（高中数学教学论文）不等式证明中的构造函数策略.doc

1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 不等式证明中的构造函数不等式证明中的构造函数 策略策略 有些不等式证明问题，如能根据其结 构特征，构造相应的函数，从函数的单调 性或有界性等角度入手，则可以顺利得到 证明。把握这种构造函数的证题策略，有 利于证明一些用常规方法难以证明的命 题. 一、构造一次函数证明不等式 例 1. 设 0 x1，0y1，0z1，求证： x (1y) + y(1z) + z(1x)1. 分析：把结论的左式看成以 x 为主元 的一次函数，利用一次函数的单调性即可 得证. 证明：设 f(x)=x(1y)+y(1z)+z(1 x) =(1yz)x+(y+zyz)（0 x1）

2、0y1 ，0z1 f(0)= y + zyz =1(1y)(1 z)1 f(1)= 1yz 1 当 x(0，1)时，f(x)1 即 x(1y) + y(1z) + z(1x) 1 评注：f(x) = (1yz)x + (y+z yz)在 x(0，1)上的图象是线段（不含 端点） ，故 f(x)1f(0)1 且 f(1)0. 本题也可就 1yz 在（1，1） 内的不同情况分类说明. 二、构造二次函数证明不等式 例 2.若 0a b 1 ， 求证： bb 2 0，可将左 式看成是以 b 为主元的二次函数（其中 0b a 1 ） ，再予以证明. 证明： 令 b=x， 由 0af( a 1 )= )

3、1( 1 1 111 22 aaaaa 0 当 a 1 2 1 ，即 0a f( 2 1 ) = 1 1 a 4 1 0 综上，当 x(0， a 1 )时，f(x) = x 2 x + 1 1 a 0 恒成立,即不等式 bb 2 1 1 a 成立. 评注：1、本题旨在构造二次函数，并 对定轴 x= 2 1 与动区间（0， a 1 ）间的不同 位置情况分类讨论。 2、本题也可将结论转化为(bb 2)a + (b b 2)10（0ac，求 证 c c b b a a 111 . 分析：不等式中各项的结构相同，只 是字母不同，故可构造分式函数 f(x) = x x 1 进行证明. 证明：构造函数 f

4、(x) = x x 1 = 1 x1 1 （xR +） ，易证函数 f(x)在其定义域 R +上是单调递增函数. a+bc0，f (a+b) f(c)， 即 c c ba ba 11 又 ba ba ba a ba a b b a a 11111 故 c c b b a a 111 . 评注：函数与不等式之间如同一对孪 生兄弟，通过对不等式结构特征的分析， 来构造函数模型，常常可以收到出奇制胜 的效果. 四、构造三角函数证明不等式 例 4.已知集合 M=x | |x|1，x1、 x2M，求证 x1x2+)1)(1 ( 2 2 2 1 xx1. 分析：分析条件和结论的形式特征及 其内在联系，联想

5、到正、余函数的性质和 相关公式，可构造三角函数来转化并证明 结论. 证明： 由题意， 构造函数x = f() =cos ，于是 x1=cos1，x2=cos2. x1x2+)1)(1 ( 2 2 2 1 xx =cos 1cos 2+ )cos1)(cos1 ( 2 2 1 2 =cos1cos2+|sin1sin2| =cos1cos2sin1sin2 =cos(12)1 即 x1x2+)1)(1 ( 2 2 2 1 xx1 评注：对于和三角有一定联系或结构 上有相似之处的不等式证明问题，根据题 目的特点，合理构造三角函数，利用三角 公式和性质进行证明，不失为处理问题的 一条捷径. 在不等式证明中，通过构造函数模型 来探求证题思路是优化思维品质的有效途 径，也是解题者认识问题本质的具体体现.