7.活跃于数学高考中的帕斯卡六边形定理-虞关寿.pdf

1、年 第 期 中学数学研究 ？ 命题如图， ，与 相交于点、 ，过 点 的 一条直 线分别交 ， 、于点、，过点 的另 一 条直 线分别交 ， 、：于点 、厂 ，且 ） 狀 ，直线 分别交 ， 、 于点 、 （？ ，设分 别是巧 、私的中点，求证：、 四点共圆 在图 的基础上 ，连结 ，取的中点 ，设直 线 与 分别相 交 于不同于点 的两点 ， ，连结 、（见图），则 过点作丄 于点 ，过点 作丄 于点 况 ，注意到 是 的中点，即知， 故，于是，从而知 ，即二，故 令，则，即知垂直 平分 ，故 （ ，于是乙 （ 注意到，知 拊 ，于是 厶 尺 再注 意到 是 的中点，知 至此 ， 年全国高中

2、数学联赛加试试题 （ 卷 ） 一 水到渠成： 命题如图 ，在 锐 角 中，是边的 中点 点在内 ，使 得凡平分 直线 与的外接圆 分别相交于不同于点 的 两点 ， ，证明 ：若 ，则尸 参考文献 丨中国数学奥林匹克 中等数学 ， ， 年全国高中数学联合竞赛 中等数学 ， ， 活跃于数 学高考中的帕斯 卡六边形定理 浙江省绍兴鲁迅中学 （ ）虞关寿 考题呈现 题 （ 贵州高中数 学 竞赛题）如图 ，已知 是椭圆谷 （ ）的左右顶点， 是该椭 圆上不同与顶点的两点 ，且直 线与 与冲分别交 于点 ， （ ）求证 ：丄 ； （ ）若弦 过椭圆的右焦点，求 直线的 方程 题 （ 江 西高考 题）如图

3、，已知抛物线： ，过点（，）任作 一直 线与 相交于 ，两点，过点 作 轴的平行线与直线 相交于点 （ 为坐标原 点） （ ）证明：动 点 在定直线上 ； （ ）作 的任意 一 条切线 （不含轴），与直线 相 交于点 ，与 （ ） 中的定直线相交 于点 ， 证明 ： 丨丨 ， 丨 为定值，并求此定值 题 （ 台州市 高三模拟题 ） 已知椭圆： （ ）的左 、右焦点分别为心，心， 上顶点为下顶点 为点 在椭圆 上 ， 且 的面 积为 万 （ ）求椭圆 的方程 ； （ ）动直线 心 与该椭圆交于不同两点 ， ，求证：直线与直线 的交点在定直线 上 这三个考 题取之不同的水 平考试 ，但有个共同 的

4、特点，就是先用 “ 帕斯卡 六边形 定理 ” 作预判，得 到所要得到 的结果 ，然而 有 意识地消去 一 些参量，朝 既定的方向进行变形与运算，由于目标已明确，所以 图 本文为绍兴市教育科学 年规划课题深度学习背景下侧文学生数学高阶思维培养的实践与研究研究成果 ？ 中学数学研究 年第 期 我们在解决问题时，不会感到无所适从 从近年的各 省 市的高考题和 数学竞赛题及自主招生题来看，能 充分感悟到这类问题都是用 “ 帕斯卡六边 形定理 ” 来设计和编 拟的，可见 “ 帕斯卡六边形定理 ” 独特的 运用价值 一 、帕斯卡六边形定理及证明 帕斯卡六边形定理 ：如果圆锥曲线的内接六边 形的三双对边所在

