴的交点， 是过点且垂直于轴的弦， 连结 交椭圆于 ， 则 、三点共线 性质如图， 设 （，） 为椭圆 （ ） 的左焦点， 不过点的直线与椭圆交于 、两点， 且与椭圆的左准线交于 ，

9、则 平 分 的外角 证明过、分别作的垂线， 垂足为、， 则 由椭圆第二定义有 ， 即 ， 所以 ， 故 是 的外角平分线 图图 性质如图 ， 是过椭圆 （ ） 的左焦点（，） 的弦，左准线与轴交于 ， 若 ， 则 平分线段 证明过作 于 ， 则 ， 设 交 于 由 得 ， 所以 由 得 ， 所以 数学通讯 年第 期（ 下半月） 专论荟萃 由椭圆第二定义有 由、可得，即是线段 的中点 推论 是过椭圆 （ ） 左 焦点（，） 的弦， 准线与轴交于，是线 段 的中点， 直线交于 ， 则 推论 是过椭圆 （ ） 左 焦点（，） 的弦， 左准线与轴交于 ， 过 作 ， 垂足为，是线段 的中点， 则、 、

10、三点共线 图 推论如图， 设 、是椭圆 （ ） 长轴的左、 右两端 点， （，） 是左焦点， 是左准线，是 椭 圆 上 （ 除 、外） 任意点， 直线 、 分别与交 于 、两 点，则 证明设（ ， ） ，（，） ，（，） 直线 的方程是 （ ） ， 因为 交左准线 于， 所以点 的纵坐标为 （ ） （ ） （ ） ，即（ ， （） （ ） ） 同样， 的方程是 （ ） ， 有 （ ， （） （ ） ） 又（，） ， 所以 （） （ ） （ ） （） （ ） （ ） ， 于是 性质如图， 设 （，） 是椭圆 图 （） 的左焦点， 过 的直线交椭圆于、 两点，是椭圆左准线 上任一点， 直线 、 、

11、 的斜率分别为、 ，则、成等差数 列 证明当、是长 轴的两端点时， 易知结论 成立 当、不是长轴的两端点时， 设 ： ， 与椭圆的方程联立， 消去化简得： （ ） 设（， ） ，（，） ， 则 ， 设（ ， ） ， 因为（，） ， 所以 （）（ ） （） ， （） ， （） （） （ ） （） （） 即 ， 故 、成等差数列 类比于双曲线与抛物线是否有类似性质， 请读 者自行思考 运用上述性质可求解与圆锥曲线准线有关的高 考题和竞赛题， 限于篇幅， 此处不赘述 参考文献： 沈文选， 张垚， 冷岗松奥林匹克数学中的几何问题 长沙： 湖南师范大学出版社， 年月 （ 收稿日期： ） 专论荟萃 数学通讯 年第 期（ 下半月）