（高中数学教学论文）高考中数列和不等式证明的交叉.doc

1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 高考中数列和不等式证明的交叉高考中数列和不等式证明的交叉 数列和不等式是高考的两大热点也是难点，数列是高中数学中一个重要的内容，在高等数学也有很重 要的地位，不等式是高中数学培养学生思维能力的一个突出的内容，它可以体现数学思维中的很多方法， 当两者结合在一起的时候，问题会变得非常的灵活。所以在复习时，我们在分别复习好两类知识的同时， 一定要注意它们的相互渗透和交叉，培养灵活的思维能力。 数列和证明不等式的交叉，是这两大块知识的主要交叉点，它在数列的特殊情景下，巧妙的融合 了不等式的证明，它所涉及的问题往往是灵活的应用了数列和不等式的知识，把这两者完美的

2、结合在了一 起。 例例 1 1设 n a和 n b分别是等差数列和等比数列，且0 11 ba，0 22 ba，若 21 aa ，试比 较 n a和 n b的大小。 分析分析：这两个通项大小的比较，它们的未知量比较多，比容易直接完成。因通过它们的项数n把他们 组合在一起。设 n a的公差为d， n b的公比为q。 显然0q，因为0 22 ba，所以有，qada 11 ，即dqa1 1 。 1 111 1 11 111 nn nn qaqnaaqadnaba。又因为 21 aa ，所以1 1 2 a a q。 若1q时， 1 1 1 1 1 1 n q q qaba n nn = =111 22

3、1 nqqqqa n 。 因为11 12 nqqq n ，01 q， 所以有： nn ba 。若10 q时，11 12 nqqq n ，01 q，所以也有： nn ba 。综上所述，当Nn，且2n时， nn ba 。在证明过程，对等比数列求和公式的逆用， 是本题证明的一个转折点，它避免了一些不必要的分类讨论，时问题得以简化。 例例 2 2已知递增的等比数列 n a前三项之积为512， 且这三项分别减去1，3，9后成等差数列， 求证： 1 321 321 n a n aaa 。 分析分析：要想证明这个不等式，首先要求出左边的和式。根据题意， n a是等比数列，所以左边的和式 可以利用错位相减法来

4、求和。 先确定这个等比数列。 由 2 231 aaa可得，512 3 2321 aaaa， 所以8 2 a。 再设等比数列 n a的公比为q。 则根据条件可得：382981 8 q q ， 解得，2q或 2 1 q（舍 去）。所以 2 4 1 q a ，因此， 1 2 n n a。令 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 n S n a n aaa 321 321 = 1432 22 3 2 2 2 1 n n -，则 n S 2 1 2543 22 3 2 2 2 1 n n -， 由-得， n S 2 1 21432 22 1 2 1 2 1 2 1 nn n ，即， n S 132

5、22 1 2 1 2 1 2 1 nn n =1 22 1 1 1 nn n 例例 3 3在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，使x，a，y成等差数列；若另插入两个数b，c， 使x，b，c，y成等比数列，求证：111 2 cba 分析：分析：不等式左边有字母a，右边有不同字母b、c，要比较两边的大小，必须寻找a、b、c三者 之间的联系，利用数列的关系可得： 2 yx a ， 3 2 yxb ，c 3 2 xy。为计算方便，我们再令 0 3 xm，0 3 yn，则 2 33 nm a ，nmb 2 ， 2 mnc ，那么， 111 2 cba111 2 22 2 33 mnnm nm = =n

6、mnm nm 22 2 33 2 0，得111 2 cba。 例例 4 4设0 n a，且 1 2 nnn aaa，求证：对一切自然数n，都有 n an 1 。 分析分析： 因为 1 2 nnn aaa， 所以 nnnnn aaaaa 1 2 1 ， 由已知0 n a， 所以有，01 nn aa， 即10 n a。又因为 nnn aaa 1 1 ， 则有， nnnnn aaaaa 1 11 1 11 1 ，所以1 1 111 1 nnn aaa 。 在上式中取121n,n，得1n个不等式，把它们相加得，1 11 1 n aan ，于是， nn a n an 11 1 1 1 1 ，因此， n

7、an 1 。在此题的证明过程中，我们巧妙的利用了数列求和的累 加法，时问题的解决有一种全新的感觉。本题由于和自然数有关，也可以利用数学归纳法来证明。 例例 5 5 设2a，给定数列 n x，其中ax 1 ，且满足 12 2 1 n n n x x x。 求证：2 n x且1 1 n n x x 。 分析：分析：这是 1984 年的高考题，当时难倒了绝大部分的学生，大家觉得无从着手。它给定的是数列， 求证的是不等式，而且都是和通项有关，所以我们可以考虑求出数列的通项再来观察。 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 因为 n n n n n nn n n n x x x x x x xx x