5、的直线分别相交 ，那么这三交点 共线 定理的证明通常是 先证明圆锥曲线是圆的情 形，然后利用 “ 投影、仿映（相 似变换） ” 或运用复 平 面的旋转变换和平移变换，可证明定理对椭圆、双曲 线、抛物线仍然正确 证明：如图 ，设圆内 六边形 的三双对 边所在的直线分别相交于 三点 ，记两直线 与 相交于，两 直线与相交于 ，两直线与 相 交于 依次注意直线 、直线 及以、直线 去截 ： 的三边所在 直线，则运用 三次梅涅劳斯定理得 ， ？三式相 乘 记 ？ ？ （ ？ ？ ？ ？ ？ ，又由圆的割线定理得 ？ ） ？ ， ： ？ ？ ， ？ ，猶卷 ？ 監 再运用梅涅劳斯定理的逆定理得三个交点

6、尸， 共线 ？ 我们把这其中的三交点所在的直线称为 帕斯卡 直线 为了使此定理更 具完备性，作这样的规定：两条 平行 直线相交于 “ 无穷远点 ” ，而且平面内的无穷远 点在平面内的任意 一条直线 上 近年 来 一 些命题专 家青睐于以帕斯卡六边形定 理为题源 ，把其 一般情形演 变到具体 、特 殊、极端、退 化等情形，结合圆锥曲线中的极点与极线理论编制 出竞赛题、高考题及自主招生题 二 、帕斯卡六边形定理的特殊化与拓展 帕斯卡六边形定理特殊化 把圆锥曲线内接六边形中相邻的两个顶点合成 一个点 ，则可得下列三个推论（以椭圆为 例） ： （ ）椭圆内接五边形沾过点 的切线与 直线 ） 相交于点

7、，直线与直线相交于点 （？ ，直线 与直线狀相交于点 ？ ，则 三点共 线 ； （ ）椭圆内接 四边形 ，直线与直线 相交于点 ，直线与直线）相交于点，过点 的切线与过点的切线相交 于点 ？ ，则 三点 共线； （ ）椭圆内接三角形 ，过点切线与直线 相交于点 ，过点的切线与直线相 交于点 （？ ，过点的切线与直线 相交于点 ？ ，则 三 点共线 帕斯卡六边形定理拓展处理 （ ）上述所 给的内接六边形 ，我们 一般认 为它 是凸六边形 ，可验证对凹六边形也是成立的，同样对 凹五边形、凹四边形也是成立的 ； （） 当 一个 多边形有 一 对对边平行时，作这样 的规定 ：两条平行直线相交于 “ 无

8、穷远点 ” ，而且平 面内的无穷远点在平面内的任意 一条直 线上 三、帕斯卡六边形定理及推论的应用 题 分析与解答 ： 分析：题目中的内 接凸 四边形 可看作凸 六边形 込的退化形式 ，其中割线 无 限趋近于以点 为切点 的切线 ，割线仏（？无限 趋近于以点为切点的切线 （？两切线相交 于点 帕斯卡 六边形定理知三点财， 共线，设弦 与长轴轴）的交点坐标为（。，），又由极点与极 线的关联 性得动点的轨迹是 直线 这样就 可以推测两个小题的结论 解： （ ）设（ ， ），（ ， 仏 泠） ，由 （ ，（，（，可得两 直线的方程 为： （ （；！ ） （ ：？： ；仲：（ （； ） 沒（ ； ）

9、，联立两 方程并消去得 （ ）（ ） （ ）（ ） 项并整理可得 （ ） 芦（ ） ： （ ） （） ，即 （ ） ： （ ） （沒 ）？ 利用三角恒 等变换公式得 （ ￥ （ 年第期 中学数学研究 ？ 因为 ，？不同于顶点，所以 ；同理由直线方程与直线方程， 联立消去可得 、故 ，所以 丄 （）注意到 （ ， ） ， （ ， ） ，又由 三 点共线可得 ，所以 （ ） （ ） ，移项并整理得 （ ） （ ） ， 即 所以 ，即 以、 ，因此直线的方程 为 题分析与解答 分析：设想抛物线 ： ： 的内接凸六边形 皂的点 是与 ；轴正方向 同向的无穷远 点，当两点，皂无限趋近于直到重合于点，两点

