（高中数学教学论文）高中数列求和方法大全(配练习及答案).doc

1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 数列的求和 一、一、教学目标：教学目标：1熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式； 2能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3熟记一些常用的数列的和的公式 二、教学重点：二、教学重点：特殊数列求和的方法 三、教学过程：三、教学过程： （一）主要知识： 1直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：d nn na aan S n n 2 ) 1( 2 )( 1 1 （2）等比数列的求和公式 ) 1( 1 )1 ( ) 1( 1 1 q q qa qna S n n （切记：公比含字母时一定要讨论）

2、2公式法： 22222 1 (1)(21) 123 6 n k n nn kn 2 33333 1 (1) 123 2 n k n n kn 3错位相减法：比如 ., 2211 的和求等比等差 nnnn babababa 4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式： 1 11 ) 1( 1 nnnn ； 11 11 () (2)22n nnn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 12)(12( 1 nnnn !)!1(!nnnn 5分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 6合并求和法：如求 222222 12979899

3、100的和。 7倒序相加法： 8其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等 （二）主要方法： 1求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3转化思想的运用； （三）例题分析： 例 1求和： 个n n S111111111 22 2 22 ) 1 () 1 () 1 ( n n n x x x x x xS 求数列 1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，前 n 项和 n S 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 思路分析：通过分组，直接用公式求和。 解：) 110( 9 1 1010101111 2 kk k k a 个 )101010( 9 1

4、)110() 110() 110( 9 1 22 nS nn n 81 10910 9 ) 110(10 9 1 1 n n nn )2 1 ()2 1 ()2 1 ( 2 2 4 4 2 2 n n n x x x x x xS n xxx xxx n n 2) 111 ()( 242 242 （1）当1x时，n xx xx n x xx x xx S n nnnn n 2 ) 1( ) 1)(1( 2 1 ) 1( 1 ) 1( 22 222 2 22 2 22 （2）当nSx n 4,1时 kk kkk kkkkkak 2 3 2 5 2 )23() 12( )1() 12() 12(2

5、) 12( 2 2 ) 1( 2 3 6 ) 12)(1( 2 5 )21 ( 2 3 )21 ( 2 5 222 21 nnnnn nnaaaS nn )25)(1( 6 1 nnn 总结：运用等比数列前 n 项和公式时，要注意公比11qq或讨论。 2错位相减法求和错位相减法求和 例例 2已知数列)0() 12( ,5 ,3 , 1 12 aanaa n ，求前 n 项和。 思路分析：已知数列各项是等差数列 1，3，5，2n-1 与等比数列 120 , n aaaa对应项积，可用 错位相减法求和。 解： 1) 12(531 12 n n anaaS 2) 12(53 32n n anaaaa

6、S nn n anaaaaSa) 12(22221)1 ( :21 132 当 n n n n a aa Saa) 12( )1 ( )1 (2 1)1 ( ,1 2 1 时 2 1 )1 ( ) 12() 12(1 a anana S nn n 当 2 ,1nSa n 时 3.裂项相消法求和裂项相消法求和 例例 3.求和 ) 12)(12( )2( 53 4 31 2 222 nn n Sn 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 解:) 12 1 12 1 ( 2 1 1 ) 12)(12( 1 1 ) 12)(12( 11)2( ) 12)(12

7、( )2( 22 kkkkkk k kk k ak 12 ) 1(2 ) 12 1 1 ( 2 1 ) 12 1 12 1 () 5 1 3 1 () 3 1 1( 2 1 21 n nn n n nn naaaS nn 练习:求 n n a n aaa S 32 321 答案: ) 1( ) 1( ) 1() 1( ) 1( 2 ) 1( 2 a aa anaa a nn S n n n 4.倒序相加法求和倒序相加法求和 例 4 求证： nn nnnn nCnCCC2) 1() 12(53 210 思路分析：由 mn n m n CC 可用倒序相加法求和。 证：令) 1 () 12(53 2