8、x x 2 1 1 2 2 1 1 2 22 2 1 1 12 244 2 ，又因为ax 1 ， 所以有， 1 2 22 n n n a a x x ，则 1 2 2 1 2 n n a a x。而2a，则有， 1 2 0 a a ，所以1 2 10 1 2 n a a ，那么1 2 1 2 10 2 1 2 nn a a a a ，因此， 2 n x且1 1 n n x x 。 例例 6 6求证： 13 1 2 12 6 5 4 3 2 1 n n n 。 分析分析：这是一道不等式的证明题，若我们总是在不等式的圈子里转悠，问题不能圆满的解决。跳出这 个圈子，我们不难发现这是一个自然数有关的命

9、题，那么，解决它的方法不外乎两种，一是利用数学归纳 法 ； 二 是 构 造 数 列 。 我 们 来 构 造 一 个 数 列 n a。 令 n a13 2 12 6 5 4 3 2 1 n n n ， 则 4312 1322 2 2 2 1 nn nn a a n n = =1 4192812 4202812 23 23 nnn nnn 。所以， nn aa 1 ，从而有，1 121 aaaa nnn 。因此原 不等式得证。 例例 7 7设 n a是正项的等比数列， n S是其前n项的和.证明： 1 2 2 n nn Slg SlgSlg 。 分析分析：这是在数列情景下的不等式证明，所以要交叉使

10、用数列的性质和不等式的证明技巧。要证不等 式等价于 2 12 nnn SSS，因为0 n a，所以0 1 nn SS。 由等比数列的定义可得： 1 21 2 3 1 2 n n n n a a a a a a a a 。 再 用 等 比 定 理 得 ： nn nn SS SS 1 12 n n n n n n n n S S S aS aaa aaa a a 111 21 132 1 2 ， 因 此 有 ： 2 12 nnn SSS。 例例 8 8 数列 n a和 n b都是正项数列，对任意的自然数都有 n a， 2 n b， 1n a成等差数列， 2 n b， 1n a， 2 1n b成等比

11、数列。 (1)问： n b是不是等差数列？为什么？ 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 (2)求证：对任意的自然数p和q（qp ） ， 22 qpqp bb 2 2 p b。 分析分析：对于第(1)题，我们不难证明它一定是等差数列。问题(2)的证明方法很多，我们可以直接利用 等差数列的通项公式，通过作差比较来完成。但是若我们仔细分析题意，观察 2 qp b ， 2 qp b ， 2 p b的特点， 我们不难发现它们三者之间有等量关系： pqpqp bbb2 ，所以 22 qpqp bb 2 2 2 2 p qpqp b bb 。此题充分体现了数列和不等式知识 的交叉运用。 例例 9 9数

12、列 n a中， 前n项之和为bnanSn 2 ， 其中a和b为常数， 且0a，1ba，Nn。 (1)求数列 n a的通项公式 n a；并证明1 1 nn aa。 (2)若 1 n n an alogc，试判断数列 n c中任意两项的大小。 分析：分析：此题的已知条件，前n项之和为bnanSn 2 告诉我们，数列 n a是一个等差数列，要证 明1 1 nn aa成立，只要证明该数列是一个递增的数列，且1 1 a即可。 (1)由bnanSn 2 可知， 1 11 baSa，baanSSa nnn 2 1 ， 所以02 1 aaa nn ，即数列 n a是一个单调递增的数列，那么1 11 aaa n

13、n 。 (2)由(1)可知，数列 n c各项都为正。则 1 2 11 n n a n n a n n alog alog c c = n n an n a alogalog 12 1 2 2 1 2 1 2 1 4 1 2 nn n a n n an n a aalog alogalog 2 2 2 1 24 1 nn n a aa log= =1 4 1 2 2 1 1 n n a alog，所以 nn cc 1 . 例例 1010 已知数列 n a中，对一切自然数n，都有10,an且02 1 2 1 nnnn aaaa。 求证：(1) nn aa 2 1 1 ； (2)若 n S表示数列

14、n a的前n项之和，则 1 2aSn。 分析分析： 从题目的结构可以看出， 条件02 1 2 1 nnnn aaaa是解决问题的关键， 必须从中找出 1n a 和 n a的关系。(1)由已知02 1 2 1 nnnn aaaa，可得 2 1 1 1 2 n n n a a a，又因为10,an，所以有， 110 2 1 n a,因此 1 2 nn aa，即 nn aa 2 1 1 。 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 (2)由结论(1)可知， 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 aaaa n nnn ，即 1 1 2 1 aa n n ，于是有， 1 2 11 1 1121 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 aaaaaaaaS n nn ，即 1 2aSn。 从上面的一系列问题中，我们可以看出，数列和不等式证明是紧密相连互相渗透的，在复习中我 们一定要注意它们的联系，在知识的交叉点上思考分析，达到知识的融会贯通，培养分析问题和解决问题 的能力。