1.极点、极线与圆锥曲线试题的命制.pdf

1、6 2 数学通讯 一 2 0 1 5年第 4期( 下半 月) 课外园地 极点l、 极线与圆锥曲线试题的命制 王文彬 ( 江西省抚州市第一中学 ， 3 4 4 0 0 0 ) 极点与极线是高等几何中的重要概念 ， 当然不 是 高中数学课程标准 规定的学 习内容， 也不属 于 高考考查的范围， 但 由于极点与极线是 圆锥曲线 的 基本 特征 ， 因此 在高考 试题 中必 然会有所 反 映 ， 自然 也会 成为 高考试 题 的命 题背 景 作为一名中学数学教师 ， 应当了解极点与极线 的概念 ， 掌握有关极点 与极线的基本性质 ， 只有这 样、 ， 才能“ 识破” 试题 中蕴含的有关极点与极线 的知

2、 识背景 ， 进而把握命题规律 1 极 点与极 线 的定义 定 义 1 ( 几 何 定 义 )如 图 1 ， P 是不在 圆锥 曲线 上 的点 ， 过 P 点 引 两 条割线依次交圆锥 曲线 于 四 点 E， F， G，H，连 接 EH， F G 交 于 N， 连 接 图 1 P E G， F H 交 于 M ， 则直 线 MN 为点 P 对 应 的极 线 若 P为圆锥曲线上的点 ， 则过 P点的切线即为 极 线 由图 1 可 知 ， 同理 P M 为 点 N 对应 的极线 ， PN 为点 M 所对应 的极 线 MNP称为 自极 三点形 若 连接 MN 交 圆锥 曲线 于点 A ， B， 则

3、P A， PB恰 为 圆 锥曲线的两条切线 定义 2 ( 代数定义)已知圆锥 曲线 I 1 ： Az 。 + C y 十2 D +2 E +F= = = 0 ， 则 称 点 P( -r 。 ， 。 ) 和 直线 Z ： Ax o z +C 。 +D( + 0 ) +E( y +Y o ) + F一0是 圆锥曲线 r的一对极点和极线 事实上 ， 在圆锥曲线方程中， 以 z 。 z替换 z ， 以 l X O i T I 替换 ( 另 一 变 量 Y也 是 如 此 ) ， 即 可得 到 点 厶 P( x 。 ， Y 。 ) 的极线 方程 特别 地 ： ( 1 )对于椭 圆 x z T yZ 一 1

4、 ， 与点 P( 。 ， 。 ) 对应 的极线方程为 X o X + 1 ； ( 2 ) 对于双曲线 一yA 6 一 1 ， 与 点 P( x 。 ， 。 ) 对 应 的极线 方程 为 一 Y o Y一1 ； ( 3 )对于抛物线 Y 。 一2 p x， 与点 P( z 。 ， Y 。 ) 对应 的极线 方程 为 Y 。 3 ， 一p ( x 。 + ) 2 极 点与极 线 的基本 性质 定理 1 ( 1 )当 P在圆锥曲线 r上时 ， 其极线 是曲线 r在 P点处的切线 ； ( 2 )当 P在 r外时， 其极线 z 是 曲线 I 1 从点 P 所引两条切线的切点所确定的直线 ( 即切点 弦所

5、在 直线 ) ； ( 3 )当 P在 r内时 ， 其极线 z 是曲线 r过点 P 的割 线两 端点 处 的切 线交 点 的轨迹 证明 ( 1 )假设 同以上代数定义 ， 对 I 1 ： Ar 。 + C y 。 2 D x2 E y + F一0的方 程 ， 两 边 求 导 得 2 Ax + 2 c y y 2 D 2 E y = o ， 解 得 3， = 一 会 ， 于 是 曲 线 r 的 P 点 处 的 切 线 斜 率 为 忌 一 一 会 丰 尝 ， 故 切 线 z 的 方 程 为 Y - Y o 一 一 会 丰 罢 ( X - X O ) ， 化 简 得 Ax 0 z +C o y -Ax