8、10n nnnnn CnCCCS 则)2(35) 12() 12( 0121 nnn n n n nn CCCCnCnS mn n m n CC n nnnnn CnCnCnCnS)22()22()22()22(2:)2() 1 ( 210 有 nn nnnnn nCCCCnS2) 1()1( 210 等式成立 5其它求和方法其它求和方法 还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。 例例 5已知数列 n n nn Snaa求,) 1( 2,。 思路分析： n n na) 1(22，通过分组，对 n 分奇偶讨论求和。 解： n n na) 1(22，若 m k k mn mSSmn 2 1 2 ) 1

9、(2)2321 (2,2则 ) 1(2) 12()2321 (2nnmmmSn 若 ) 12(22) 12() 1(2 22) 12(, 12 2 2212 mmmmmmaSSSmn m mmmn 则 22) 1() 1(224 222 nnnnmm )(2 )() 1( 2 为正奇数 为正偶数 nnn nnn Sn 预备预备：已知 n n n aaaaxaxaxaxf,)( 321 2 21 且成等差数列，n 为正偶数， 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 又nfnf) 1(,) 1 ( 2 ，试比较) 2 1 (f与 3 的大小。 解： naaaaaf naaaaf nn n 132

10、1 2 321 ) 1( ) 1 ( 2 2 2 2 )( 1 21 d naa nd n n naa n n 121 2 2) 1( 1 11 naa d ndnaa n nn nfxnxxxxf) 2 1 )(12() 2 1 (5) 2 1 (3 2 1 ) 2 1 () 12(53)( 3232 可求得 nn nf) 2 1 )(12() 2 1 (3) 2 1 ( 2 ，n 为正偶数，3) 2 1 ( f 巩固练习 1求下列数列的前n项和 n S： （1）5，55，555，5555， 5 (101) 9 n ，； （2） 1111 , 1 3 2 4 3 5(2)n n ； 高中数学

11、教学精品论文高中数学教学精品论文 （3） 1 1 n a nn ； （4） 23 ,2,3, n aaana； （5）1 3,2 4,3 5, (2),n n； （6） 2222 sin 1sin 2sin 3sin 89 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 2已知数列 n a的通项 65() 2() n n nn a n 为奇数 为偶数 ，求其前n项和 n S 解： （1）555555555 n n S 个 5 (999999999) 9 n 个 23 5 (10 1)(101)(101)(101) 9 n 23 5505 10 101010(101) 9819 nn nn （2） 1

12、1 11 () (2)22n nnn ， 11111111 (1)()()() 2324352 n S nn 1111 (1) 2212nn （3） 11 1 1(1)(1) n nn ann nnnnnn 111 21321 n S nn ( 21)( 32)(1)nn 1 1n （4） 23 23 n n Saaana， 当1a 时，123 n S (1) 2 n n n ， 当1a 时， 23 23 n Saaa n na， 234 23 n aSaaa 1n na ， 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 两式相减得 23 (1) n a Saaa 11 (1) 1 n nnn a

13、a anana a ， 21 2 (1) (1) nn n nanaa S a （5） 2 (2)2n nnn， 原式 222 (123 2) 2 (123n )n (1)(27) 6 n nn （6）设 2222 sin 1sin 2sin 3sin 89S ， 又 2222 sin 89sin 88sin 87sin 1S ， 289S ， 89 2 S 2已知数列 n a的通项 65() 2() n n nn a n 为奇数 为偶数 ，求其前n项和 n S 解：奇数项组成以 1 1a 为首项，公差为 12 的等差数列， 偶数项组成以 2 4a 为首项，公比为 4 的等比数列； 当n为奇数时，奇数项有 1 2 n 项，偶数项有 1 2 n 项， 1 1 2 1(1 6 5) 4(1 4)(1)(32)4(21) 2 21 423 n n n n n nn S ， 当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有 2 n 项， 2 (1 65) 4(1 4 )(32)4(21) 2 21 423 n n n n n nn S ， 所以， 1 (1)(32)4(21) () 23 (32)4(21) () 23 n n n nn n S nn n 为奇数 为偶数