10、 ，无限趋近于直到重合于点时 ，可理解两条 直线都平行于轴 ，设直线岑 ，即点处的 切线与直线 ，即点处的切线 ，两切线的交点 为 ，两直线交于点 ，则由帕斯卡六边形 定 理和极限 思想可推测 知三点三点共线 ，再由 极限思想和圆锥曲线的极点与极线理论可推 知，动 点的轨迹是点的极线，易知极线方程为 ，显 然动点 ）也在这条定直线上 解： （ ）依题可设的方程为； ，与抛 物线方程 联立 ，消去得 设 ！ ， ；） ，（，） ，则有？巧 ，直线 的 方程为，直线的方程为，联立解得 尤 点 的坐标为 ， ），注 意到 ， ，？，士 ， ；） ，则有 （）依题知，切线 的斜率存在且不 等于，设切

11、线 的方程为 ： （ ） ，代入 ，得欠 （似） ，即 ？ ，由 得 （ （ ） ，即得 ？所以切线 的方程可写成 似： ，令， 得 ，的坐标分别 ： （ ，） （ ， ）， ， ） （ ） 题分析与解答 分析：由题设条件容 易得（ ）椭圆方程为 观察椭圆 的内接 四边形为 一个 凹四 边形，如图，可把它想象 成椭圆的内接凹六边形 退化情形（其 中和无限接近直至重合于点，况和 无限 接近直至重合于 点 ） 这样可借助帕斯卡 六边形 定理，推测直线与直线的交点 、椭圆在点 处的切线与在 处的切线的交点、直线与直线 扣的交点 （？这三点共线 而易知两切线交点在定 点（，）的极线上，则可推测交点也在

12、这条 极线上 解 ： ？咕 二 ，又点 （在，在）在椭圆 上 ， ？ ？ ？ ， ？ ？ ？ ，解得 或 （舍去），又 ， 、 ，人椭圆的方程为 誓 （） ） ，由韦达定理知 （ ，），（， ） ，且三点， 共线 ，三 ？ 中学数学研究 年第期 点共线， 可得且￥ ？ 把这两式相除 可得 （ ） ） （ ） （？） ，运用合比与分比定理 得驾 （） ？贝丨 ？ ？直线 与直线 的交点在定直线 上 三角形 “ 边分比 ” 性质的应用举例及其推广 广东省广州市铁 一 中学（ ）何重飞 华南 师范大学数学科学学院（）吴康 丰富繁杂的平面几何世界，有 一些命题或 者结 论及其模型 简洁明了 ，但在解题

13、应用当中却是 一 把 利器，正所谓 “ 小结论，大应用 ” 下 面笔者介绍 一个 涉及三角形边角 关系的 “ 边分比 ” 性质，并对性质的 简单应用及其推广加以举例探究 三角形 “ 边分比 ” 性质 如图 ，在中， ， 上的 一 点 ，则有 证明： （法 一 ）在 別） 中，由正弦定理 ？ ；同理在）中， 、，士 所以有而 图 当点在或的延长线上时 ，结论也成立 （法二：面积法） ？ ？ ？ ？ ？ 性质推论在中 ，是抓上的 一 点 ，则 ： ， 利用上述 “ 边分比 ” 性质或其推论可以证明平 面几何中的 多个经典定理 例 （ 角平分线定理）在中，）是乙 的平分线，且与 交 于点） ，则有 证明 ：因为是厶的平分线，所以乙似 乙傷 ，由 “ 边分比 ， 性 质可得仙 仙也乙似 ，当 是乂的外角平分线时 ，定理也成立 例 （角 元塞瓦定 理）内 一 点，连接， ，并延长之，如果分别 交三角形的另 一边 于 ），五 ， 则有 ；（） 证明：如图所示，设乙尸 乙如 ，则由三角形 “ 边分比 ” 性质知 丑 蠢 ，厶 ， ，又因为 ，所以黑 ？ 所以