6、 ： 一C j Dx +E y -Dx o E 。 一 O 又点 P在 曲线 r上 ， 故有 Ax +C y +2 D x 。 + 2 E y 。 +F一0 ， 从 中解 出 A x +C y ， 然后代 入 前式 可 得曲线 I 1 在 P点处的切线为 z ： Az 。 xC y 。 十D( x +z 。 ) +E( y y 。 ) +F一0 根据代数定义， 此方程恰 为点 P 的极线 方程 ( 2 )设过点 P所作 的两条切线 的切点分别为 M( x ， Y ) ， N( x ， Y 。 ) ， 则 由( 1 ) 知 ， 在点 M， N 处 的 切线方程分别为 Ax x +C y y +D

7、( + ) +E( y 课 外园地 数学通讯 一 2 0 1 5年第 4期( 下半 月) 6 3 + ) +F一0和 Ax x 2 +C y y 2 +D( x 2 + ) +E( y 2 + ) +F一0 ， 又点 P在切线上 ， 所以有 Ax0 z 1 + C Y 1 十D( z l + 0 ) + E( 1 + Y 0 ) + F 一 0 Ax0 X 2 + C 0 2 + D( x2 + o ) + E( Y 2 + Y o ) + F 一 0 观察这两个式子 ， 可发现点 M( x ， Y ) ， N( z ， Y 2 ) 都在直线 Az 。 + o j ， +D( z +z 。 )

8、 +E( + ) +F一0上 ， 又两点确定一条直线 ， 故切点弦 MN所 在的直线方程为Ax 。 z +C 。 +D( + 。 ) +E( y + Y 。 ) +F一0 根据代数定义 ， 此方程恰为点 P对应的 极 线 方程 P 2 图 3 ( 3 )设曲线 I 1 过 P( z 。 ， Y 。 ) 的弦 的两端点分别 为 S ( x ， Y t ) ， T( x z ， Y ) ， 则 由( 1 ) 知 ， 曲线在这两点 处的切线方程分别为 Ax1 + C y1 Y + D( x1 + ) + E( y l + ) +F一0， Ax2 z+ C 2 + D( z 2 + z) + E( 2

9、 + ) +F一0 设 两切线 的交 点为 Q( ， ) ， 则有 Axl m+ C y1 + D( x1 + ) + E( y1 + n ) + F一 0 ， Ax2 7 7 2 + C y 2 + D( x 2 + ) + E( 2 + n ) + F一 0 观察两式 ， 可发现 S( z ， Y ) ， T( x z ， Y 。 ) 都在直 线 A +C +D( + ) +E( + ) +F一0上 ， 又 两点确定一条直线 ， 所以直线 S T的方程为 Ax m+ C y n+D( z+m) +E( + n ) + F一 0 又直 线 S T过点 P( o ， Y 。 ) ， 所 以 A

10、x o m+C y o +D( z 。 + ) +E( y 。 + ) +F一0 ， 这意味着点Q( m， ) 在直线 A 0 z +c 。 Y +D( x 0 + ) +E( + ) +F 一0上 所 以 ， 两 切 线 的 交 点 的 轨 迹 方 程 是 Az 。 z+ Cy 0 + D( 0 + z) + E( o + ) + F一 0 定理 2 ( 配极原则 ) 点 P关于圆锥曲线 r 的极线 P经过点 Q 点 Q关于 r的极线 q经过点 P ； 直线 P关于 r的极点 P 在直线 q上直线 q 关于 r的极点 Q在直线 上 由此可知， 共线点的极线必共点 ； 共点线的极点 必共线 定

11、 理 3 如 图 4 ， 设 点 P关 于 圆锥 曲线 r 的极 线为 过点 P任作一割线交 r于 A， B， 交 z 于 Q， 则 一 器 ； 反 之 ， 若 有 成 立 ， 则 称 寰 P ， Q 调 和分割线段AB， 或称点 P与Q关于r调和共轭 点 P关 于圆锥 曲线 r的调和共轭点的轨迹是 一 条直线 ， 这条直线就是点 P的极线 推论 1 如 图 4 ， 设点 P关 于圆锥 曲线 r 的调 和 共 轭 点 为 点Q ， 则 有 壶一 南+ 南 ； 反 之 ， 若 有 成立 ， 则点 P 与 Q 关 于 工 1 调 和共轭 可 以证 明 与 是等 价 的( 详 略) P 图 4 图

