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1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 高中数学教学论文：漫谈数学开放题高中数学教学论文：漫谈数学开放题 开放题是数学教学中的一种新题型，它是相对于传统的封闭题而言的。开放题的核心是培 养学生的创造意识和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。现 行数学教材中，习题基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的，学生在学习中缺乏主动参与的过 程。那么在教材还没有提供足够的开放题之前，好的开放题从那里来？我认为最现实的办法是让“封闭” 题“开放”。 一、开放意识的形成 学习的目的是为了使自然人过渡到社会人、使社会人更好地服务于社会，由于社会时刻在发 生着变化，因此

2、，一个良好的社会人必需具备适应社会变化的能力。让学生懂得用现成的方法解决现成的 问题仅仅是学习的第一步，学习的更高境界是提出新问题、提出解决问题的新方案。因此首先必须改变那 种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识，为了使数学适应时代的需要，我们选择了数学开放 题作为一个切入口，开放题的引入，促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学 生的创新精神和实践能力。 关于开放题目前尚无确切的定论，通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性 以及解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题。近两年高考题中也出 现了开放题的“影子”，如 1998

3、年第（19）题：“关于函数 f（x）=4Sin（2x+/3）（xR），有下列 命题：由 f（x1）=f（x2）=0 可得 x1-x2 必是的整数倍；y=f（x）的表达式可改写为 y=4Cos（2x- /6）：y=f（x）的图象关于点（-/6，0）对称；y=f（x）的图象关于直线 x=-/6 对称。其中正 确的命题是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）” 显然高中代数上册第 184 页例 4“作函数 y=3Sin（2x+/3）的简图。”可作为其原型。 学生如果明白这些道理就会产生对问题开放的需求，逐步形成自觉的开放意识。又如 2000 年理 19 文 20 题函数单调性的参数取值范围问题（既有

4、条件开放又有结论的开放，条件上，对 ，是选择 ，还是选 择 ？选择前者则得 ，以后的道路荆棘丛生，而选择后者则有 ，以后的道路一片光明；结论开放体现在 结论分为两段，一段上可使函数单调，另一段上不单调，且证明不单调的方法是寻找反例）； 从数学考试中引进一定的结合现实背景的问题和开放性问题，已引起了广大数学教育工作者 的极大关注，开放题的研究已成为数学教育的一个热点。 二、开放问题的构建 有了开放的意识，加上方法指导，开放才会成为可能。开放问题的构建主要从两个方面进行， 其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解法的开放而获得新思路。根据创造的三要素： “结构、 关系、顺序”，我们可以为学生

5、构建由“封闭”题“开放”的如下框图模式： 例 1已知 ，并且 求证 （高中代数下册第 12 页例 7） 除教材介绍的方法外，根据目标的结构特征，改变一下考察问题的角度，或同时对目标的结 构作些调整、重新组合，可获得如下思路：两点（b，a）、（-m，-m）的连线的斜率大于两点（b，a）、 （0，0）的连线的斜率；b 个单位溶液中有 a 个单位溶质，其浓度小于加入 m 个单位溶质后的浓度；在数 轴上的原点和坐标为 1 的点处，分别放置质量为 m、a 的质点时质点系的重心，位于分别放置质量为 m、b 的质点时质点系的重心的左侧等。 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 例 2用实际例子说明 所表

6、示的意义 给变量赋予不同的内涵，就可得出函数不同的解释，我们从物理和经济两个角度出发给出实 例。 1.X 表示时间（单位：s），y 表示速度（单位：m/s），开始计时后质点以 10/s 的初速度作 匀加速运动，加速度为 2m/s2，5 秒钟后质点以 20/s 的速度作匀速运动，10 秒钟后质点以-2m/s2 的加速 度作匀减速运动，直到质点运动到 20 秒末停下。 2.季节性服饰在当季即将到来之时，价格呈上升趋势，设某服饰开始时定价为 10 元，并且每 周（7 天）涨价 2 元，5 周后开始保持 20 元的价格平稳销售，10 周后当季即将过去，平均每周削价 2 元， 直到 20 周末该服饰不再

7、销售。 函数概念的形成，一般是从具体的实例开始的，但在学习函数时，往往较少考虑实际意义， 本题旨在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释，体会到数学概念的一般性和背景的多样性。 这是对问题理解上的开放。 例 3由圆 x2+y2=4 上任意一点向 x 轴作垂线。求垂线夹在圆周和 x 轴间的线段中点的轨迹方程。 （高中平面解析几何复习参考题二第 11 题）（答案：x2/4+y2=1） 问题本身开放：先从问题中分解出一些主要“组件”，如：A、“圆 x2+y2=4”；B、“x 轴”； C、“线段中点”等。然后对这些“组件”作特殊化、一般化等处理便可获得新问题。 对 A 而言，圆作为一种特殊的曲线

8、，我们将其重新定位在“曲线”上，那么曲线又可分解成 大小、形状和位置三要素，于是改变条件 A（大小或形状或位置）就可使问题向三个方向延伸。 如改变位置，将 A 写成“（x-a）2+（y-b）2=4”，即可得所求的轨迹方程为（x-a）2+（2y-b） 2=4；再将其特殊化（取 a=0），并进行新的组合便有问题：圆 x2+（y-b）2=4 与椭圆 x2+（2y-b）2=4 有 怎样的位置关系？试说明理由。 简解：解方程组 得y=0 或 y=2b/3 当 y=0 时，x2+b2=4， （1）若 b2，圆与椭圆没有公共点； （2）若 b=2，圆与椭圆恰有一个公共点； （3）若 -2b2，圆与椭圆恰有二

9、个公共点。 当 y=2b/3 时，x2+b2/9=4， （1）若 b6，圆与椭圆没有公共点； （2）若 b=6，圆与椭圆恰有一个公共点； （3）若-6b6，圆与椭圆恰有二个公共点。 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 综上所述，圆 x2+（y-b）2=4 与椭圆 x2+（2y-b）2=4，当 b6 时没有公共点；当 b= 6 时恰有一个公共点；当-6b-2 或 b=0 或 2b6 时恰有二个公共点；当 b=2 时恰有三个公共点；当 -2b0 或 0b6 时，圆 x2+（y-b）2=4 上的点到椭圆 x2+（2y-b）2=4 上的点的最 大距离是多少？这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化。 对 B 而言，它是一条特殊的直线，通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而 C 是一 种特殊的线段分点，同样可以使其推广到一般，若对由此产生的结果继续研究就会发现以往的一些会考、 高考试题。