（高中数学教学论文）空间向量解立体几何.doc

1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 D1 BP “桥桥”飞架，天堑变通途飞架，天堑变通途 向量的引入为数形结合思想注入了新鲜血液，为其开辟了更为广阔的天地。特别是将空间向量知识应 用在立体几何题目中，更是一改立体几何题目以前单一的传统几何法,给我们以耳目一新的感觉.下面通过 一个题的不同问题，领会空间向量中”直线的方向向量”和”平面的法向量”在解立体几何题目中的独到 应用。 例题例题 长方体长方体 ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中，AB=4AB=4，AD=6AD=6，AAAA1 1=4=4，M M 是是 A A1 1C C1 1的中点的中点，P P

2、在线段在线段 BCBC 上上，且且 CP=2CP=2，Q Q 是是 DDDD1 1的中点。的中点。 zB1C1 M A1 Q Cy AD x 一一 求点线距离求点线距离 问题 1：求点 M 到直线 PQ 的距离。 分析：本题属于立体几何中求点与线距离类型，若用传统几何法需过点 M 引直线 PQ 的垂线，在图中 寻找垂线不是件容易事情，而用向量法就可使问题得以解决。 解：如图，以点 B 为坐标原点，分别以BA，BC， 1 BB所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直 角坐标系。得 P（0，4，0） ，Q（4，6，2） ，M（2，3，4） QM=（-2，-3，2）Qp=（-4，-2，-2）

3、又点 M 到直线 PQ 的距离 d=|QM|sin 而 cos= | |QPQM QPQM = 2417 10 = 102 1025 sin= 102 77 , d=17 102 77 = 6 462 小结：本例充分体现了利用直线 QP 的一个方向向量Qp、M 到直线 QP 的距离及斜线段 QM 所构成的直 角三角形，借助于向量QM与Qp的夹角公式使问题得以解决，而不必将点线之间的距离作出,请读者加 以体会。 二二 求点面距离求点面距离 问题 2 ：求点 M 到平面 AB1P 的距离。 分析：采用几何法做出点面距，然后来求距离的传统法，很难求解，但若借助于平面的法向量即易解 高中数学教学精品论

4、文高中数学教学精品论文 决。 解：建系同上。A(4,0,0)AM=(-2,3,4)AP=(-4,4,0) 1 AB=(-4,0,4) 设n=(x,y,z)是平面 AB1P 的一个法向量,则n 1 AB,nAP 044 044 yx zx ,可取n=(1,1,1) 点 M 到平面 AB1P 的距离 d=| n nMA |= 3 5 = 3 35 . 小结:点面距离的向量求法为:设n是平面的一个法向量,AB 是平面的一条斜线, 则点 B 到平面的距离 为 d=| n nAB |. 三三 求线面夹角求线面夹角 问题 3:求直线 AM 与平面 AB1P 所成的角. 解: 建系同上。由问题 2 可知AM

5、=(-2,3,4), 平面 AB1P 的一个法向量n=(1,1,1) |cos|=| |nAM nAM |= 87 875 , 又直线 AM 与平面 AB1P 所成的角为线 AM 与平面 AB1P 的法向量n夹角的余角, 故直线 AM 与平面 AB1P 所成的角为 arcsin 87 875 . 小结:本例属于线面成角问题,向量法求解的方法是:设n为平面的一个法向量,AB是直线 L 的方向 向量,则直线 L 与平面所成的角为 arcsin| |nAB nAB |. 四四 求面面所成的角求面面所成的角( (二面角二面角) ) 问题 4:求平面 B1PQ 与平面 D1DCC1所成的锐二面角的大小.

6、 解:面 D1DCC1垂直与坐标平面 yoz,故设面 D1DCC1的一个法向量为1n=(0,1,0),又设面 B1PQ 的一个法 向量为 2n=(x,y,z) PB1=(0,4,-4),PQ=(4,2,2) 又 2nPB1,2nPQ 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 0 0 2 12 PQn PBn 即 0224 044 zyx zy 2n可取(-1,1,1) |cos|=| | 21 21 nn nn |= 31 1 = 3 3 . 故平面 B1PQ 与平面 D1DCC1所成的锐二面角的大小为 arccos 3 3 . 小结:用向量法求二面角的具体方法是:设1n, 2n是二面角-L-

7、的两个半平面, 的法向量,则 =arccos| | 21 21 nn nn |就是所求二面角的平面角或其补角. 五五 求两异面直线间的距离求两异面直线间的距离 问题 5:求两异面直线 AB1与 PQ 间的距离. 解:设两异面直线 AB1与 PQ 的公垂线的一个方向向量为n=(x,y,z)又 1 AB=(-4,0,4),PQ=(4,2,2). 而n 1 AB,nPQ 0 0 1 PQn ABn 即 0224 044 zyx zx n=(1,-3,1),又PB1=(0,4,-4) 故两异面直线 AB1与 PQ 间的距离 d=|PB1|cos=| | 1 n nPB |= 11 1116 . 小结:

8、向量法解决两异面直线间的距离的作法是:L1,L2是两条异面直线,n是 L1,L2的公垂线 AB 的一个 方向向量,又 C,D 分别是 L1,L2上任两点,则|AB|=| | n nCD |. 以上介绍了直线的方向向量和平面的法向量在解决立体几何的“点线距离”,“点面距离”,“线面夹 角”,“面面成角”以及“两异面直线间的距离”这五种题型中的应用, 涉及的题目用传统立体几何法求 解有一定的难度, 而空间向量的介入使得问题迎刃而解.从中充分展现了向量法的独到之处和强大威力. 在近几年的高考中利用向量的模和夹角公式求立体几何中的线段长和两直线的夹角已多次出现,随着新一 轮课改的推进, 直线的方向向量和平面的法向量在解决立体几何问题中的应用必将成为高考命题的一个 新的热点.