12、5 P 特别地 ， 我们还有 推论 2 如图 5 ， 设点 P关于有心圆锥曲线 r ( 设其中心为 O) 的调和共轭点 为点 Q， 直线 P Q经 过圆锥 曲线的中心 ， 则有 O R 一O P( ) Q； 反之， 若 有 O R 一O P O O成 立 ， 则 点 P与 Q 关于 r调 和共 轭 证明 设直线 PQ与 r的另一交点为R ， 若点 P 与 Q 关 于 r 调 和 共 轭 ， 则 有 = 器 ： 0 R一( 注意 0 R， 一O R) ，化 简 即可 得OP+O R O R +O Q 一 L 仕思 一 f H J B p H J 1 哥 O R 2 一O P 0 Q。 反 之 ，

13、 由 O R 一O P O Q 也可 推 出 一 器， 即 点 P 与 Q 关 于 r 调 和 共 轭 定理 2 、 定理 3的证 明可参 阅有关 高等几何教 材 ， 这 里从 略 3 特 殊 的极点 与极 线 圆锥 曲线 的焦点与其相应的准线是该词锥曲 线 的一对极 点 与极线 譬如 ， 对于椭圆 + 一1而言， 右焦点 F( c ， 6 4 数学通讯 一 2 0 1 5年第 4期( 下半月) 课外 园地 o ) 对 应 的 极 线 为 + 1 ， 即 z 一 譬 ， 恰 为 椭 圆的右准 线 对 于椭 圆 + 一1而 言 ， 点 M ( m - 0 ) 对 应 n 0 的极 线方 程为 z

14、 一 ； 对 于 双 曲线 一 y Z 一1而 言 ， m n D 点 M( m， 0 ) 对 应 的极 线 方程 为 z 一 ； ( 3 ) 对 于抛 物 线 。 一2 p x而 言 ， 点 M ( m， O ) 对应 的极 线方 程 为 定 理 4 如 图 6 ， 设 圆 锥 曲线 r 的 一 个焦点为 F， 与 F 相 应 的准线 为 z ( 1 ) 若 过 点 F 的直 线 与 圆 锥 曲线 I 1 相 交 于 M ， N 两 点 ， 则 r在 M ， ， 两 ， Q 图 6 点 处 的切线 的交点 Q 在 准线 Z 上 ， 且 F QJ _ MN； ( 2 ) 若过准线 l 上一点

15、Q作 圆锥曲线 r 的两条 切 线 ， 切 点 分别 为 M ， ， ， 则 直 线 MN 过 焦 点 F， 且 FQ上MN； ( 3 ) 若过焦点 F的直线 与圆锥 曲线 r相交 于 M ， N两点 ， 过 F作 F Qj _ MN 交准线 z于Q， 则连线 Q M ， QN是圆锥曲线 r的两条切线 下面给出椭圆情形下结论( 1 ) 的证明， 其余 皆同 理可证 设 r： i z T yZ 一 1( 口 6 o ) ， 则 F( c ， O ) ， ： 一 一2 由于焦点 F的极线为 ， 故切线 MQ， NQ的交点 Q一定在直线z 上， 设Q ( “_， Y Q ) ， 则点Q的极线为 n

16、2 + 一 一 c 再设 MN： 一是 ( c ) ， 则 是 = = = 一 ， 即有 。 一 一 ，从 而 Q 点 的 坐 标 为 ( 譬 ， 一 关 ) ， 于 是 冈 一 走 M N = = = 一1 ， 故 F Q_ L MN 4 圆锥 曲线试 题 的命 制 2 2 例 1 对 于椭 圆 + 一1 ， 如 图 7 ， 如 果 取 定 “ c ， 点 P， 过点 P作割线 P AB， 设 P与 Q关于椭圆调和 共轭， 则点 Q一定在一条定直线上 特别地， 如 图 8 ， 如 果点 P， Q 调和 共 轭 ， 而且 点 P在 某 直线 上运 动 ， 则 Q是点 P 的极线与射线 O P

17、的交点 J 尸 一 J l V P 一 一 图 7 图 8 【 链接 1 】( 2 0 0 8年安徽 卷理 2 2 )设 椭 圆 C： 口 + 一 1 ( 口 6 0 ) 过 点 M ( ， 1 ) ， 且 左 焦 点 为 F ( 一 ， 0 ) ( 1 )求椭 圆 C的方 程 ； ( 2 )当过 点 P( 4 ， 1 ) 的动 直 线 z 与 椭 圆 C 交 于 两个不同的点 A， B时， 在线段 AB上取点 Q， 满足 I A-P l 1 一 I I 1 商 l ， 证明点 Q总在某 定直 线上 简 析 ( 1 ) 易 求 得 答 案 等 十 等 一 1 ( 2 ) 由 条 件 可得 一

