（高中数学教学论文）平面向量复习导航.doc

1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 平面向量复习导航平面向量复习导航 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，考查内容以向量的概念、运算、数 量积和模的运算为主题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以 中、低档题为主 一、高考热点透析一、高考热点透析 综观近年来的高考试题，可知命题热点为： 1向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积 2平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义 3两非零向量平行、垂直的充要条件 4由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析 几何、立体几何等知识相

2、结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、 夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等 5利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量 的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题 二、知识例析解读二、知识例析解读 1注意理解向量、有向线段、向量的模、共线向量（平行向量） 、相等向量、零向量、单位向量等概 念，考题中多在共线向量、零向量等概念上设计问题，着重考查学生对于概念的深刻理解。 例例 1.1. （08 高考海南宁夏理 8） 平面向量a a，b b共线的充要条件是（） Aa a，b b方向相

3、同 Ba a，b b两向量中至少有一个为零向量 CR，ba D存在不全为零的实数 1 ， 2 ， 12 0ab 解析：本题主要考查向量共线的条件，特别注意零向量和任意向量共线，故答案选 D。 2考查向量的几何运算，掌握向量的加法、减法、实数与向量积、理解用一组基底向量表示其他向 量的方法对于几何运算主要包括三种： 向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，另外， 向量加法还可利用“三角形法则” ：设,ABa BCb ，那么向量AC 叫做a 与b 的和，即 abABBCAC ，此时，要注意向量的“首尾”相连； 向量的减法：用“三角形法则” ：设,ABa AC

4、babABACCA 那么，由减向量的终 点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 数乘向量a：它的长度和方向规定如下： 1, 2aa 当0 时，a的方向与a的方向 相同，当0 时，a的方向与a的方向相反，当0 时，0a ，而不是：a0。注意：注意：数乘向 量a是一个向量，不是实数。 例例 2 2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（） AABDCBADABAC CABADBDDADCB0 解析：由向量的几何运算易知选 C 例例 3.3.（0808 高考全国理高考全国理 3） 在ABC中，AB c，AC b 若点D满足2BDDC ， 则AD （） A 21 33

5、 bcB 52 33 cbC 21 33 bcD 12 33 bc A B C D 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 解析： 由 2ADABACAD ，322ADABACcb ， 12 33 ADcb ；故答案应为 A. 3考查向量的坐标表示及其坐标形式的运算，提高坐标运算的能力主要包括向量的模、夹角、投 影、平行、垂直的坐标表示方法，注意记准公式，确保运算结果正确 特别地：特别地：b在在a上的投影上的投影为|cos (,ba b 为的夹角），它是一个实数，但不一定大于 0。 例例 4.4.（0606 高考湖南卷）高考湖南卷）已知向量),2 , 1 (), 2(bta 若 1 tt 时

6、，a b ； 2 tt 时，ba ，则 A1, 4 21 ttB.1, 4 21 ttC.1, 4 21 ttD.1, 4 21 tt 解析：向量),2, 1(),2(bta 若 1 tt 时，a b ， 1 4t； 2 tt时，ba ， 2 1t ，选 C. 例例 5.5.已知a a(2，1)，b b(2，3)，则a a在b b方向上的投影是（） A 13 13 B 13 13 C0D1 解析：由向量a a在b b方向上的投影的定义可得 4313 |cos5 13513 a ，故答案 B 4考查向量数量积的几何运算的定义与坐标运算，注意学会用几何法或坐标法转化与模、夹角、垂 直、最值等问题

7、向量数量积的性质向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则： 0aba b ； 当a，b同向时，a ba b ， 特别地， 2 22 ,aa aaaa ； 当a与b反向时，a ba b ； 当为锐角时，a b0，且 a b 、不同向，0a b 是是为锐角的必要非充分条件为锐角的必要非充分条件； 当为钝角时，a b0，且 a b 、不反向，0a b 是是为钝角的必要非充分条件为钝角的必要非充分条件； 非零向量a，b夹角的计算公式：cos a b a b ； | |a ba b 。 注意：注意：数量积是一个实数，不再是一个向量。 例例 6 6.（06 高考福建卷）已知向量a 与b 的夹角

8、为120o，3,13,aab 则b 等于 （A）5（B）4（C）3（D）1 解析 ：解析 ：向量a 与b 的夹角为120o，3,13,aab 3 | | cos120| 2 a babb ， 222 |2|abaa bb ， 2 1393|bb ，则b =1(舍去)或b =4，选 B. 5考查向量与其他知识的交汇点，掌握向量方法与向量语言在函数、数列、不等式、几何等数学分 支中的应用 例例 7.7.在ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则OA(OBOC)的最小值是_ 解 析 ： 在 ABC中 ， 设|OMx ， 则| 2OAx ， 又 由 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法

9、则 知 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 | 2| 2OBOCOMx ，而OA 与OBOC 方向相反，所以()OA OBOC (2) x 2x，由二次函数的知识知当1x 时取得最小值2 点评点评：本题很好地将向量的几何运算性质、数量积和函数的最值等知识结合在一起，立意新颖，考查 基本。 例例 8 8.直角坐标平面xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足OPOA4，则点P的轨迹方 程是_ 解析：用坐标形式将OPOA4 表示即得x2y40 点评：点评：本题中主要体现出向量的工具作用。 三、易错点警示三、易错点警示 1零向量的方向是任意的。2平行向量无传递性。 3注意数量积是一个实

10、数，不再是一个向量。 4向量的运算律中注意： （1 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可 以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个 向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除切记两向量不能相除( (相约相约) )； （2 2）向量的“乘法”不满足结合律，即cbacba)()( 四、向量中一些常用的结论四、向量中一些常用的结论： （1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； （2）| | |ababab ，特别地，当 a b 、同向或有0 | |abab | |abab ；当 a b 、反向或有0 | |abab | |abab ；当 a b 、不共线不共线 | | |ababab (这些和实数比较类似). （3）在ABC中，0PAPBPCP 为ABC的外心； PA PBPB PCPC PAP 为ABC的垂心； 向量()(0) | ACAB ABAC 所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)； （4）向量 PA PB PC 、中三终点ABC、 、共线存在实数、使得PAPBPC 且 1.