4.圆锥曲线一组性质及猜想的简证与推广.pdf

1、圆锥曲线一组性质及猜想的简证与推广 曾 建 国 （ 江西省赣州市赣南师范大学数学与计算机科学学院， ） 一、 引言 文 将有关圆锥曲线切线、 割线的一组性质进 行了推广， 证明了更为一般化的结论（ 为节省篇幅， 仅列出有关椭圆的结论， 参见图） 命题 设点（， ） （ 非坐标原点） 为椭圆 ： （ ） 内一点， 过点任作两直线 ， 分别与椭圆交于， 设直线 ， 交于点过直线 上任意一点作直线： 的平行线， 与直线 ， 分别交于 点， 则直线 平分线段 图 图 文 末作者猜想命题的极限情形结论成立， 但因未能找到严格、 规范的证法及简捷证法而留下 “ 一丝遗憾” （ 参见图） 猜想设点（， ）

2、（ 非坐标原点） 为椭圆： （ ） 内一点， 过点任作一直线与 椭圆交于， ， 设 ，处的两条切线交于点 过直线 上任意一点作直线： 的平行线， 与直线 ， 分别交于点， 则直 线 平分线段 文 通过引进“ 调和线束” 、 “ 完全四边形的调 和性” 等“ 高观点” ， 完美地证明了上述猜想 但美中 不足的是文 的证法仍算不上“ 简捷证法” 本文拟 利用调和点列的一个性质， 给出命题及猜想的简 证并将结论进一步推广 二、 有关调和点列的概念和性质 定义 对于线段 的内分点 与外分 点 ， 若 ， 则称、调和分割线段 （ 或 线段 被、调和分割） ， 或称点列、 为调和点列 根据定义易知， 若线

3、段 被、调和分 割， 则线段 也被、调和分割 调和点列与圆锥曲线的极线概念密切相关 事 实上， 根据高等几何知识我们有（ 参见图） ： 图图 定义 设两点 、的连线与圆锥曲线 相交于、， 若线段 被、调和分割， 则称、 是关于圆锥曲线的一对调和共轭点 定义 一点 关于圆锥曲线的所有调 和共轭点的轨迹为一条直线， 称直线为点 （ 关 于） 的极线， 点为直线（ 关于） 的极点 我们知道， 点（， ） （ 非坐标原点） 关于椭圆 的极线方程为 （ 参阅文 的引理） 因此， 在命题及猜想中， 直线就是点 关于椭圆的极线 特别地， 圆锥曲线焦点的极线就是与之对应的 准线 当在外时， 其极线是从点所引曲

4、线 的两条切线的切点所确定的直线（ 即切点弦所在 直线） 如图， 过一点作圆锥曲线 的割线分别与 曲线及点的极线交于点、及， 则根据上述 定义易知， 、为调和点列 定义 如图， 若 、为调和点 列， 过此点列所在直线外任一点作射线 、 、 、， 则称这四条射线为调和线束 反过来， 任一 直线与调和线束相交所截的四个点构成调和点列 调和点列有一个特殊性质（ 参见图） ： 图图 引理 如果 、 、 、为调和线 束， 且平行于 ， 则 必平分线段 三、 命题与猜想的简证及推广 命题的简证如图， 依题设知， 直线就是 关于椭圆的极线 设直线 与交于， 根据 定义和定义知， ，是调和点列， 由定义 知，

5、 ， ， 是调和线束 因为 交 于， 则调和线束也就是 ， 根据引理即知，为线段 的中点 猜想的简证依题设知， 图中是关于椭 圆的极线， 于是，是调和点列， 以下与命 题证法类似， 同理可得为线段的中点 从上面的证明我们不难发现， 命题及猜想中 没必要限制点在椭圆内， 即它们可以推广为下面 的结论（ 点在椭圆外的情形见图 、 图 ， 上面的 证法完全适用， 证明略） 命题设点关于椭圆的极线为， 过点 任作两直线 ， ， 分别与椭圆交于， ， 设直线 ， 交于点 过直线 上任意一 点作直线的平行线， 与直线 ， 分别交于 点， ， 则 命题 设点关于椭圆的极线为， 过点 任作一直线与椭圆交于两点

6、， ， 设 ，处的 两条切线交于点 过直线 上任意一点作直 线的平行线， 与直线 ， 分别交于点， ， 则 图图 在引理中， 显而易见， （ 图中） 与点列所在直 线 平行的直线可以换成调和线束中的任一 条， 也能得到类似的结论 因此， 命题及命题也 可以通过变换所作的平行线得到新的命题 例如命 题中换成作 的平行线就得（ 见图， 证明略） ： 命题 设点关于椭圆的极线为， 过点 任作两直线 ， ， 分别与椭圆交于， ， 设直线 ， 交于点 过直线 上任意一 点作直线 的平行线， 与直线， 分别交于 点， ， 则 类似这样的命题还可以写出很多； 另外， 椭圆 也可以换成其他圆锥曲线， 得到一系

7、列命题， 这里不 再赘述 以上命题的结论不仅揭示了圆锥曲线的有趣性 质， 也为我们编制圆锥曲线试题提供了丰富的素材， 例如 年北京高考圆锥曲线试题就是以此为素 材编制的 参考文献： 干志华圆锥曲线中的一个割线性质再探究数学 通讯（ 上半月） ， （ ） ： 李伟健 椭圆的一个结论的演变历程 数学通讯（ 上 半月） ， （ ） ： 朱德祥高等几何北京： 高等教育出版社， 沈毅 与调和点列有关的平面几何问题 中等数学， （） ： 郑春筱调和点列的一个特殊性质及应用数学通 讯（ 上半月） ， （ ） ： 曾建国 调和点列： 一道 年北京高考题的背景分 析及应用 数学通讯（ 上半月） ， （ ） ： （ 收稿日期： ）