18、， Q 关 于 圆 锥 曲 线 c 调 和共轭 根据 定理 3 ， 点 Q在 点 P 对 应 的极 线 上 ， 此极线方程为4_ + 一1 ，化 简 得 2 + _2 0 故 点 Q总在 直线 2 x + 一2 0 匕 _ 3 一 一 ： 图 9 图 1 O 【 链 接 2 】 (1 9 9 5年 全 国 卷 理 2 6 )已 知 椭 圆 c ： 翥 + 一 1 ， 直 线 z ： 5E + 詈 = 1 ， P 是 z 上 一 点 ， 射 线 0 P交 椭 圆于点 R， 又点 Q在 O P 上且 满 足 1 0 Ql 田 1 一 是 一 一 兰 j OP1 一 l O R I ， 当点 P在

19、l上 移 动 时 ， 求 点 Q 的 轨迹方 程 ， 并 说 明轨迹 是什 么 曲线 简 析 由条件 I O R I 一 I OP1 I O C t I 可知点 P， Q关 于椭 圆 C 调和 共轭 ， 点 Q是 点 P 的极 线与 射线 O P 的交点 设 P( 1 2 t ， 8 8 t ) ， 则 与 P 对 应 的 极 线 方 程 为 + 二 = ： = l ， 化 简得 十1 一一 儿I H J 1 苛 + ( 1 一f ) 一2 if ) 又 射 线 O P 的 方 程 为 3 ，一 与 蔷 三 r ， 化 简 得 一 z 一百z 由联立方程组并 消去 t 得 2 z 。 +3 y

20、 。 一4 x 十6 y ( 下 略) 例 2 设椭 圆方程 为 + 一 l ( 6 o ) ， 点 P( m， O ) ( 卅o ， I I =i a b ) 的极线为垂直 于 z轴的直 线 ： 一 ， 若 点 Q在该 极线 上 ， 则其 坐 标 可设 为 J 一 P一 图 1 1 图 l 2 过 轴上的定点( “_， 0 ) ， 当然直线 MN也过该定 LO 点； 如果 为常数 m。 ， 则点 T的极线恒过Y轴上的 L2 定点 ( O ， ) ， 此 时直 线 MN 也 过该定 点 7 1 1 0 【 链接】( 2 0 1 0年 江 苏 卷 理 1 8 ) 在 平 面直 角 坐 标 系 z

21、 0 中 ， 如 图1 2 ， 已 知 椭 圆 等 + 等 一 l 的 左 右 顶点 为 A， B， 右 焦 点 为 F 设 过 点 T( t ， ) 的 直线 T A， T B与此椭 圆分 别交 于点 M ( 2 C 。 ， Y ) ， N( z 2 ， Y 2 ) ， 其 中 O ， l O ， Y 2 O ) ， 点 T( m， ) ( ， O ) ， A， B为椭 圆的左右顶点， 直线 T A， T B分 别 与 椭 圆 交 于 另一 点 M ， N 如 果 t 为常数 。 ， 则点 了 、 的极线为 十! 一l ， 该极线恒 ( 2 )设 z 。 = = = 2 ， 一了 1 ，求点

22、 了 的坐标 ； ( 3 )设 t 一9 ， 求证 ： 直线 MN 必过 轴上的一 定 点 ( 其 坐标 与 m 无 关 ) 简 析前 面两 问 比较 简 单 ， 这 里从 略 对 于 ( 3 ) ， 当 f 一9时 ， 丁点 坐标 为 ( 9 ， ， ， z ) ， 点 了 对 应 的 极线 方 程 为 + 一 l ， 即 + 一l ， 此 直线 恒过 X轴上的定点 K( 1 ， 0 ) ， 从 而直线 MN 也恒过定点 K ( 1 ， O ) 一 2 2 例 4 如 图 1 3 ， 设 椭 圆 J 1 的 方程 为 + 1 ( ( 6 O ) ， 其右焦点为 F， 直线 ，与椭圆 上 1 相切于 P， 且与右准线交于点 Q， 根据定理 4有， PF 上F Q l ， 】 0 、 j 圈 1 3 一